Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

Đồ thị là của hàm số trùng phương có $a<0$ và $3$ điểm cực trị, nên là đồ thị của hàm số $y=-x^4+2x^2+1$.

Chọn A.
Đáp án được đối soát và xác thực theo bảng đáp án chính thức Mã đề 101 của kỳ thi thử tốt nghiệp THPT năm 2022 môn Toán liên trường THPT Nghệ An.

Theo bảng đáp án Mã đề 121 (trang 5): Chọn D. Đây là đồ thị hàm số bậc ba có hệ số $a<0$ (nhánh phải đi xuống) và cắt trục tung tại điểm có tung độ âm, nên hàm số là $y=-x^3+3x-2$.

Chọn B.
Đồ thị là của hàm trùng phương có hệ số $a<0$, đi qua $(0;1)$ và có hai điểm cực đại $(\pm 1;2)$.
Xét hàm số $y=-x^4+2x^2+1$: $y^{\prime }=-4x^3+4x=0⟺x\in \{0;\pm 1\}$ và $y(\pm 1)=2$. Vậy hàm số cần tìm là $y=-x^4+2x^2+1$.

Chọn A
Nhận xét: Đồ thị như trong hình vẽ trên là đồ thị hàm số bậc 4 nên loại đáp án B và D.
Hàm số có 3 điểm cực trị nên a.b  0 nên loại đáp án C.

Chọn A
Từ đồ thị ta có lim y = $\infty$ nên a  0 .
x $\infty$

Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm có tung độ dương nên d  0
Xét y' = 3ax 2 + 2bx + c

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm bên phải trục tung nên phương trình y' = 0 có hai
2b
1 2
x + x  0 - 3a  0 b  0
nghiệm phân biệt x1 ; x2 cùng dương. Suy ra $\iff$ $\iff$
x1 x2  0  c 0 c  0
 3a
Vậy a  0, b  0, c  0, d  0 .

1 4

Đồ thị có dạng đường cong của hàm số bậc ba $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ với hệ số $a>0$ vì ${\lim }_{x\to +\infty }y=+\infty$. Đồ thị đi qua điểm $(0;5)$ và đạt cực trị tại $x=0$ và $x=2>0$. Ta có đạo hàm $y^{\prime }=3x^2-6x=0\iff x=0$ hoặc $x=2$. Vậy hàm số là $y=x^3-3x^2+5$.

Quan sát đồ thị hàm số bậc ba: nhánh cuối đi xuống nên $a<0$. Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên $d>0$. Đồ thị có 2 điểm cực trị nằm về hai phía trục tung (hoặc 2 điểm cực trị có hoành độ dương thỏa mãn $y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c=0$ có $x_1{x}_2=\frac{c}{3a}>0\Rightarrow c<0$ và $x_1+x_2=-\frac{2b}{3a}>0\Rightarrow b>0$). Do đó $a<0,b>0,c<0,d>0$.

Chọn C

Đây đồ thị của hàm bậc 3: y = ax3 + bx 2 + cx + d (loại A, B)

Lại có nhánh cuối cùng của đồ thị đi lên nên a  0 $\Rightarrow$ Chọn C.

x-2

Đồ thị là của hàm số trùng phương $y=a{x}^4+b{x}^2+c$ có $a>0$ và $3$ điểm cực trị ($ab<0$), nên chọn $y=x^4-2x^2-3$.

Nhánh cuối của đồ thị đi xuống nên $a<0$. Đồ thị có $3$ điểm cực trị nên $ab<0\Rightarrow b>0$. Giao điểm với trục tung nằm dưới gốc tọa độ $O$ nên $c<0$.

Đồ thị có dạng hàm số trùng phương bậc bốn $y=a{x}^4+b{x}^2+c$ với bề lõm quay xuống dưới khi $x\to \pm \infty$, suy ra $a<0$. Đồ thị đi qua gốc tọa độ $(0;0)$ nên $c=0$. Hàm số có 3 điểm cực trị nên $ab<0\Rightarrow b>0$. Kiểm tra điểm cực trị hoặc giao điểm với trục hoành, phương án $y=-x^4+4x^2$ thỏa mãn.

Dựa vào đồ thị hàm số:
- Nhánh bên phải đồ thị đi xuống, nghĩa là ${\lim }_{x\to +\infty }y=-\infty$, suy ra hệ số bậc ba $a<0$.
- Đồ thị cắt trục tung tại điểm $(0;d)$ nằm phía dưới trục hoành, suy ra $d<0$.
Vậy $a<0$ và $d<0$.

Chọn đáp án B.

Đồ thị đã cho là đồ thị hàm số bậc ba $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ có:
- Nhánh bên phải hướng lên trên nên hệ số $a>0$.
- Đồ thị đi qua điểm $(0;1)$ trên trục tung nên $d=1$.
- Đồ thị có 2 điểm cực trị tại $x=-1$ (giá trị cực đại $y=3$) và $x=1$ (giá trị cực tiểu $y=-1$).
Xét hàm số $y=x^3-3x+1$ thỏa mãn đầy đủ các đặc điểm trên.

Đường cong là đồ thị hàm số trùng phương $y=a{x}^4+b{x}^2+c$ có bề lõm quay xuống dưới khi $x\to \pm \infty$, suy ra $a<0$.
Đồ thị cắt trục tung tại $(0;-1)$, suy ra $c=-1$.
Đồ thị có $3$ điểm cực trị nên $ab<0⟹b>0$.
Tại điểm cực đại $x=\pm 1$, $y=1$.
Thử hàm số $y=-2x^4+4x^2-1$:
Với $x=1⟹y=-2+4-1=1$ (thỏa mãn).
Chọn đáp án A.

Đường cong là đồ thị của hàm số bậc ba có nhánh bên phải đi lên nên $a>0$ (loại A và D). Đồ thị cắt trục tung tại điểm $(0;2)$ và tiếp xúc với trục hoành tại điểm cực tiểu $(1;0)$. Hàm số $y=x^3-3x+2$ có $y(0)=2$ và $y(1)=0$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 170, trang 7), chọn B.

Đồ thị hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ cắt trục tung tại điểm có tung độ âm khi $\frac{b}{d}<0$.

Do đó đồ thị hàm số $y=\frac{3x+4}{x-1}$ cắt trục tung tại điểm có tung độ âm.

Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y=1$ nên loại đáp án D.

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=1$ nên loại đáp án A và C.

Vậy chọn đáp án B.

Đồ thị có nhánh bên phải đi lên nên hệ số $a>0$ (loại C). Đồ thị đi qua điểm $(0;1)$ trên trục tung, suy ra hệ số tự do $d=1$ (loại B và D). Do đó hàm số là $y=x^3-3x+1$. Đồ thị có hai điểm cực trị $(-1;3)$ và $(1;-1)$, hoàn toàn phù hợp với $y^{\prime }=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$. Theo đáp án chính thức (Mã đề 731, trang 13), chọn A.

Ta có $y^{\prime }=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$.
a) Đúng vì hàm đa thức có tập xác định $D=\mathbb{R}$.
b) Sai vì hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1;1)$.
c) Sai vì hai điểm cực trị của đồ thị là $M(-1;2)$ và $N(1;-2)$, nên $MN=\sqrt{(1-(-1){)}^2+(-2-2{)}^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\ne 4$.
d) Sai vì hệ số góc tiếp tuyến tại $A(2;2)$ là $y^{\prime }(2)=3\cdot 2^2-3=9\ne 3$.