Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt cầu (Toán học Lớp 12)

Thay tọa độ điểm $K(5;-3;1)$ vào phương trình mặt cầu $(S)$:
$$(5-2{)}^2+(-3+3{)}^2+(1-1{)}^2=3^2+0+0=9$$
Do đó điểm $K(5;-3;1)$ thuộc mặt cầu $(S)$.
Chọn đáp án A.

Hình vẽ minh họa:

Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $AC$.
Ta có $\{\begin{array}{l}BC\perp AB\\ BC\perp SA\end{array}\Rightarrow BC\perp (SAB)\Rightarrow BC\perp A{B}_1$.
Mặt khác $A{B}_1\perp SB$ theo giả thiết, suy ra $A{B}_1\perp (SBC)\Rightarrow A{B}_1\perp B_{1}C$, hay $\widehat{A{B}_{1}C}=90^{\circ }$.
Lại có $A{C}_1\perp SC\Rightarrow \widehat{A{C}_{1}C}=90^{\circ }$ và tam giác $ABC$ vuông tại $B\Rightarrow \widehat{ABC}=90^{\circ }$.
Như vậy, các điểm $B,B_1,C_1$ cùng nhìn đoạn thẳng $AC$ dưới một góc vuông $90^{\circ }$.
Do đó khối đa diện $A.BC{C}_1{B}_1$ nội tiếp mặt cầu $(S)$ đường kính $AC$, có tâm là $M$ (trung điểm của $AC$).
Bán kính mặt cầu là:
$$R=\frac{AC}{2}=\frac{\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}}{2}=\frac{\sqrt{5a^2+a^2}}{2}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$$
Thể tích khối cầu ngoại tiếp là:
$$V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi {\left(\frac{a\sqrt{6}}{2}\right)}^3=\frac{4}{3}\pi \cdot \frac{6\sqrt{6}{a}^3}{8}=\sqrt{6}\pi a^3$$
Chọn đáp án A.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(2;-1;1)$ và bán kính $R=2\sqrt{2}$.
Khoảng cách từ $I$ đến $(\alpha )$ là $d(I,(\alpha ))=\frac{|2-(-1)-1+2|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2+(-1{)}^2}}=\frac{4}{\sqrt{3}}<R$, do đó $(\alpha )$ cắt $(S)$ theo một đường tròn $(C)$.
Gọi tọa độ điểm $M(a+2;b-1;c+1)$. Khi đó:
$$\{\begin{array}{l}M\in (\alpha )\\ M\in (S)\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a-b-c+4=0\\ a^2+b^2+c^2=8\end{array}$$
Từ phương trình thứ nhất suy ra $c=a-b+4$, thế vào phương trình thứ hai ta được:
$$a^2+b^2+(a-b+4{)}^2=8\iff 2b^2-2(a+4)b+2a^2+8a+8=0$$
Phương trình có nghiệm đối với $b$ khi và chỉ khi:
$${\Delta }_b^{\prime }=(a+4{)}^2-2(2a^2+8a+8)=-3a^2-8a\ge 0\iff -\frac{8}{3}\le a\le 0$$
Ta có:
$$A{M}^2=a^2+(b+4{)}^2+(c+4{)}^2=a^2+b^2+c^2+8b+8c+32=8+8(b+c)+32=40+8(a+4)=8a+72$$
Vì $a\le 0$ nên $A{M}^2\le 72$. Dấu "=" xảy ra khi $a=0$.
Khi đó hoành độ của điểm $M$ là $x_M=a+2=0+2=2$.
Chọn đáp án B.

Chọn B.
Phương trình mặt cầu $(S)$ có bán kính $R=\sqrt{9}=3$.

Chọn D.
Tọa độ trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB$ là $I(3;-1;6)$.
Bán kính mặt cầu là $R^2=\frac{A{B}^2}{4}=\frac{(4-2{)}^2+(-5-3{)}^2+(7-5{)}^2}{4}=\frac{4+64+4}{4}=18$.
Vậy phương trình mặt cầu là $(x-3{)}^2+(y+1{)}^2+(z-6{)}^2=18$.

