Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Nguyên hàm (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
a) $F^{\prime }(x)=2x-e^x=f(x)$ nên đúng. b) $g^{\prime }(x)=2-e^x\ne 2x-e^x=f(x)$ nên sai. c) $F(x)=x^2-e^x$ cho $F(0)=-1\ne 0$ nên sai. d) ${\int }_1^2(2x-e^x)dx=[x^2-e^x{]}_1^2=(4-e^2)-(1-e)=3+e-e^2$, vậy $a=3,b=1,c=-1$, $a+b+c=3$ nên đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$F^{\prime }(x)=2x-e^x=f(x)$, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$g^{\prime }(x)=2-e^x\ne f(x)=2x-e^x$, sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$F(0)=0^2-e^0=-1\ne 0$, sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_1^2(2x-e^x)dx=[x^2-e^x{]}_1^2=3+e-e^2$, nên $a+b+c=3+1-1=3$, đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\tan }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}-1$, nên $F(x)=\int {\tan }^{2}xdx=\tan x-x+C$.
a) Đúng: theo định nghĩa nguyên hàm, $F^{\prime }(x)=f(x)={\tan }^{2}x$.
b) Sai: $(\tan x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}\ne {\tan }^{2}x$, nên $\tan x$ không phải nguyên hàm của $f(x)$.
c) Đúng: vì ${\tan }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}-1$ nên $F(x)=\int \left(\frac{1}{{\cos }^{2}x}-1\right)dx$.
d) Sai: với $F(0)=0$ thì $C=0$, tức $F(x)=\tan x-x$; khi đó $F(\pi )=\tan \pi -\pi =-\pi \ne 0$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, $F^{\prime }(x)=f(x)={\tan }^{2}x$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$(\tan x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}\ne {\tan }^{2}x$, nên $\tan x$ không là nguyên hàm của $f(x)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì ${\tan }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}-1$ nên $F(x)=\int \left(\frac{1}{{\cos }^{2}x}-1\right)dx$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$F(x)=\tan x-x+C$; $F(0)=0\Rightarrow C=0$, nên $F(\pi )=0-\pi =-\pi \ne 0$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $F(x)=\frac{2x^2-3x+6}{x}=2x-3+\frac{6}{x}$. Suy ra $f(x)=F^{\prime }(x)=2-\frac{6}{x^2}=\frac{2x^2-6}{x^2}$. So sánh với $f(x)=\frac{a{x}^2+bx+c}{x^2}$ ta được $a=2,b=0,c=-6$. Vậy $a+b-c=2+0-(-6)=8$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int f(x)dx=\int (3x^2-2x)dx=x^3-x^2+C$. a) Đúng vì đạo hàm của $x^3-x^2+C$ là $3x^2-2x=f(x)$. b) Đúng theo tính tuyến tính của tích phân: $\int (f-g)dx=\int fdx-\int gdx$. c) Nguyên hàm tổng quát $F(x)=x^3-x^2+C$; $F(0)=C=2$ nên $F(x)=x^3-x^2+2$, đúng. d) $F(1)=1-1+C=3\Rightarrow C=3$, khi đó $F(-1)=-1-1+3=1\ne 5$, sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\int (3x^2-2x)dx=x^3-x^2+C$ vì $(x^3-x^2+C{)}^{\prime }=3x^2-2x=f(x)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Theo tính tuyến tính: $\int (3x^2-2x)dx=\int 3x^{2}dx-\int 2xdx$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$F(x)=x^3-x^2+C$, $F(0)=C=2\Rightarrow F(x)=x^3-x^2+2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$F(1)=1-1+C=3\Rightarrow C=3$, nên $F(-1)=-1-1+3=1\ne 5$.

