Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt phẳng (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $M(1;2;-3)$ đến mặt phẳng $(P):x+2y+2z-10=0$ là $d(M,(P))=\frac{|1+2\cdot 2+2\cdot (-3)-10|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=\frac{|1+4-6-10|}{3}=\frac{11}{3}$. Kết quả khớp với đáp án B trong bảng đáp án (mã đề 404, Câu 11: B).

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ $\overrightarrow{AC}=(2-0;1+2;5-1)=(2;3;4)$ là vectơ pháp tuyến của $(P)$. Vì hệ số của $z$ trong phương trình $ax+by+2z+d=0$ bằng 2, nhân vectơ pháp tuyến với $k=\frac{1}{2}$ ta được $(a;b;2)=(1;\frac{3}{2};2)$. Mặt phẳng đi qua $B(-3;2;2)$: $1\cdot (-3)+\frac{3}{2}\cdot 2+2\cdot 2+d=0\Rightarrow -3+3+4+d=0\Rightarrow d=-4$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (-4).

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $M(0;3;-1)$ đến mặt phẳng $(\alpha ):2x+y-2z-2=0$ là $d(M,\alpha )=\frac{|2\cdot 0+3-2\cdot (-1)-2|}{\sqrt{2^2+1^2+(-2{)}^2}}=\frac{|0+3+2-2|}{3}=\frac{3}{3}=1$. Kết quả khớp với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
a) d(A,(P))=|2-2·1+3|/√(1²+(-2)²)=3/√5≈1,34 ≠ 3/2 → Sai. b) Vectơ pháp tuyến của (P) là n=(1;-2;0), đường thẳng qua A(2;1;2) vuông góc (P) có VTCP (1;-2;0): x=2+t, y=1-2t, z=2 → Đúng. c) BC=(-2-1;1-1;1-0)=(-3;0;1) → Đúng. d) n_Q = [BC, n_P] = |i j k; -3 0 1; 1 -2 0| = (0·0-1·(-2); 1·1-(-3)·0; (-3)(-2)-0·1) = (2;1;6) → Đúng. Khớp đáp án nguồn SDDD.
a) (AI giải đề cho tôi)
d(A,(P))=|2-2+3|/√5=3/√5≈1,34, không bằng 3/2.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua A(2;1;2) với VTCP trùng pháp tuyến (1;-2;0) của (P): x=2+t, y=1-2t, z=2.
c) (AI giải đề cho tôi)
BC=(-2-1;1-1;1-0)=(-3;0;1).
d) (AI giải đề cho tôi)
n_Q=[BC,n_P]=((-3;0;1),(1;-2;0))=(2;1;6), vuông góc cả BC và n_P.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $M(0;3;-1)$ đến mặt phẳng $(\alpha ):2x+y-2z-2=0$ là $d(M,(\alpha ))=\frac{|2\cdot 0+3-2\cdot (-1)-2|}{\sqrt{2^2+1^2+(-2{)}^2}}=\frac{|0+3+2-2|}{3}=\frac{3}{3}=1$. Vậy đáp án B, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