Chọn C.
Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;2;3)$, bán kính $R=\sqrt{1+4+9-10}=2$.
Đường thẳng $d$ đi qua điểm $A(1;0;0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1;-m;m-1)$.
Ta có $\overrightarrow{AI}=(0;2;3)$. Khoảng cách từ $I$ đến $d$ là $h=d(I,d)$.
Độ dài đoạn thẳng $MN=\frac{2R\sqrt{h^2-R^2}}{h}$.
Hàm số này đồng biến theo $h$, nên $MN$ ngắn nhất khi $h=d(I,d)$ nhỏ nhất.
Ta tìm được $m$ tương ứng, khi đó vectơ chỉ phương của $d$ cùng phương với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha )$.
Mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua $I(1;2;3)$ có dạng chuẩn hóa $5x+by+cz+d=0$.
Tính toán các hệ số cho ta $T=b+c+d=4$.

Chọn B.
Mặt cầu $(S)$ có tọa độ tâm là $I(1;2;0)$.

Chọn C.
Từ $|z_1|=1,|z_2|=\sqrt{2},|z_1-z_2|=1$, ta có $|z_1-z_2{|}^2=|z_1{|}^2+|z_2{|}^2-2\mathrm{Re}(z_1{\bar{z}}_2)⟹2\mathrm{Re}(z_1{\bar{z}}_2)=2$.
Khi đó $|2z_1+z_2{|}^2=4|z_1{|}^2+|z_2{|}^2+4\mathrm{Re}(z_1{\bar{z}}_2)=4+2+4=10⟹|2z_1+z_2|=\sqrt{10}$.
Do đó điểm biểu diễn $Q$ của số phức $w=2z_1+z_2$ thuộc đường tròn tâm $O$, bán kính $R=\sqrt{10}$.
Gọi $H(5;5)$ là điểm biểu diễn số phức $5+5i$ ($OH=5\sqrt{2}$). Ta có:
$|2z_1+z_2-(5+5i)|=QH\ge OH-R=5\sqrt{2}-\sqrt{10}.$

Chọn A.
Mặt cầu $(S_1)$ có tâm $I_1(1;0;2)$ và bán kính $R_1=1$.
Ta có $I{I}_1=\sqrt{(3-1{)}^2+(-1-0{)}^2+(4-2{)}^2}=3$.
Vì $(S)$ tiếp xúc ngoài với $(S_1)$ nên bán kính của $(S)$ là $R=I{I}_1-R_1=3-1=2$.
Vậy phương trình mặt cầu $(S)$ là $(x-3{)}^2+(y+1{)}^2+(z-4{)}^2=4$.

Chọn B.
Điểm $M(4;6;3)$ thuộc mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;2;3)$, bán kính $R=5$.
Hình hộp chữ nhật nội tiếp mặt cầu có ba cạnh $MA,MB,MC$ nhận $I$ làm tâm đối xứng, nên mặt phẳng $(ABC)$ luôn đi qua điểm $H$ trên đoạn $MI$ thỏa mãn $\overrightarrow{MH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{MI}$.
Với $\overrightarrow{MI}=(-3;-4;0)$, ta tìm được $H\left(2;\frac{10}{3};3\right)$.
Vậy $a+3b-c=2+10-3=9$.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(0;1;-2)$ và bán kính $R=\sqrt{0^2+1^2+(-2{)}^2-(-2)}=\sqrt{7}$.

Với $M(x;y;z)$, ta có $M{A}^2+2\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MC}=(x-1{)}^2+y^2+z^2+2[(x-2)x+(y-1)(y-2)+(z-3)(z+3)]=3x^2+3y^2+3z^2-6x-6y-13=8\iff (x-1{)}^2+(y-1{)}^2+z^2=9$ là mặt cầu $(S^{\prime })$ tâm $I^{\prime }(1;1;0)$, bán kính $R^{\prime }=3$. Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(3;3;2)$, bán kính $R=3$, và $I{I}^{\prime }=\sqrt{2^2+2^2+2^2}=2\sqrt{3}$. Giao tuyến của $(S)$ và $(S^{\prime })$ là đường tròn có bán kính $r=\sqrt{R^2-{\left(\frac{I{I}^{\prime }}{2}\right)}^2}=\sqrt{9-3}=\sqrt{6}$. Diện tích hình tròn là $S=\pi r^2=6\pi$.

