Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: $(C_1)$ và $(C_2)$ đi lên từ trái sang phải nên tương ứng với các hàm đồng biến, tức $a>1$, $b>1$; $(C_3)$ đi xuống nên hàm $y={\log }_{c}x$ nghịch biến, tức $0<c<1$. Với $x>1$, đồ thị $(C_2)$ nằm trên $(C_1)$ nên ${\log }_{b}x>{\log }_{a}x$, suy ra $b>a>1$. a) $y={\log }_{b}x$ đồng biến trên $(0;+\infty )$ vì $b>1$, nên khẳng định "nghịch biến" là sai. b) $(C_1)$ đồng biến nên $a>1$: đúng. c) Cả ba hàm ${\log }_{a}x,{\log }_{b}x,{\log }_{c}x$ đều xác định khi $x>0$, tập xác định $\mathcal{D}=(0;+\infty )$: đúng. d) Thứ tự cơ số từ bé đến lớn là $c<1<a<b$, không phải $c<1<b<a$: sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị $(C_2)$ đi lên từ trái sang phải nên $y={\log }_{b}x$ đồng biến trên $(0;+\infty )$ (tức $b>1$), không nghịch biến.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị $(C_1)$ của $y={\log }_{a}x$ đồng biến nên $a>1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm $y={\log }_{k}x$ ($k>0$, $k\ne 1$) xác định khi và chỉ khi $x>0$, nên cả ba hàm có tập xác định $\mathcal{D}=(0;+\infty )$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$(C_3)$ nghịch biến nên $0<c<1$; $(C_1)$, $(C_2)$ đồng biến nên $a>1$, $b>1$; với $x>1$, $(C_2)$ nằm trên $(C_1)$ nên $b>a$. Vậy thứ tự đúng là $c<1<a<b$, không phải $c<1<b<a$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\log }_a(a^2{b}^3)={\log }_a{a}^2+{\log }_a{b}^3=2+3{\log }_{a}b$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: $(C_3)$ đồng biến nên $c>1$; $(C_1),(C_2)$ nghịch biến nên $0<a,b<1$. Với $x>1$, $\ln x>0$ và ${\log }_{k}x=\frac{\ln x}{\ln k}$ với $\ln k<0$: cơ số càng gần 1 thì $\ln k$ càng gần 0, giá trị ${\log }_{k}x$ càng gần 0 (đồ thị càng cao). Trên hình, tại $x>1$, $(C_1)$ nằm trên $(C_2)$ nên $a$ gần 1 hơn $b$, tức $b<a<1$. Kết luận: a) Đúng ($c>1$ nên đồng biến). b) Sai ($0<a<1$). c) Đúng (mọi ${\log }_{k}x$ đi qua $(1;0)$). d) Đúng ($b<a<1<c$).
a) (AI giải đề cho tôi)
$(C_3)$ là đồ thị hàm đồng biến nên $c>1$, do đó $y={\log }_{c}x$ đồng biến trên $(0;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$(C_1)$ nghịch biến nên $0<a<1$, không thỏa $a>1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Mọi hàm $y={\log }_{k}x$ đều đi qua điểm $(1;0)$ vì ${\log }_{k}1=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$(C_3)$ đồng biến nên $c>1$; $(C_1),(C_2)$ nghịch biến nên $0<a,b<1$. Với $x>1$ ta có $\ln x>0$ và ${\log }_{k}x=\frac{\ln x}{\ln k}$ với $\ln k<0$. Khi cơ số càng gần 1 (từ dưới), $\ln k$ càng gần 0 nên $\frac{\ln x}{\ln k}$ càng gần 0, tức đồ thị càng cao. Trên hình, tại $x>1$, $(C_1)$ nằm trên $(C_2)$, do đó $a$ gần 1 hơn $b$, tức $b<a<1$. Vậy $b<a<1<c$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\log }_a(a^2{b}^3)={\log }_a(a^2)+{\log }_a(b^3)=2+3{\log }_{a}b$ (do ${\log }_a{a}^2=2$ và ${\log }_a{b}^3=3{\log }_{a}b$). Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_2(x^2-4x+3)$ xác định khi $x^2-4x+3>0$. Phương trình $x^2-4x+3=0$ có nghiệm $x=1$ và $x=3$. Xét dấu tam thức $x^2-4x+3$ (hệ số $a=1>0$): tam thức dương khi $x<1$ hoặc $x>3$. Vậy tập xác định là $\mathcal{D}=(-\infty ;1)\cup (3;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_2(x^2-4x+3)$ xác định khi $x^2-4x+3>0$. Phương trình $x^2-4x+3=0$ có nghiệm $x=1$, $x=3$, nên $x^2-4x+3=(x-1)(x-3)>0\iff x<1$ hoặc $x>3$. Vậy $\mathcal{D}=(-\infty ;1)\cup (3;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: $(C_1)$ và $(C_2)$ tăng trên $(0;+\infty )$ nên $a>1$, $b>1$; $(C_3)$ giảm nên $c<1$. Với $x>1$, đồ thị $(C_1)$ nằm trên $(C_2)$ nên ${\log }_{a}x>{\log }_{b}x\Rightarrow a<b$. Vậy $c<1<a<b$.
a) $(C_3)$ có $c<1$ nên hàm $y={\log }_{c}x$ nghịch biến trên $(0;+\infty )$ → đúng.
b) $b>1$ (vì $(C_2)$ tăng) → khẳng định $0<b<1$ sai.
c) Mọi hàm $y={\log }_{k}x$ đều đi qua $(1;0)$ vì ${\log }_{k}1=0$ → đúng.
d) Đúng như lập luận trên: $c<1<a<b$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$(C_3)$ đi xuống khi $x$ tăng, tức $c<1$, nên $y={\log }_{c}x$ nghịch biến trên $(0;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$(C_2)$ là hàm đồng biến nên $b>1$, không thỏa $0<b<1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với mọi cơ số $k>0$, $k\ne 1$: ${\log }_{k}1=0$, nên cả ba đồ thị đều qua $(1;0)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$c<1$ (C3 giảm), $a>1$, $b>1$ (C1, C2 tăng); với $x>1$, $(C_1)$ nằm trên $(C_2)$ nên ${\log }_{a}x>{\log }_{b}x\Rightarrow a<b$. Vậy $c<1<a<b$.

