Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Nhị thức Newton cơ bản (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Số hạng thứ 3 trong khai triển $(2a-b{)}^5$ (lũy thừa $a$ giảm dần) ứng với $k=2$: $T_3=C_5^2(2a{)}^3(-b{)}^2=10\cdot 8a^3{b}^2=80a^3{b}^2$. Vậy hệ số là $80$, khớp với đáp án nguồn (Câu 15: 80).

(AI giải đề cho tôi)
Số hạng thứ 3 trong khai triển $(2a-b{)}^5$ ứng với $k=2$: $T_3=C_5^2(2a{)}^3(-b{)}^2=10\cdot 8a^3{b}^2=80a^3{b}^2$. Vậy hệ số là $80$, khớp với đáp án nguồn (80).

(AI giải đề cho tôi)
Khai triển $(x+1{)}^5$ theo nhị thức Newton có $5+1=6$ số hạng (các số hạng ứng với $k=0,1,2,3,4,5$). Vậy đáp án là A, trùng với đáp án nguồn (Câu 7, mã đề 1001: A).

(AI giải đề cho tôi)
Khai triển nhị thức Newton $(a+b{)}^4$ có số hạng tử bằng $n+1=4+1=5$ (các số hạng ứng với $k=0,1,2,3,4$). Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 5101, Câu 1: B).

(AI giải đề cho tôi)
Số hạng tổng quát trong khai triển $(2x-1{)}^4$ là $C_4^k(2x{)}^{4-k}(-1{)}^k$. Muốn chứa $x^3$ thì $4-k=3\Rightarrow k=1$. Khi đó số hạng là $C_4^1(2x{)}^3(-1{)}^1=4\cdot 8x^3\cdot (-1)=-32x^3$. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 5101, câu 11: A).

(AI giải đề cho tôi)
Số hạng chứa $x^2$ trong khai triển $(1+3x{)}^n$ là $C_n^2(3x{)}^2=9C_n^2{x}^2$. Theo đề: $9C_n^2=54\Rightarrow C_n^2=6\Rightarrow \frac{n(n-1)}{2}=6\Rightarrow n(n-1)=12\Rightarrow n=4$ (vì $n$ nguyên dương, $n\ge 2$). Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 5101, Câu 4 = 4).

a) $(x+3y{)}^5=x^5+5x^4\cdot 3y+10x^3\cdot (3y{)}^2+10x^2\cdot (3y{)}^3+5x\cdot (3y{)}^4+(3y{)}^5$
$=x^5+15x^{4}y+90x^3{y}^2+270x^2{y}^3+405x{y}^4+243y^5$

b) Số hạng chứa $x^k$ trong khai triển $(3x-2{)}^4$ là
$C_4^{4-k}(3x{)}^k\cdot (-2{)}^{4-k}=C_4^{4-k}{3}^k\cdot (-2{)}^{4-k}\cdot x^k$
Suy ra $k=2$
Số hạng chứa $x^2$ trong khai triển $(3x-2{)}^4$ là $C_4^2\cdot 3^2\cdot (-2{)}^2{x}^2=216x^2$
Hệ số của số hạng chứa $x^2$ trong khai triển $(3x-2{)}^4$ là 216.

(AI giải đề cho tôi)
Số hạng tổng quát trong khai triển $(x-2{)}^5$ là $T_{k+1}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{k}\right)x^{5-k}(-2{)}^k$. Muốn chứa $x^4$ thì $5-k=4\Rightarrow k=1$. Khi đó số hạng là $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{1}\right)x^4(-2{)}^1=5\cdot (-2)x^4=-10x^4$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Số hạng tổng quát: $T_{k+1}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{k}\right)(x^3{)}^{5-k}{\left(-\frac{1}{x^2}\right)}^k=(-1{)}^k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{k}\right)x^{15-5k}$. Số hạng không chứa $x$ khi $15-5k=0\Rightarrow k=3$. Khi đó $T_4=(-1{)}^3(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3})=-10$. Vậy số hạng không chứa $x$ là $-10$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $x(x+1{)}^{10}$. Hệ số của $x^7$ đến từ hạng tử chứa $x^6$ trong khai triển $(x+1{)}^{10}$, nhân với $x$ bên ngoài. Số hạng tổng quát: $C_{10}^k{x}^k$, với $k=6$ ta được $C_{10}^6=210$. Vậy hệ số của $x^7$ là $210$.