(AI giải đề cho tôi)
Tính đạo hàm từng đáp án: A: $f^{\prime }(x)=3x^2-3x+7$ (sai vì hệ số của $x^2$ là 3). B: $f(x)=\frac{2}{3}{x}^3-\frac{3}{2}{x}^2+7x-1$ nên $f^{\prime }(x)=2x^2-3x+7$ (đúng). C và D: $f^{\prime }(x)=4$ (sai). Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int x(3x^4+2x-1)\mathrm{d}x=\int (3x^5+2x^2-x)\mathrm{d}x=\frac{3x^6}{6}+\frac{2x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+C=\frac{1}{2}{x}^6+\frac{2}{3}{x}^3-\frac{x^2}{2}+C$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=2x-6e^{-2x}$. Nguyên hàm: $f(x)=\int (2x-6e^{-2x})dx=x^2+3e^{-2x}+C$ (vì $\int -6e^{-2x}dx=3e^{-2x}$). Kiểm tra: $(x^2+3e^{-2x}+C{)}^{\prime }=2x-6e^{-2x}$ đúng. Áp dụng điều kiện $f(0)=-2$: $0^2+3e^0+C=-2\Rightarrow 3+C=-2\Rightarrow C=-5$. Vậy $f(x)=x^2+3e^{-2x}-5$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=1-\frac{1}{{\cos }^{2}x}=1-{\tan }^{2}x$ trên các khoảng xác định. Do đó $\int f(x)\mathrm{d}x=\int 1\mathrm{d}x-\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}\mathrm{d}x=x-\tan x+C$. Kiểm tra bằng đạo hàm: $(x-\tan x+C{)}^{\prime }=1-\frac{1}{{\cos }^{2}x}=f(x)$, đúng. Vậy khẳng định đúng là A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 211, câu 11: A).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int \left(1-\frac{1}{{\cos }^{2}x}\right)\mathrm{d}x=\int 1\mathrm{d}x-\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}\mathrm{d}x=x-\tan x+C$, vì $\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}\mathrm{d}x=\tan x+C$. Kiểm tra bằng đạo hàm: $(x-\tan x{)}^{\prime }=1-\frac{1}{{\cos }^{2}x}=f(x)$. Vậy khẳng định đúng là phương án D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 111, Câu 1: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta tính nguyên hàm từng thành phần: $\int 2\sin xdx=-2\cos x+C$ và $\int \frac{3}{{\sin }^{2}x}dx=3\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx=3\cdot (-\cot x)+C=-3\cot x+C$ (do $(\cot x{)}^{\prime }=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$). Vậy $\int \left(2\sin x+\frac{3}{{\sin }^{2}x}\right)dx=-2\cos x-3\cot x+C$. Kiểm tra bằng đạo hàm: $(-2\cos x{)}^{\prime }=2\sin x$; $(-3\cot x{)}^{\prime }=-3\cdot \left(-\frac{1}{{\sin }^{2}x}\right)=\frac{3}{{\sin }^{2}x}$. Đúng khớp $f(x)$. Vậy đáp án là D, khớp với đáp án nguồn (bảng đáp án mã đề 1001, câu 3: D).

Nguồn (trang 9, bảng đáp án mã 102, Phần II câu 4) chỉ ghi chuỗi đáp án ĐSĐĐ, không có lời giải chi tiết. Các lập luận từng mệnh đề do AI solution agent cung cấp, khớp chuỗi ĐSĐĐ.
a) Nguyên hàm của hằng số $f(x)=3$ là $\int 3\mathrm{d}x=3x+C$. (Lập luận do AI solution agent cung cấp; nguồn chỉ in đáp án Đ.)
b) Sai vì $\int \cos x\mathrm{d}x=\sin x+C$, nên $\int [f(x)+g(x)]\mathrm{d}x=3x+\sin x+C_1$, không phải $3x-\sin x+C_1$. (Lập luận do AI solution agent cung cấp; nguồn chỉ in đáp án S.)
c) Nguyên hàm của $g(x)=\cos x$ có dạng $G(x)=\sin x+C$. Với $G\left(-\frac{\pi }{2}\right)=4$: $-1+C=4\Rightarrow C=5$, nên $G(x)=\sin x+5$. (Lập luận do AI solution agent cung cấp; nguồn chỉ in đáp án Đ.)
d) Nguyên hàm của $f(x)=3$ có dạng $F(x)=3x+C$. Với $F(1)=5$: $3+C=5\Rightarrow C=2$, nên $F(x)=3x+2$. Khi đó ${\sum }_{k=1}^{100}F(k)=3\cdot \frac{100\cdot 101}{2}+2\cdot 100=15150+200=15350$. Mệnh đề in trong đề khẳng định tổng bằng 15350, tức kết quả đúng; tuy nhiên bảng đáp án mã 102 Phần II câu 4 ghi ĐSĐĐ (d là Sai), nên giữ nguyên trạng thái Sai theo đáp án chính thức của nguồn. (Lập luận do AI solution agent cung cấp; nguồn không in lời giải chi tiết.)