(AI giải đề cho tôi)
Thay $P=\frac{7}{10}{P}_0$ vào công thức: $h=-19,3\cdot \log \left(\frac{7}{10}\right)=-19,3\cdot \log 0,7$. Vì $\log 0,7\approx -0,1549020$ nên $h\approx 19,3\times 0,1549020\approx 2,9896$ km. Làm tròn đến hàng phần trăm: $h\approx 2,99$ km.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\log }_a(a^2{b}^3)={\log }_a(a^2)+{\log }_a(b^3)=2+3{\log }_{a}b$ (với $a>0,a\ne 1,b>0$). Vậy đáp án là C. Lưu ý D cũng tương đương về giá trị vì ${\log }_a{b}^3=3{\log }_{a}b$, nhưng dạng chuẩn theo ${\log }_{a}b$ là $2+3{\log }_{a}b$, khớp phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $f(x)={\log }_2(x^2-3x+2)$ xác định khi $x^2-3x+2>0\iff x<1$ hoặc $x>2$.

a) Sai. Trên $(2;+\infty )$, đặt $t=x^2-3x+2$ thì $t^{\prime }=2x-3>0$ nên $t$ đồng biến, do đó $f$ đồng biến trên $(2;+\infty )$ và không có giá trị lớn nhất (giá trị chạm tới khi $x\to +\infty$ là $+\infty$).

b) Đúng. Trên đoạn $[-1;0]$ hàm số liên tục (vì $[-1;0]\subset (-\infty ;1)$ thuộc tập xác định), nên theo định lý Weierstrass hàm luôn có GTLN và GTNN trên đoạn này.

c) Đúng. Trên $[-1;0]$, $t=x^2-3x+2$ nghịch biến (vì $t^{\prime }=2x-3<0$), nên $t$ giảm từ $t(-1)=6$ đến $t(0)=2$. Do đó $f$ nghịch biến trên $[-1;0]$, GTNN là $f(0)={\log }_{2}2=1$.

