Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Lũy thừa (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Xét các đẳng thức với $a>0,b>0,\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$: A đúng theo tính chất $a^{\alpha }{a}^{\beta }=a^{\alpha +\beta }$; C đúng theo $a^{\alpha }{b}^{\alpha }=(ab{)}^{\alpha }$; D đúng theo $\frac{a^{\alpha }}{a^{\beta }}=a^{\alpha -\beta }$. B sai vì $\frac{a^{\alpha }}{b^{\beta }}\ne {\left(\frac{a}{b}\right)}^{\alpha -\beta }$ nói chung (ví dụ $a=b=2,\alpha =\beta =1$ thì vế trái $=1$, vế phải $=2^0=1$... xét $a=4,b=2,\alpha =2,\beta =1$: vế trái $=16/2=8$, vế phải $=2^1=2$). Vậy đẳng thức SAI là B.

(AI giải đề cho tôi)
Các tính chất lũy thừa đúng: $a^{\alpha }{b}^{\alpha }=(ab{)}^{\alpha }$ (A đúng), $\frac{a^{\alpha }}{a^{\beta }}=a^{\alpha -\beta }$ (B đúng), $a^{\alpha }{a}^{\beta }=a^{\alpha +\beta }$ (C đúng). Đẳng thức D sai vì $\frac{a^{\alpha }}{b^{\beta }}\ne {\left(\frac{a}{b}\right)}^{\alpha -\beta }$; ví dụ $a=4,b=2,\alpha =\beta =2$ thì $\frac{4^2}{2^2}=4$ còn ${\left(\frac{4}{2}\right)}^0=1$. Vậy đẳng thức SAI là D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất lũy thừa cùng cơ số: $x^3.x^2=x^{3+2}=x^5$ (với $x>0$). Vậy khẳng định đúng là phương án D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất lũy thừa: $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ với $a>0$, $m,n\in \mathbb{Z}$. Các khẳng định A, B, D đều sai (A sai vì $a^m+a^n\ne a^{m+n}$; B sai vì tích là $a^{m+n}$ chứ không phải $a^{m-n}$; D sai vì $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$). Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất lũy thừa cùng cơ số: $x^5.x^2=x^{5+2}=x^7$ (với $x>0$). Vậy khẳng định đúng là phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x,y>0$ và $\alpha ,\beta \in \mathbb{Z}$, các quy tắc lũy thừa đúng là: ${\left(x^{\alpha }\right)}^{\beta }=x^{\alpha \beta }$ (A đúng), ${\left(xy\right)}^{\alpha }=x^{\alpha }{y}^{\alpha }$ (B đúng), $x^{\alpha }{x}^{\beta }=x^{\alpha +\beta }$ (D đúng). Đẳng thức $x^{\alpha }+y^{\alpha }={\left(x+y\right)}^{\alpha }$ sai, ví dụ $x=y=1,\alpha =2$: $1+1=2\ne 4$. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Với $a>0$, theo công thức căn bậc $n$ của lũy thừa: $\sqrt[2025]{a^{2026}}={\left(a^{2026}\right)}^{\frac{1}{2025}}=a^{\frac{2026}{2025}}$. Vậy đáp án A, khớp với bảng đáp án mã đề 1145 (câu 11: A).

(AI giải đề cho tôi)
Với $x>0$, ta có $\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}$. Do đó $x\cdot \sqrt[3]{x}=x^{1+\frac{1}{3}}=x^{\frac{4}{3}}$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Với $b>0$, áp dụng tính chất $b^m\cdot b^n=b^{m+n}$: $P=b^{\frac{9}{16}}\cdot b^{\frac{1}{3}}=b^{\frac{9}{16}+\frac{1}{3}}=b^{\frac{27}{48}+\frac{16}{48}}=b^{\frac{43}{48}}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Rút gọn $P=\frac{a^{\frac{9}{11}}\cdot a^{\frac{5}{14}}}{a^{\frac{4}{5}}}$ với $a>0$. Quy đồng mẫu số chung của các mẫu 11, 14, 5 là $770$: $\frac{9}{11}=\frac{630}{770}$, $\frac{5}{14}=\frac{275}{770}$, $\frac{4}{5}=\frac{616}{770}$. Do đó số mũ của $P$ là $\frac{630}{770}+\frac{275}{770}-\frac{616}{770}=\frac{289}{770}$. Vậy $P=a^{\frac{289}{770}}$, tương ứng phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a>0$ nên $P=\sqrt[5]{a^{15}}=a^{\frac{15}{5}}=a^3$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 36: a) $\frac{a^{11}}{a^{15}}=a^{11-15}=a^{-4}\ne a^{\frac{11}{15}}$ → Sai. b) $(a^2{)}^3=a^{2\times 3}=a^6$ → Đúng. c) $\sqrt[14]{a^6}=a^{\frac{6}{14}}=a^{\frac{3}{7}}$ → Đúng. d) $a^{10}\cdot a^{15}=a^{10+15}=a^{25}\ne a^{150}$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\frac{a^{11}}{a^{15}}=a^{11-15}=a^{-4}$, khác $a^{\frac{11}{15}}$ nên khẳng định sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $(a^2{)}^3=a^{2\times 3}=a^6$ nên khẳng định đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\sqrt[14]{a^6}=a^{\frac{6}{14}}=a^{\frac{3}{7}}$ nên khẳng định đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $a^{10}\cdot a^{15}=a^{10+15}=a^{25}$, khác $a^{150}$ nên khẳng định sai.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 37: a) Sai vì $\sqrt[9]{a}\cdot \sqrt[9]{b}=\sqrt[9]{ab}$, không phải $\sqrt[9]{a+b}$. b) Đúng vì $\sqrt[4]{\sqrt[7]{a}}={\left(a^{1/7}\right)}^{1/4}=a^{1/28}=\sqrt[28]{a}$... kiểm tra lại: $\sqrt[4]{\sqrt[7]{a}}=a^{\frac{1}{7}\cdot \frac{1}{4}}=a^{1/28}=\sqrt[28]{a}$, còn $\sqrt[14]{a}=a^{1/14}$, nên khẳng định b) SAI. c) Đúng vì $\frac{\sqrt[6]{a}}{\sqrt[6]{b}}=\frac{a^{1/6}}{b^{1/6}}={\left(\frac{a}{b}\right)}^{1/6}=\sqrt[6]{\frac{a}{b}}$ (với $b>0$). d) Đúng vì với $a>0$, $\sqrt[7]{a^{15}}=a^{15/7}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\sqrt[9]{a}\cdot \sqrt[9]{b}=\sqrt[9]{ab}\ne \sqrt[9]{a+b}$, ví dụ $a=b=1$ thì vế trái $=1$, vế phải $=\sqrt[9]{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\sqrt[4]{\sqrt[7]{a}}=a^{\frac{1}{7}\cdot \frac{1}{4}}=a^{1/28}=\sqrt[28]{a}\ne \sqrt[14]{a}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{\sqrt[6]{a}}{\sqrt[6]{b}}=\frac{a^{1/6}}{b^{1/6}}={\left(\frac{a}{b}\right)}^{1/6}=\sqrt[6]{\frac{a}{b}}$ với $a,b>0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $a>0$: $\sqrt[7]{a^{15}}={\left(a^{15}\right)}^{1/7}=a^{15/7}$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $b>0$: $P=\sqrt[7]{b^7\cdot \sqrt[4]{b}}={\left(b^{7+\frac{1}{4}}\right)}^{\frac{1}{7}}={\left(b^{\frac{29}{4}}\right)}^{\frac{1}{7}}=b^{\frac{29}{28}}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Với $y>0$: $\sqrt{y^8}=y^4$, nên $y^6\cdot \sqrt{y^8}=y^{6+4}=y^{10}$. Khi đó $\sqrt[6]{y^{10}}=y^{10/6}=y^{5/3}$. Do đó $y\cdot y^{5/3}=y^{8/3}$ và $P=\sqrt[3]{y^{8/3}}=y^{\frac{8}{9}}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Với $a>0$, viết $P$ dưới dạng lũy thừa: $\sqrt[k]{a^{12}}=a^{12/k}$; $a^6\cdot a^{12/k}=a^{6+12/k}$; $\sqrt[6]{a^{6+12/k}}=a^{1+2/k}$; nhân với $a$: $a^{2+2/k}$; cuối cùng $P={\left(a^{2+2/k}\right)}^{1/6}=a^{\frac{1}{3}\left(1+\frac{1}{k}\right)}$. Yêu cầu $P=a^{3/8}$ nên $\frac{1}{3}\left(1+\frac{1}{k}\right)=\frac{3}{8}\Rightarrow 1+\frac{1}{k}=\frac{9}{8}\Rightarrow \frac{1}{k}=\frac{1}{8}\Rightarrow k=8$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Với $a>0$: $\sqrt{a^5}=a^{\frac{5}{2}}$, nên $a\sqrt{a^5}=a^{1+\frac{5}{2}}=a^{\frac{7}{2}}$. Do đó $\sqrt[3]{a\sqrt{a^5}}={\left(a^{\frac{7}{2}}\right)}^{\frac{1}{3}}=a^{\frac{7}{6}}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x>0$: $P=\sqrt[4]{x^2\sqrt[3]{x}}={\left(x^{2+\frac{1}{3}}\right)}^{\frac{1}{4}}=x^{\frac{7}{3}\cdot \frac{1}{4}}=x^{\frac{7}{12}}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa căn bậc $n$: $\sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n}}$ với $x>0$. Do đó $P=\sqrt[4]{x^3}=x^{\frac{3}{4}}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sqrt[5]{8}=8^{1/5}=2^{3/5}$ và $\sqrt{2}=2^{1/2}$. Do đó $$\frac{2^3\sqrt[5]{8}}{\sqrt{2}}=\frac{2^3\cdot 2^{3/5}}{2^{1/2}}=2^{3+3/5-1/2}=2^{31/10}=2^{3,1}\approx 8,574.$$ Làm tròn đến hàng phần trăm ta được $8,57$, khớp với đáp án của đề (mã đề 211, Phần III câu 2: 8,57).