(AI giải đề cho tôi)
Thay $x=1$ vào đẳng thức $(3x-5{)}^4=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3+a_4{x}^4$ ta được $(3\cdot 1-5{)}^4=a_0+a_1+a_2+a_3+a_4=S$. Vậy $S=(-2{)}^4=16$.

Trước hết, từ $q\mid C_{3pq}^{pq}$ suy ra $q\le 3p$. Thật vậy, nếu $q>3p$ thì $3pq<q^2$, nên theo công thức Legendre,

$$v_q\left(C_{3pq}^{pq}\right)=\lfloor \frac{3pq}{q}\rfloor -\lfloor \frac{pq}{q}\rfloor -\lfloor \frac{2pq}{q}\rfloor =3p-p-2p=0,$$

trái với giả thiết. Ta có $p^{p^2}+(p+2{)}^{p^2}\equiv 0(\mathrm{mod}q)$. Trường hợp $q=p+2$ là không thể, vì khi đó vế trái đồng dư với $p^{p^2}\not\equiv 0(\mathrm{mod}q)$. Vì vậy $q>p+2$ nên $\gcd (q,p+2)=1$.

Vì $\gcd (p,q)=1$ nên tồn tại $p^{-1}\in \mathbb{Z}$ sao cho $p\cdot p^{-1}\equiv 1(\mathrm{mod}q)$, đặt $a=(p+2)p^{-1}$ thì $\gcd (a,q)=1$. Khi đó $a^{p^2}\equiv -1(\mathrm{mod}q)$, nên $a^{2p^2}\equiv 1(\mathrm{mod}q)$ nhưng $a^{p^2}\not\equiv 1(\mathrm{mod}q)$. Đặt $d={\mathrm{ord}}_{q}a$ thì ta có $d\mid 2p^2$, $d\nmid p^2$, do đó $d\in \{2,2p,2p^2\}$. Mặt khác $d\mid q-1$ và $q\le 3p$, nên $d<3p$. Vì $p\ge 3$, suy ra $d\ne 2p^2$.

Nếu $d=2$ thì $a\equiv -1(\mathrm{mod}q)$, nên $p+2\equiv -p(\mathrm{mod}q)$, tức $q\mid 2(p+1)$, vô lý vì $q>p$ lẻ.

Vậy $d=2p$ nên $2p\mid q-1$. Kết hợp $p<q\le 3p$ ta được $q-1=2p$, hay

$$q=2p+1.$$

Để ý với $m$ nguyên dương thì $v_p((mp)!)=m+v_p(m!)$ nên

$$v_p\left(C_{3pq}^{pq}\right)=v_p\left(C_{3q}^q\right)=v_p\left(C_{6p+3}^{2p+1}\right).$$

Nếu $p\ge 7$ thì $6p+3<p^2$, do đó

$$v_p\left(C_{6p+3}^{2p+1}\right)=\lfloor \frac{6p+3}{p}\rfloor -\lfloor \frac{2p+1}{p}\rfloor -\lfloor \frac{4p+2}{p}\rfloor =6-2-4=0,$$

nên $v_p\left(C_{3pq}^{pq}\right)=0$, trái với giả thiết. Vậy $p\in \{3,5\}$. Thử lại để thấy $(p,q)=(5,11)$ là nghiệm duy nhất thoả mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $P(x)=4x^2+x(x-2{)}^4$. Khai triển $(x-2{)}^4={\sum }_{k=0}^4{C}_4^k{x}^{4-k}(-2{)}^k$. Số hạng chứa $x^1$: $C_4^{1}x(-2{)}^3=4\cdot (-8)x=-32x$; nhân với $x$ ngoài được $-32x^2$. Số hạng chứa $x^2$ trong $(x-2{)}^4$ là $C_4^2{x}^2(-2{)}^2=24x^2$; nhân với $x$ được $24x^3$ (không đóng góp vào $x^2$). Vậy số hạng chứa $x^2$ của $P(x)$ là $4x^2-32x^2=-28x^2$. Khớp với đáp án C.