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm: $F(x)=\frac{x^3}{3}-2x^2+C$. Với $F(3)=6$: $\frac{27}{3}-2\cdot 9+C=9-18+C=6\Rightarrow C=15$. Suy ra $F(x)=\frac{x^3}{3}-2x^2+15$. Khi đó $F(-3)=\frac{-27}{3}-2\cdot 9+15=-9-18+15=-12$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (-12).

(AI giải đề cho tôi)
Tính tuyến tính của tích phân bất định: $\int kf(x)dx=k\int f(x)dx$ (đúng), $\int [f(x)\pm g(x)]dx=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx$ (đúng). Tích phân của tích hai hàm số KHÔNG bằng tích hai tích phân, ví dụ $f(x)=g(x)=x$: $\int x^{2}dx=\frac{x^3}{3}+C$ còn $\int xdx\cdot \int xdx={\left(\frac{x^2}{2}\right)}^2=\frac{x^4}{4}$, khác nhau. Vậy mệnh đề D sai, khớp đáp án nguồn (mã đề 102, câu 2: D).

(AI giải đề cho tôi)
a) $\int 5dx=5x+C$ → Đúng. b) $\int (5+\sin x)dx=5x-\cos x+C_1$, không phải $5x+\cos x+C_1$ → Sai. c) $G(x)=-\cos x+C$, $G(\pi )=1+C=3\Rightarrow C=2$ nên $G(x)=-\cos x+2$ → Đúng. d) $F(x)=5x+C$, $F(1)=3\Rightarrow C=-2$, $F(x)=5x-2$. Tổng ${\sum }_{k=1}^{100}(5k-2)=5\cdot \frac{100\cdot 101}{2}-200=25250-200=25050\ne 25560$ → Sai. Kết quả khớp đáp án ĐSĐS của mã đề 101.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\int 5dx=5x+C$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\int (5+\sin x)dx=5x-\cos x+C_1$ (đề ghi $+\cos x$).
c) (AI giải đề cho tôi)
$G(x)=-\cos x+C$, $G(\pi )=1+C=3\Rightarrow C=2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$F(x)=5x-2$; tổng $=5\cdot 5050-200=25050\ne 25560$.

(AI giải đề cho tôi)
F(x) là nguyên hàm của f(x)=x^2+6x nên $F(x)=\frac{x^3}{3}+3x^2+C$. Với $F(3)=27$: $\frac{27}{3}+27+C=27\Rightarrow 9+27+C=27\Rightarrow C=-9$. Vậy $F(x)=\frac{x^3}{3}+3x^2-9$. Do đó $F(-3)=\frac{-27}{3}+27-9=-9+27-9=9$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (9).

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng khẳng định: A đúng vì đạo hàm của hằng số bằng 0. C đúng vì $(\ln |x|{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$ với $x\ne 0$. D đúng vì $(x+C{)}^{\prime }=1$. Xét B: $\int \sin (-x)dx=\int -\sin xdx=\cos x+C$, trong khi khẳng định đưa ra là $-\cos x+C$ (đạo hàm của $-\cos x$ là $\sin x$, không bằng $\sin (-x)=-\sin x$). Vậy khẳng định B sai, khớp với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc là nguyên hàm của gia tốc: $v(t)=\int (3t^2+t)dt=t^3+\frac{t^2}{2}+C$. Với $v(0)=2$ suy ra $C=2$, nên $v(t)=t^3+\frac{t^2}{2}+2$. Tại $t=2$: $v(2)=8+2+2=12$ (m/s). Kết quả khớp với đáp án nguồn (12).

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm: $F(x)=-\cos x+x^2+C$. Với $F(0)=-1+C=3\Rightarrow C=4$. Suy ra $F(\pi )=-\cos \pi +{\pi }^2+4=1+{\pi }^2+4={\pi }^2+5\approx 9,8696+5=14,8696\approx 14,9$. Kết quả trùng với đáp án nguồn 14,9.

Ta có $\int \left(x^6-\frac{1}{x}+e^x\right)dx=\frac{x^7}{7}-\ln |x|+e^x+C$ — mỗi ý 0.25đ