a) Thay A(1;5;-2) vào (α): 1-5+2(-2)-1=-9≠0, nên A không thuộc (α) → Sai. b) Mặt phẳng qua A song song (α) có dạng x-y+2z+d=0; thay A: 1-5-4+d=0 ⇒ d=8, phương trình là x-y+2z+8=0 ≠ x-y+2z-2=0 → Sai. c) n_α=(1;-1;2), n_P=(1;-1;-1), tích vô hướng 1+1-2=0 ⇒ (α)⊥(P) → Đúng. d) AB=(2;-4;4), VTPT (1;-2;2), mặt phẳng qua B(3;1;2): x-2y+2z+d=0, thay B: 3-2+4+d=0 ⇒ d=-5, phương trình x-2y+2z-5=0 ≠ x-2y+z-3=0 → Sai. Kết quả khớp đáp án nguồn: a Sai, b Sai, c Đúng, d Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay A(1;5;-2): 1-5+2(-2)-1=-9≠0 nên A không thuộc (α).
b) (AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng qua A song song (α): x-y+2z+d=0 với d=8, tức x-y+2z+8=0, không phải x-y+2z-2=0.
c) (AI giải đề cho tôi)
n_α·n_P=(1)(1)+(-1)(-1)+(2)(-1)=0 nên (α)⊥(P).
d) (AI giải đề cho tôi)
AB=(2;-4;4) ⇒ VTPT (1;-2;2); qua B: 3-2+4+d=0 ⇒ d=-5, phương trình đúng là x-2y+2z-5=0.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P)$ chứa trục $Ox$ nên đi qua gốc $O(0;0;0)$ và có vectơ chỉ phương của trục $Ox$ là $\vec{u}=(1;0;0)$. Mặt phẳng cũng đi qua điểm $A(1;0;-1)$, nên vectơ $\overrightarrow{OA}=(1;0;-1)$ nằm trong $(P)$. Vectơ pháp tuyến: $\vec{n}=\vec{u}\times \overrightarrow{OA}=(0;1;0)$. Phương trình: $1\cdot (y-0)=0\iff y=0$. Kiểm tra: $A(1;0;-1)$ có $y=0$ nên thuộc mặt phẳng; trục $Ox$ có $y=0$ nên nằm trong mặt phẳng. Vậy đáp án là A, khớp với đáp án nguồn (Câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(3-1;2-6;1+7)=(2;-4;8)$ nên vecto pháp tuyến của mặt phẳng trung trực là $\vec{n}=(1;-2;4)$. Trung điểm của $AB$ là $I\left(\frac{1+3}{2};\frac{6+2}{2};\frac{-7+1}{2}\right)=I(2;4;-3)$. Mặt phẳng trung trực đi qua $I$ với VTPT $\vec{n}$: $1(x-2)-2(y-4)+4(z+3)=0\iff x-2y+4z+18=0$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(3-1;2-6;1-(-7))=(2;-4;8)$, chọn vecto pháp tuyến $\vec{n}=(1;-2;4)$. Trung điểm của $AB$ là $I\left(\frac{1+3}{2};\frac{6+2}{2};\frac{-7+1}{2}\right)=(2;4;-3)$. Mặt phẳng trung trực đi qua $I$ và nhận $\vec{n}$ làm vecto pháp tuyến: $1(x-2)-2(y-4)+4(z+3)=0\iff x-2y+4z+18=0$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn (Câu 5: D).

