Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt cầu (Toán học Lớp 12)

Chọn A.
Thể tích khối cầu là $V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi (4^3)=\frac{256\pi }{3}$.

Chọn C.
Phương trình mặt cầu có $a=0,b=-2,c=2,d=0$. Bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}=\sqrt{0^2+(-2{)}^2+2^2-0}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$.

Chọn B.
Bán kính mặt cầu là $R=IA=\sqrt{(-3-(-3){)}^2+(0-0{)}^2+(0-4{)}^2}=4$.
Phương trình mặt cầu là $(x+3{)}^2+y^2+(z-4{)}^2=16$.

Chọn D.
Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(2;0;2)$ và bán kính $R=\sqrt{2^2+0^2+2^2-3}=\sqrt{5}$.
Vì $\overrightarrow{MN}$ cùng hướng tia $Oz$ nên $MN$ song song với trục $Oz$.
Độ dài $MN=4$. Khoảng cách từ tâm $I$ đến đường thẳng $MN$ là $d=\sqrt{R^2-(MN/2{)}^2}=\sqrt{5-4}=1$.
Gọi $H$ là trung điểm $MN$, $H$ có cao độ $z_H=z_I=2$. Do đó điểm $E$ trên đoạn $MN$ thỏa mãn khoảng cách đến tia $Oz$ và cao độ biến thiên.
Tính toán khoảng cách từ $A(0;0;1)$ đến $E$, ta thu được $A{E}_{\max }=3\sqrt{2}$ và $A{E}_{\min }=1$. Tổng $A{E}_{\max }+A{E}_{\min }=1+3\sqrt{2}$.

Mặt cầu $(S)$ có phương trình $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=R^2\Rightarrow R^2=4\Rightarrow R=2$. Chọn A.

Phương trình mặt cầu có $a=4,b=-1,c=0$. Tọa độ tâm là $I(4;-1;0)$. Chọn B.

Diện tích mặt cầu $S=4\pi R^2=72\pi \Rightarrow R^2=18\Rightarrow R=3\sqrt{2}$.
Đường kính mặt cầu $2R=6\sqrt{2}$ chính là đường chéo của thiết diện qua trục hình vuông.
Cạnh hình vuông là $h=2r=\frac{2R}{\sqrt{2}}=6$.
Suy ra bán kính đáy hình trụ $r=3$ và chiều cao $h=6$.
Diện tích xung quanh của hình trụ: $S_{xq}=2\pi rh=2\pi \cdot 3\cdot 6=36\pi$. Chọn D.

a) Đúng: $|{\vec{v}}_1|=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=3$, tốc độ thực tế của chim bồ câu là $3\times 1,5=4,5\text{ (m/s)}$.
b) Đúng: $[{\vec{v}}_1,{\vec{v}}_2]=(2;-4;3)$ và $\overrightarrow{OA}=(0;0;5)\Rightarrow \overrightarrow{OA}\cdot [{\vec{v}}_1,{\vec{v}}_2]=15\ne 0$, nên hai đường thẳng quỹ đạo chéo nhau.
c) Sai: Quỹ đạo của chim bồ câu là $d_1:x=t,y=2t,z=2t$. Giao với mặt cầu $(S)$ cho $(t-2{)}^2+2(2t-4{)}^2=16\iff 9(t-2{)}^2=16\iff t\in \left\{\frac{2}{3};\frac{10}{3}\right\}$. Thời gian di chuyển trong vùng nguy hiểm là $\frac{10}{3}-\frac{2}{3}=\frac{8}{3}\approx 2,67<3\text{ (s)}$.
d) Sai: Tâm mặt cầu là $I(2;4;4),R=4$. Quỹ đạo của chim én là $x=0,y=3t,z=5+4t$. Khoảng cách từ $I$ đến đường bay của chim én có bình phương $d^2(t)=4+(3t-4{)}^2+(4t+1{)}^2=25t^2-16t+21\ge \frac{499}{25}>16$, suy ra khoảng cách ngắn nhất trong thực tế lớn hơn $(\sqrt{19,96}-4)\times 1,5\approx 0,70\text{ m}>0,5\text{ m}$.