Điều kiện: $n\ge 2,n\in \mathbb{N}$.
Ta có: $C_n^1=n$, $C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}$, $A_n^1=n$.
Phương trình cho: $n+\frac{n(n-1)}{2}-n=6n-6\iff \frac{n(n-1)}{2}=6(n-1)$.
Vì $n\ge 2⟹n-1\ne 0$, suy ra $\frac{n}{2}=6\iff n=12$.
Xét khai triển ${\left(x^3-\frac{3}{x}\right)}^{12}$:
Số hạng tổng quát là: $T_{k+1}=C_{12}^k(x^3{)}^{12-k}{\left(-\frac{3}{x}\right)}^k=C_{12}^k(-3{)}^k{x}^{36-4k}$.
Số hạng không chứa $x$ ứng với số mũ bằng 0: $36-4k=0\iff k=9$.
Khi đó số hạng không chứa $x$ là: $C_{12}^9(-3{)}^9=220\cdot (-19683)=-4330260$.

Theo công thức nhị thức Newton:
$P=(2x+3x^2{)}^5={\sum }_{k=0}^5{C}_5^k(2x{)}^{5-k}(3x^2{)}^k={\sum }_{k=0}^5{C}_5^k{2}^{5-k}{3}^k{x}^{5+k}$.
Hệ số của số hạng chứa $x^{5+k}$ là $a_k=C_5^k{2}^{5-k}{3}^k$ với $k\in \{0,1,2,3,4,5\}$:
- $k=0$: $a_0=C_5^0\cdot 2^5\cdot 3^0=32$.
- $k=1$: $a_1=C_5^1\cdot 2^4\cdot 3^1=5\cdot 16\cdot 3=240$.
- $k=2$: $a_2=C_5^2\cdot 2^3\cdot 3^2=10\cdot 8\cdot 9=720$.
- $k=3$: $a_3=C_5^3\cdot 2^2\cdot 3^3=10\cdot 4\cdot 27=1080$.
- $k=4$: $a_4=C_5^4\cdot 2^1\cdot 3^4=5\cdot 2\cdot 81=810$.
- $k=5$: $a_5=C_5^5\cdot 2^0\cdot 3^5=1\cdot 1\cdot 243=243$.
Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển là 1080 (ứng với $k=3$). Chọn A.

Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_5^k(2x{)}^{5-k}=C_5^k{2}^{5-k}{x}^{5-k}$. Số hạng chứa $x^3$ ứng với $5-k=3⟹k=2$. Hệ số là $C_5^2\times 2^3=10\times 8=80$.

Ta có $(1+1{)}^{2018}+(1-1{)}^{2018}=2(C_{2018}^0+C_{2018}^2+\cdots +C_{2018}^{2018})=2^{2018}$, suy ra tổng bằng $2^{2017}$.

Thay $x=1$ vào khai triển: $(1+2{)}^n=a_n+a_{n-1}+\cdots +a_0=3^n$. Theo đề bài $3^n=243=3^5⟹n=5$.

Ta có $f^{\prime }(x)=3n(1+3x{)}^{n-1}=a_1+2a_{2}x+\cdots +n{a}_n{x}^{n-1}$.
Thay $x=1$, ta được:
$f^{\prime }(1)=a_1+2a_2+\cdots +n{a}_n=3n(1+3{)}^{n-1}=3n\cdot 4^{n-1}$.
Theo giả thiết: $3n\cdot 4^{n-1}=49152n\iff 4^{n-1}=16384=4^7\iff n-1=7\iff n=8$.
Khi đó $(1+3x{)}^8={\sum }_{k=0}^8{C}_8^k(3x{)}^k$.
Hệ số $a_3$ tương ứng với $k=3$: $a_3=C_8^3\cdot 3^3=56\cdot 27=1512$.

Ta có $(1+2{)}^n=C_n^0+2C_n^1+2^2{C}_n^2+\cdots +2^n{C}_n^n=3^n$.
Theo đề bài: $3^n=14348907\iff n=15$.
Xét khai triển ${\left(x^2-\frac{1}{x^3}\right)}^{15}={\sum }_{k=0}^{15}{C}_{15}^k(x^2{)}^{15-k}(-x^{-3}{)}^k={\sum }_{k=0}^{15}{C}_{15}^k(-1{)}^k{x}^{30-5k}$.
Số hạng chứa $x^{10}$ ứng với $30-5k=10\iff 5k=20\iff k=4$.
Hệ số cần tìm là $C_{15}^4(-1{)}^4=1365$.