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P)$ chứa trục $Ox$ nên đi qua gốc $O(0;0;0)$ và chứa vectơ chỉ phương của trục $Ox$ là $\vec{i}=(1;0;0)$, do đó phương trình có dạng $By+Cz=0$ (không chứa $x$). Vì $(P)$ đi qua $A(1;0;-1)$ nên $B\cdot 0+C\cdot (-1)=0\Rightarrow C=0$. Suy ra $By=0$ với $B\ne 0$, tức $(P):y=0$. Kiểm tra: $y=0$ chứa trục $Ox$ (mọi điểm $(x;0;0)$ thỏa mãn) và chứa $A(1;0;-1)$ vì $0=0$. Các phương án khác: $x=0$ không chứa $A$; $x-y=0$ cho $A$: $1-0=1\ne 0$; $y+z=0$ cho $A$: $0+(-1)=-1\ne 0$. Kết quả khớp với đáp án nguồn là A.

(AI giải đề cho tôi)
a) Mặt phẳng $(\alpha ):x+2y+2z+3=0$ có VTPT ${\vec{n}}_0=(1;2;2)$, do đó $\vec{n}=(-1;-2;-2)=-{\vec{n}}_0$ cũng là một VTPT của $(\alpha )$. Đúng.
b) Hình chiếu của $A(2;1;-3)$ lên các trục là $A_1(2;0;0)$, $A_2(0;1;0)$, $A_3(0;0;-3)$. Mặt phẳng qua 3 điểm này có dạng $\frac{x}{2}+\frac{y}{1}+\frac{z}{-3}=0$ (kiểm tra: thay tọa độ từng điểm đều thỏa). Đúng.
c) Mặt phẳng $(\beta )$ song song $(\alpha )$ có dạng $x+2y+2z+C=0$; qua $A(2;1;-3)$: $2+2-6+C=0\Rightarrow C=2$. Vậy $(\beta ):x+2y+2z+2=0\ne x+2y+2z+6=0$. Sai.
d) $d(A,(\alpha ))=\frac{|2+2\cdot 1+2\cdot (-3)+3|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=\frac{|1|}{3}=\frac{1}{3}\ne 1$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{n}=(-1;-2;-2)$ cùng phương với $(1;2;2)$ nên là VTPT của $(\alpha )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Các hình chiếu $(2;0;0),(0;1;0),(0;0;-3)$ đều thỏa $\frac{x}{2}+\frac{y}{1}+\frac{z}{-3}=0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Thay $A$ vào $x+2y+2z+C=0$ được $C=2$, nên $(\beta ):x+2y+2z+2=0$, không phải $+6$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$d(A,(\alpha ))=\frac{|2+2-6+3|}{3}=\frac{1}{3}\ne 1$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2 (Mã đề 102, Phần II): Cho $A(1;-1;3)$ và $(P):2x-y+2z+6=0$.
a) Thay tọa độ $A$ vào $(P)$: $2(1)-(-1)+2(3)+6=2+1+6+6=15\ne 0$, nên $A\notin (P)$ → Sai.
b) Vectơ pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n}=(2;-1;2)$, không phải $(2;1;2)$ → Sai.
c) $d(A,(P))=\frac{|2(1)-(-1)+2(3)+6|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2+2^2}}=\frac{15}{3}=5$ → Đúng.
d) Mặt phẳng $(Q)$ song song với $(P)$ có dạng $2x-y+2z+d=0$; qua $A$: $2+1+6+d=0\Rightarrow d=-9$, nên $(Q):2x-y+2z-9=0$ → Đúng.
Kết quả khớp với đáp án nguồn (Mã đề 102, Phần II Câu 2): a) S; b) S; c) Đ; d) Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay $A(1;-1;3)$ vào $(P)$: $2(1)-(-1)+2(3)+6=2+1+6+6=15\ne 0$ nên $(P)$ không đi qua $A$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Pháp tuyến của $(P):2x-y+2z+6=0$ là $\vec{n}=(2;-1;2)$, không phải $(2;1;2)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$d(A,(P))=\frac{|2+1+6+6|}{\sqrt{9}}=\frac{15}{3}=5$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Dòng $2x-y+2z-9=0$ trong bản gốc là phần kết thúc của ý d) (dòng bị xuống dòng sau câu dẫn "có phương trình tổng quát là"). $(Q)$ song song $(P)$: $2x-y+2z+d=0$; qua $A$ suy ra $d=-9$, tức $2x-y+2z-9=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $M(1;4;-3)$ đến mặt phẳng $(P):x+2y-2z+6=0$ là $$d(M,(P))=\frac{|1\cdot 1+2\cdot 4-2\cdot (-3)+6|}{\sqrt{1^2+2^2+(-2{)}^2}}=\frac{|1+8+6+6|}{3}=\frac{21}{3}=7.$$ Kết quả khớp với đáp án nguồn (Mã đề 102, Phần III, Câu 4: 7).