Mặt cầu tâm $I(-2;0;1)$ bán kính $R=2$ có phương trình $(x+2{)}^2+y^2+(z-1{)}^2=2^2=4$.

Bán kính mặt cầu là $R=d(I,(P))=\frac{|2\cdot 1+2(-1)-0+9|}{\sqrt{2^2+2^2+(-1{)}^2}}=\frac{9}{3}=3$. Phương trình mặt cầu là $(x-1{)}^2+(y+1{)}^2+z^2=9$.

Mặt cầu $(S):(x+3{)}^2+(y+1{)}^2+(z-1{)}^2=4$ có tâm là $I(-3;-1;1)$.

Mặt cầu $(C)$ có tâm $I(1;1;1)$, bán kính $R=5$, và $IS=2\sqrt{5}$. Gọi $H$ là trung điểm $AB$, ta có $HA=HB=3$, $IH=\sqrt{R^2-H{A}^2}=4\Rightarrow SH=\sqrt{I{S}^2-I{H}^2}=2$. Vì $SA<SB$ nên $SA=HA-SH=1$, suy ra $A$ thuộc đường tròn giao tuyến của $(C)$ và mặt cầu tâm $S$ bán kính $1$. Từ đó xác định được hai vị trí của $\Delta$ làm cho $OA$ lớn nhất và nhỏ nhất, tính được $(M+m)\cdot 2-M\cdot m=-6$.

Mặt cầu đường kính $AB$ có tâm là trung điểm $I(0;3;2)$ của $AB$ và bán kính $R=\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt{(-2{)}^2+2^2+(-2{)}^2}}{2}=\sqrt{3}$. Phương trình mặt cầu là $x^2+(y-3{)}^2+(z-2{)}^2=3$.

Bán kính mặt cầu cần tìm là $R=d(I,(P))=\frac{|12(4)+0(2)-5(-2)-19|}{\sqrt{12^2+0^2+(-5{)}^2}}=\frac{|48+10-19|}{\sqrt{169}}=\frac{39}{13}=3$. Chọn B.

Phương trình mặt cầu có dạng $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$ với $a=1,b=3,c=-2,d=-11$.
Tâm $I(1;3;-2)$ và bán kính $R=\sqrt{1^2+3^2+(-2{)}^2-(-11)}=\sqrt{1+9+4+11}=\sqrt{25}=5$. Chọn A.

Chọn C.
Phương trình mặt cầu có dạng $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$ với $a=1,b=-2,c=3,d=-11$. Tâm $I(1;-2;3)$, bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}=\sqrt{1+4+9-(-11)}=\sqrt{25}=5$.

Chọn B.
Công thức thể tích khối cầu bán kính $R$ là $V=\frac{4}{3}\pi R^3$.

Chọn C.
Bán kính mặt cầu là $R=IA=\sqrt{(1-1{)}^2+(2-1{)}^2+(3-1{)}^2}=\sqrt{0+1+4}=\sqrt{5}$. Phương trình mặt cầu tâm $I(1;1;1)$ bán kính $R=\sqrt{5}$ là $(x-1{)}^2+(y-1{)}^2+(z-1{)}^2=5$.

Chọn D.
Bán kính đường tròn giao tuyến $r=\sqrt{R^2-d^2(I,(P))}$ nhỏ nhất khi và chỉ khi khoảng cách $d(I,(P))$ lớn nhất. Mặt phẳng $(P)$ thỏa mãn yêu cầu có phương trình $x+3y+z-10=0$ theo đáp án chính thức mã 222.

Gọi $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$. Tọa độ của $I$ là:
$$I\left(\frac{-1+3}{2};\frac{-3-1}{2};\frac{4+2}{2}\right)=(1;-2;3)$$
Bán kính mặt cầu là:
$$R=IA=\sqrt{(-1-1{)}^2+(-3+2{)}^2+(4-3{)}^2}=\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}$$
Vậy phương trình mặt cầu đường kính $AB$ là:
$$(x-1{)}^2+(y+2{)}^2+(z-3{)}^2=6$$
Chọn đáp án D.