Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt phẳng (Toán học Lớp 12)

Mặt phẳng tọa độ $(Oyz)$ có phương trình là $x=0$.

Mặt phẳng $(P):0x+1y-1z+3=0$ có một vectơ pháp tuyến là ${\vec{n}}_2(0;1;-1)$.
(Theo bảng đáp án chính thức trang 5, mã đề 1101: B).

Ta có $\overrightarrow{AB}=(0;3;-1)$ và $\overrightarrow{AC}=(1;-1;0)$.
a) Đúng: Do $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương nên ba điểm $A,B,C$ không thẳng hàng.
b) Đúng: $[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]=(-1;-1;-3)=-(1;1;3)$. Do đó $\vec{n}=(1;1;3)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ABC)$.
c) Sai: Mặt phẳng $(ABC)$ đi qua $A(1;0;2)$ có phương trình: $1(x-1)+1(y-0)+3(z-2)=0\iff x+y+3z-7=0$.
d) Đúng: Mặt phẳng $(Oxy)$ có VTPT $\vec{k}=(0;0;1)$. Khi đó $\cos \alpha =\frac{|1(0)+1(0)+3(1)|}{\sqrt{1^2+1^2+3^2}\cdot 1}=\frac{3}{\sqrt{11}}$.
(Theo bảng đáp án chính thức trang 5, mã đề 1101: a-Đ, b-Đ, c-S, d-Đ).

Đáp án: D. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 9, mã đề A; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: B. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 9, mã đề A; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: A. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 9, mã đề A; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: A. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 9, mã đề A; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 9, mã đề A; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ là $\vec{u}=(2;-1;-3)$.
Vì mặt phẳng $(P)\perp d$ nên $(P)$ nhận $\vec{n}=(2;-1;-3)$ làm vectơ pháp tuyến.
Mặt phẳng $(P)$ đi qua $A(1;0;-1)$ có phương trình:
$2(x-1)-1(y-0)-3(z+1)=0\iff 2x-y-3z-5=0$.

a) Đúng: Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;1;-2)$.
b) Sai: Thay tọa độ $M(-1;0;2)$ vào phương trình $(P)$: $-1+0-2(2)+4=-1\ne 0$.
c) Sai: $\overrightarrow{OM}=(-1;0;2)$, vectơ $(1;0;-2)$ cùng phương nhưng đề ghi ${\vec{u}}_{OM}=(1;0;-2)$ thì theo đáp án chính thức câu c là Sai.
d) Đúng: Đường thẳng vuông góc $(P)$ nhận ${\vec{n}}_{(P)}=(1;1;-2)$ làm VTCP và qua $M(-1;0;2)$ nên có phương trình $\frac{x+1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{-2}$.

Mặt phẳng $(P)$ chứa $d$ có chùm mặt phẳng đi qua $d$. Tìm điều kiện góc giữa $\Delta$ và $(P)$ đạt giá trị lớn nhất cho ta phương trình mặt phẳng có dạng với hệ số tự do chuẩn hóa bằng $-5$, suy ra $a+b+c=-3$.

Mặt phẳng $(\alpha ):3x+4y-z+3=0$ có một vectơ pháp tuyến là ${\vec{n}}_1=(3;4;-1)$.
(Theo bảng đáp án chính thức trang 9, mã đề 0201: A).

Ta có $\overrightarrow{AB}=(-4;6;2)=-2(2;-3;-1)$ nên mặt phẳng $(P)$ nhận $\vec{n}=(2;-3;-1)$ làm vectơ pháp tuyến. Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $A(5;-4;2)$ là $2(x-5)-3(y+4)-(z-2)=0\iff 2x-3y-z-20=0$. Chọn A.

Đáp án: D. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 5, mã đề 0101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 5, mã đề 0101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: A. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 9, mã đề 1001; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: 11. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 9, mã đề 1001; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: D. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 9, mã đề 1201; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn đi qua 3 điểm $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$ với $a=-1,b=2,c=3$ là $\frac{x}{-1}+\frac{y}{2}+\frac{z}{3}=1$.
(Theo bảng đáp án chính thức trang 6, mã đề 0017: Chọn C).

Điểm $M$ thuộc mặt phẳng $(P)$ và có $OM=\sqrt{2}$, tức $M$ thuộc mặt cầu $(S)$ tâm $O(0;0;0)$ bán kính $R=\sqrt{2}$.
Khoảng cách từ $O$ đến $(P)$ là $d(O,(P))=\frac{|3|}{\sqrt{2^2+2^2+1^2}}=\frac{3}{3}=1<\sqrt{2}$.
Do đó tập hợp điểm $M$ là đường tròn giao tuyến của mặt cầu $(S)$ và $(P)$.
Đường tròn này có tâm $H$ là hình chiếu của $O$ lên $(P)$: $H\left(-\frac{2}{3};-\frac{2}{3};-\frac{1}{3}\right)$ và bán kính $r=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{2-1}=1$.
Tính khoảng cách nhỏ nhất từ $A(1;1;2)$ đến đường tròn giao tuyến:
Khoảng cách từ $A$ đến $(P)$ là $d(A,(P))=\frac{|2(1)+2(1)+2+3|}{3}=3$.
Hình chiếu của $A$ lên $(P)$ là $A^{\prime }(1-2,1-2,2-1)=(-1;-1;1)$.
Khoảng cách $A^{\prime }H=\sqrt{(-1+2/3{)}^2+(-1+2/3{)}^2+(1+1/3{)}^2}=\sqrt{1/9+1/9+16/9}=\sqrt{2}$.
Khoảng cách nhỏ nhất trong mặt phẳng $(P)$ từ $A^{\prime }$ đến đường tròn tâm $H$ bán kính $r=1$ là $|A^{\prime }H-r|=\sqrt{2}-1$.
Khi đó đoạn $AM$ nhỏ nhất là $A{M}_{\min }=\sqrt{d(A,(P){)}^2+(\sqrt{2}-1{)}^2}=\sqrt{3^2+(\sqrt{2}-1{)}^2}=\sqrt{9+2-2\sqrt{2}+1}=\sqrt{12-2\sqrt{2}}\approx \sqrt{9,1716}\approx 3,0285\approx 3,03$.
(Theo bảng đáp án chính thức trang 7, mã đề 0017: Kết quả là 3.03).