Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Bài 6: Giải từng phương trình logarit.

a) ${\log }_3(3-2x)=2$. Điều kiện: $3-2x>0\iff x<\frac{3}{2}$. Phương trình tương đương $3-2x=3^2=9\iff x=-3$ (thỏa điều kiện). Vậy $x=-3$.

b) ${\log }_{2}x+{\log }_{1/2}(2x-1)=0$. Điều kiện: $x>0$ và $2x-1>0\iff x>\frac{1}{2}$. Vì ${\log }_{1/2}(2x-1)=-{\log }_2(2x-1)$ nên ${\log }_{2}x={\log }_2(2x-1)\iff x=2x-1\iff x=1$ (thỏa $x>\frac{1}{2}$). Vậy $x=1$.

c) ${\log }_2(-x^2+4x-3)-1={\log }_2\left(\frac{5}{2}-x\right)$. Điều kiện: $-x^2+4x-3>0\iff 1<x<3$ và $x<\frac{5}{2}$. Phương trình tương đương ${\log }_2(-x^2+4x-3)={\log }_2\left(2\left(\frac{5}{2}-x\right)\right)={\log }_2(5-2x)$, suy ra $-x^2+4x-3=5-2x\iff x^2-6x+8=0\iff x=2$ hoặc $x=4$. Chỉ $x=2$ thỏa điều kiện. Vậy $x=2$.

d) $\log (x-1)+\log (x-3)=\log (x+3)$. Điều kiện: $x>3$. Phương trình tương đương $\log [(x-1)(x-3)]=\log (x+3)\iff x^2-4x+3=x+3\iff x^2-5x=0\iff x=0$ hoặc $x=5$. Chỉ $x=5$ thỏa điều kiện. Vậy $x=5$.

e) ${\log }_3(x^2-7)=2$. Điều kiện: $x^2-7>0\iff |x|>\sqrt{7}$. Phương trình tương đương $x^2-7=9\iff x^2=16\iff x=\pm 4$ (đều thỏa điều kiện). Vậy $x=\pm 4$.

f) $3{\log }_3(2x-1)-{\log }_{1/3}(x-5{)}^3=3$. Điều kiện: $2x-1>0$ và $(x-5{)}^3>0\iff x>5$. Ta có ${\log }_{1/3}(x-5{)}^3=3{\log }_{1/3}(x-5)=-3{\log }_3(x-5)$. Phương trình trở thành $3{\log }_3(2x-1)+3{\log }_3(x-5)=3\iff {\log }_3[(2x-1)(x-5)]=1\iff (2x-1)(x-5)=3\iff 2x^2-11x+2=0\iff x=\frac{11\pm \sqrt{105}}{4}$. Vì $x>5$ nên chỉ nhận $x=\frac{11+\sqrt{105}}{4}\approx 5,31$ (nghiệm $\frac{11-\sqrt{105}}{4}<0$ loại). Vậy $x=\frac{11+\sqrt{105}}{4}$.

Tổng kết: a) $x=-3$; b) $x=1$; c) $x=2$; d) $x=5$; e) $x=\pm 4$; f) $x=\frac{11+\sqrt{105}}{4}$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 10:
a) Độ pH được tính theo công thức $\mathrm{pH}=-\log [{\mathrm{H}}^{+}]$. Với dung dịch A có $[{\mathrm{H}}^{+}]=10^{-3}$ mol/L nên $\mathrm{pH}=-\log 10^{-3}=3$.

b) Nồng độ ${\mathrm{H}}^{+}$ của dung dịch B là $30\cdot 10^{-3}=3\cdot 10^{-2}$ mol/L. Do đó
$$\mathrm{pH}=-\log (3\cdot 10^{-2})=-(\log 3-2)=2-\log 3\approx 2-0,4771=1,5229\approx 1,52.$$
Vậy pH của dung dịch B xấp xỉ $1,52$.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức $L=10\log \left(\frac{I}{10^{-12}}\right)$ (logarit cơ số 10).

a) Với $I=10^{-7}W/m^2$:
$$L=10\log \left(\frac{10^{-7}}{10^{-12}}\right)=10\log (10^5)=10\cdot 5=50(dB).$$
Vậy mức cường độ âm của cuộc trò chuyện bình thường là $50dB$.

b) Với $I=10W/m^2$:
$$L=10\log \left(\frac{10}{10^{-12}}\right)=10\log (10^{13})=10\cdot 13=130(dB).$$
Vậy mức cường độ âm của còi xe cứu hỏa là $130dB$.