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng ý với $A(1;-1;3)$ và $(P):2x-y+2z+6=0$.
a) Mặt phẳng $(Q)$ qua A, song song $(P)$ có pháp tuyến $\vec{n}=(2;-1;2)$: $2(x-1)-(y+1)+2(z-3)=0\iff 2x-y+2z-9=0$. ĐÚNG.
b) $d(A,(P))=\frac{|2(1)-(-1)+2(3)+6|}{\sqrt{4+1+4}}=\frac{|2+1+6+6|}{3}=\frac{15}{3}=5$. ĐÚNG.
c) Vectơ pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n}=(2;-1;2)$, không phải $(2;1;2)$. SAI.
d) Thay A vào $(P)$: $2(1)-(-1)+2(3)+6=15\ne 0$ nên A không thuộc $(P)$. SAI.
Kết quả khớp bảng đáp án nguồn trang 7 (Mã đề 101, Phần II Câu 1): a) Đ, b) Đ, c) S, d) S. Dòng in '$2x-y+2z-9=0$' trước ý a) là phần cuối của đề ý a), giữ nguyên theo bản in.
a) (AI giải đề cho tôi)
$(Q)$ qua $A(1;-1;3)$, song song $(P)$ có $\vec{n}=(2;-1;2)$: $2(x-1)-(y+1)+2(z-3)=0\iff 2x-y+2z-9=0$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$d(A,(P))=\frac{|2+1+6+6|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2+2^2}}=\frac{15}{3}=5$. Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n}=(2;-1;2)$, không phải $(2;1;2)$. Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$2(1)-(-1)+2(3)+6=15\ne 0$ nên A không thuộc $(P)$. Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $M(1;4;-3)$ đến mặt phẳng $(P):x+2y-2z+6=0$ là $d(M,(P))=\frac{|1\cdot 1+2\cdot 4+(-2)\cdot (-3)+6|}{\sqrt{1^2+2^2+(-2{)}^2}}=\frac{|1+8+6+6|}{3}=\frac{21}{3}=7$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Phần III Câu 3 = 7).

Gọi $(P)$ là mặt phẳng cần tìm. Do $(P)\parallel (\alpha )\Rightarrow$ VTPT $\overrightarrow{n_P}=\overrightarrow{n_{\alpha }}=(2;-1;0)$. Và $(P)$ đi qua điểm $M\Rightarrow (P):2.(x-1)-1.(y+0)+0.(z+0)=0$ $\Rightarrow (P):2x-y-2=0\iff -x+\frac{1}{2}y+1=0$. Vậy $b=\frac{1}{2},c=0,d=1\Rightarrow b+c-3d=-2,5$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(Q)$ song song với $(\alpha ):3x+4y-z+1=0$ nên có dạng $3x+4y-z+d=0$. Vì $(Q)$ đi qua $A(1;2;-1)$ nên $3(1)+4(2)-(-1)+d=0\iff 3+8+1+d=0\iff d=-12$. Vậy $(Q):3x+4y-z-12=0$, trùng với đáp án A (khớp bảng đáp án mã đề 102, câu 3).

Gọi $(P)$ là mặt phẳng cần tìm. Do $(P)\parallel (\alpha )\Rightarrow$ VTPT $\overrightarrow{n_P}=\overrightarrow{n_{\alpha }}=(2;-1;0)$. Và $(P)$ đi qua điểm $M\Rightarrow (P):2.(x-1)-1.(y+0)+0.(z+0)=0$ $\Rightarrow (P):2x-y-2=0\iff -x+\frac{1}{2}y+1=0$. Vậy $b=\frac{1}{2},c=0,d=1\Rightarrow b+c-3d=-2,5$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(Q)$ song song với $(\alpha ):3x+4y-z+1=0$ nên có dạng $3x+4y-z+d=0$. Vì $(Q)$ đi qua $A(1;2;-1)$ nên $3(1)+4(2)-(-1)+d=0\iff 12+d=0\iff d=-12$. Vậy $(Q):3x+4y-z-12=0$, khớp với đáp án A của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Vecto chỉ phương của BC là $\overrightarrow{BC}=(-1;-2;2)$. Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC có vecto pháp tuyến $\vec{n}=(-1;-2;2)$, phương trình: $-1(x+1)-2(y-1)+2(z-1)=0\iff -x-2y+2z-1=0\iff x+2y-2z+1=0$. Vậy chọn B.