d) Sai. $g(x)=2^{f(x)}+m=x^2-3x+2+m$. Trên $[3;4]$, $g^{\prime }(x)=2x-3>0$ nên $g$ đồng biến, GTNN tại $x=3$: $g(3)=9-9+2+m=2+m=-3\Rightarrow m=-5$. Nhưng $-5\notin (-5;0)$, nên khẳng định sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(2;+\infty )$ hàm số đồng biến nên không có giá trị lớn nhất.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàm liên tục trên đoạn $[-1;0]$ nên theo định lý Weierstrass luôn có GTLN và GTNN.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm nghịch biến trên $[-1;0]$, GTNN $=f(0)={\log }_{2}2=1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$g(x)=x^2-3x+2+m$ đồng biến trên $[3;4]$, GTNN $=g(3)=2+m=-3\Rightarrow m=-5\notin (-5;0)$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số xác định khi $10x-x^2>0\iff 0<x<10$. Ta có $y^{\prime }=\frac{10-2x}{(10x-x^2)\ln 5}$. Trên khoảng $(0;5)$, $10-2x>0$ nên $y^{\prime }>0$, hàm số đồng biến. Trên $(5;10)$ hàm số nghịch biến. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(0;5)$, đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_2(x^2-3x-4)$ xác định khi $x^2-3x-4>0\iff (x-4)(x+1)>0\iff x<-1$ hoặc $x>4$. Vì ${\log }_{2}t$ đồng biến nên hàm số đồng biến khi $t=x^2-3x-4$ đồng biến, tức khi $x>\frac{3}{2}$. Kết hợp với điều kiện xác định, hàm số đồng biến trên khoảng $(4;+\infty )$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)={\log }_{\frac{\sqrt{2}}{2}}(4x-3)$ xác định khi $4x-3>0\iff x>\frac{3}{4}$. Cơ số $\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\in (0;1)$ nên hàm ${\log }_{\frac{\sqrt{2}}{2}}t$ nghịch biến theo $t$; trong khi $t=4x-3$ đồng biến theo $x$. Do đó $f(x)$ nghịch biến trên toàn miền xác định, tức trên mọi khoảng con của $\left(\frac{3}{4};+\infty \right)$. Trong các đáp án, chỉ có khoảng $(1;+\infty )\subset \left(\frac{3}{4};+\infty \right)$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng này. Các khoảng $\left(-\infty ;\frac{3}{4}\right)$, $\left(0;\frac{3}{4}\right)$ không nằm trong miền xác định, còn $(-\infty ;+\infty )$ thì hàm không nghịch biến trên đó. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)={\log }_5(x^2+4x)$.
a) Hàm số xác định khi $x^2+4x>0\iff x<-4$ hoặc $x>0$, nên $D=(-\infty ;-4)\cup (0;+\infty )$. Đúng.
b) Đạo hàm $f^{\prime }(x)=\frac{2x+4}{(x^2+4x)\ln 5}$, mẫu phải là $\ln 5$ (không phải $\log 5$ cơ số 10). Sai.
c) Trên $(0;+\infty )$: $2x+4>0$ và $x^2+4x>0$ nên $f^{\prime }(x)>0$, hàm số đồng biến chứ không nghịch biến. Sai.
d) $y=f(e^x)={\log }_5(e^{2x}+4e^x)$, xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{2e^{2x}+4e^x}{(e^{2x}+4e^x)\ln 5}>0$ với mọi $x$, nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$x^2+4x>0\iff x\in (-\infty ;-4)\cup (0;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\frac{2x+4}{(x^2+4x)\ln 5}$, mẫu số phải là $\ln 5$ chứ không phải $\log 5$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(0;+\infty )$ có $f^{\prime }(x)>0$ nên hàm số đồng biến.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{2e^{2x}+4e^x}{(e^{2x}+4e^x)\ln 5}>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số mũ $y=a^x$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $0<a<1$. Xét các phương án: A có $a=\sqrt{2}>1$ (đồng biến); B có $a=2>1$ (đồng biến); C có $a=\frac{1}{3}\in (0;1)$ nên nghịch biến trên $\mathbb{R}$; D có $a=3>1$ (đồng biến). Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (đề 0103, câu 11: C).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, $y={\log }_{b}x$ nằm trên nên cắt đường thẳng $y=2$ tại hoành độ nhỏ hơn $x_1$, còn $y={\log }_{a}x$ cắt tại $x_2$. Suy ra ${\log }_b{x}_1=2\Rightarrow x_1=b^2$ và ${\log }_a{x}_2=2\Rightarrow x_2=a^2$. Vì $x_2=2x_1$ nên $a^2=2b^2\Rightarrow \frac{a}{b}=\sqrt{2}\approx 1,41$. Khớp với đáp án nguồn 1,41.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số mũ $y=a^x$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $0<a<1$. Trong các đáp án: $y=2^x$, $y=3^x$, $y={\left(\sqrt{2}\right)}^x$ đều có cơ số lớn hơn 1 nên đồng biến trên $\mathbb{R}$. Riêng $y={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$ có cơ số $0<\frac{1}{3}<1$ nên nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình, $y={\log }_{b}x$ nằm trên $y={\log }_{a}x$, nên tại giao với đường thẳng $y=3$: điểm có hoành độ nhỏ hơn $x_1$ thuộc đồ thị $y={\log }_{b}x$ và điểm có hoành độ lớn hơn $x_2$ thuộc đồ thị $y={\log }_{a}x$.

Ta có:
$${\log }_b{x}_1=3\Rightarrow x_1=b^3$$
$${\log }_a{x}_2=3\Rightarrow x_2=a^3$$

Theo giả thiết $x_2=2x_1$:
$$a^3=2b^3\Rightarrow \frac{a^3}{b^3}=2\Rightarrow \frac{a}{b}=\sqrt[3]{2}\approx 1,2599\approx 1,26$$

Kết quả khớp với đáp án nguồn 1,26.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_{3}x$ có tập xác định $(0;+\infty )$, đồng biến vì cơ số $3>1$, đi qua điểm $(1;0)$ và có tiệm cận đứng là trục $Oy$. Xét các hình ở Câu 10 (trang 6, Mã đề 102): hình A là đồ thị hàm logarit đồng biến, nằm bên phải trục $Oy$, cắt trục hoành tại $x=1$, đi xuống dưới gần trục $Oy$ — khớp với $y={\log }_{3}x$. Hình B là hàm mũ đồng biến $y=a^x$ ($a>1$) vì đi qua $(0;1)$; hình C là hàm mũ nghịch biến $y=a^x$ ($0<a<1$); hình D là hàm logarit nghịch biến (cơ số nhỏ hơn 1). Vậy đáp án là A, khớp với bảng đáp án (đề 102, câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất lũy thừa của logarit: với $a>0$, $a\ne 1$, $b>0$, $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ ta có ${\log }_a{b}^n=n{\log }_{a}b$. Đáp án A, khớp với bảng đáp án đề 102 câu 6 là A.