Khoảng cách từ $I(1;-2;3)$ đến $\Delta$ là $h_{\Delta }=\sqrt{11}$. Từ $S_{IAB}=\frac{1}{2}AB\cdot h_{\Delta }=4\sqrt{11}\Rightarrow AB=8$, suy ra bán kính mặt cầu $R=\sqrt{h_{\Delta }^2+(AB/2{)}^2}=\sqrt{11+16}=3\sqrt{3}$. Thể tích khối nón đỉnh $I$ đáy $(C)$ là $V=\frac{1}{3}\pi (R^2-d^2)d$ đạt giá trị lớn nhất khi $d(I,(\alpha ))=\frac{R}{\sqrt{3}}=3$. Mặt phẳng $(\alpha ):ax+by-z+d=0$ đi qua $E(0;0;-4)$ và $F(2;0;0)$ nên $d=-4,a=2$. Từ $d(I,(\alpha ))=\frac{|2(1)+b(-2)-3-4|}{\sqrt{4+b^2+1}}=3\iff |-2b-5|=3\sqrt{b^2+5}\iff 5b^2-20b+20=0\iff b=2$. Vậy $P=a^2+b^2+d^2=2^2+2^2+(-4{)}^2=24$.

Lời giải
Chọn A
Theo lý thuyết tọa độ tâm của mặt cầu ( S ) là I ( -1;3; 2 ) .

Lời giải
Chọn D
Ta có IA = (1; 2; -2 ) \implies IA = 1 + 4 + 4 = 3 .
Mặt cầu ( S ) tâm I ( -1; 2;1) và đi qua điểm A ( 0; 4; -1) có bán kính R = IA = 3 .
Phương trình mặt cầu ( S ) : ( x + 1) + ( y - 2 ) + ( z - 1) = 9 .
2

$\int$ f ( x ) dx = 2

Lời giải

D. T = -20 .

Chọn B
A

I
C

M

B

Ta có AB = ( 4; 4;16 ) , AB = 12 2 .
Gọi M là điểm thuộc đoạn IB ( M khác B ) sao cho IM = x, 0 \le x < 6 2 khi đó
AM = x + 6 2, MC = 72 - x 2 .

(

)

Thể tích khối nón: V = $\pi$ .MC 2 . AM = $\pi$ ( 72 - x 2 ) x + 6 2 .

)

Lập bảng biến thiên ta có GTLN của V trên [] 0; 6 2 đạt được khi x = 2 2.
( 11 8 11 )
; ; )
(3 3 3)
Phương trình mặt phẳng chứa đáy của hình nón đi qua điểm M và có vectơ pháp tuyến
1
AB = (1;1; 4 ) là: x + y + 4 z - 21 = 0.
4
Vậy m2 + n 2 - p = 23 .

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;-2;-1)$ và bán kính $R=\sqrt{1^2+(-2{)}^2+(-1{)}^2-(-2)}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$.

a) Sai: Tâm của $(S)$ là $I(2;1;-1)$.
b) Sai: Bán kính của $(S)$ là $R=\sqrt{14}$.
c) Đúng: $I{M}^2=(1-2{)}^2+(-2-1{)}^2+(3+1{)}^2=26>14=R^2$ nên $M$ nằm ngoài $(S)$.
d) Đúng: $I{N}^2=(4-2{)}^2+(2-1{)}^2+(2+1{)}^2=14=R^2$ nên $N$ nằm trên $(S)$.

Phương trình mặt cầu có dạng $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$.
Ta có: $-2a=-4\Rightarrow a=2$; $-2b=2\Rightarrow b=-1$; $-2c=-2\Rightarrow c=1$.
Tọa độ tâm mặt cầu là $I(2;-1;1)$.
Chọn đáp án B.

Phương trình $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$ là mặt cầu khi $a^2+b^2+c^2-d>0$.
Ở đây: $a=-(2+m),b=0,c=m-1,d=3m^2-5$.
Điều kiện:
$$(2+m{)}^2+0^2+(m-1{)}^2-(3m^2-5)>0$$
$$\iff (m^2+4m+4)+(m^2-2m+1)-3m^2+5>0$$
$$\iff -m^2+2m+10>0\iff 1-\sqrt{11}<m<1+\sqrt{11}$$
Vì $\sqrt{11}\approx 3.32$ nên $-2.32<m<4.32$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-2;-1;0;1;2;3;4\}$.
Vậy có $7$ giá trị nguyên của $m$.
Chọn đáp án D.