Ta có $5^{x-1}=7\iff x-1={\log }_{5}7\iff x=1+{\log }_{5}7$

(AI giải đề cho tôi)
Tính $P={\log }_{2}8+{\log }_{3}27-{\log }_5{5}^3=3+3-3=3$. Tính $Q=\ln (2e)-\log 100=\ln 2+1-2=\ln 2-1$.
a) $P+Q=3+\ln 2-1=\ln 2+2\ne 2\ln 2$ → Sai.
b) $Q-P=(\ln 2-1)-3=\ln 2-4$ → Đúng.
c) $3Q+P=3(\ln 2-1)+3=3\ln 2$ → Đúng.
d) $2Q+P=2(\ln 2-1)+3=2\ln 2+1$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$P=3$, $Q=\ln 2-1$ nên $P+Q=\ln 2+2\ne 2\ln 2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$Q-P=(\ln 2-1)-3=\ln 2-4$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$3Q+P=3(\ln 2-1)+3=3\ln 2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$2Q+P=2(\ln 2-1)+3=2\ln 2+1$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 3: a) $2^{{\log }_{2}3}=3$, ${\log }_{\sqrt{3}}3=2$ nên $A=3-2=1\le 2$, khẳng định $A>2$ sai. b) $\ln 2\cdot {\log }_{2}4\cdot {\log }_{4}3\cdot {\log }_{3}2=\ln 2\cdot 2\cdot \frac{1}{2}\cdot 1=\ln 2$ và $5^{{\log }_5(\ln 2)}=\ln 2$ nên $B=\ln 2-\ln 2=0$, đúng. c) Tính từ trong ra: $\sqrt{a}=a^{1/2}$; $a\sqrt{a}=a^{3/2}$; $\sqrt{a\sqrt{a}}=a^{3/4}$; $a\sqrt{a\sqrt{a}}=a^{7/4}$; $\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}}=a^{7/8}$. Vậy $C={\log }_a{a}^{7/8}=\frac{7}{8}<1$, khẳng định $C>1$ sai. d) $\sqrt{a^3}=a^{3/2}$, $a\sqrt[4]{a}=a^{5/4}$ nên $\frac{\sqrt{a^3}}{a\sqrt[4]{a}}=a^{1/4}$, do đó $D=\frac{1}{4}$, đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$A=2^{{\log }_{2}3}-{\log }_{\sqrt{3}}3=3-2=1\le 2$, nên khẳng định $A>2$ sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\ln 2\cdot {\log }_{2}4\cdot {\log }_{4}3\cdot {\log }_{3}2=\ln 2\cdot 2\cdot \frac{1}{2}\cdot 1=\ln 2$ và $5^{{\log }_5(\ln 2)}=\ln 2$, nên $B=0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tính từ trong ra: $\sqrt{a}=a^{1/2}$; $a\sqrt{a}=a^{3/2}$; $\sqrt{a\sqrt{a}}=a^{3/4}$; $a\sqrt{a\sqrt{a}}=a^{7/4}$; $\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}}=a^{7/8}$. Vậy $C=\frac{7}{8}<1$, khẳng định $C>1$ sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{\sqrt{a^3}}{a\sqrt[4]{a}}=\frac{a^{3/2}}{a^{5/4}}=a^{1/4}$, nên $D=\frac{1}{4}$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $3x+9>0\iff x>-3$. Phương trình ${\log }_2(3x+9)=5\iff 3x+9=2^5=32\iff 3x=23\iff x=\frac{23}{3}\approx 7,67$ (thỏa mãn điều kiện). Vậy nghiệm làm tròn đến hàng phần trăm là $7,67$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $-x+2>0\iff x<2$. Phương trình ${\log }_{\frac{1}{4}}(-x+2)=-2\iff -x+2={\left(\frac{1}{4}\right)}^{-2}=16\iff x=-14$. Thử lại: $-(-14)+2=16>0$, thỏa mãn. Vậy $x=-14$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $300=100e^{5r}$ suy ra $e^{5r}=3$, tức $r=\frac{\ln 3}{5}$. Số vi khuẩn tăng gấp đôi khi $100e^{rt}=200\Rightarrow e^{rt}=2\Rightarrow t=\frac{\ln 2}{r}=\frac{5\ln 2}{\ln 3}\approx 3.1546$. Làm tròn đến hàng phần trăm: $t\approx 3.15$ giờ.

(AI giải đề cho tôi)
Số vi khuẩn tăng gấp đôi mỗi phút, nên sau $t$ phút số lượng là $u_t=u_0\cdot 2^t$. Theo đề, sau 8 phút có 128000 con: $u_0\cdot 2^8=128000$. Cần tìm $t$ sao cho $u_t=4096000$. Ta có $\frac{4096000}{128000}=32=2^5$, tức cần thêm 5 phút nữa (số lần nhân đôi từ 128000 lên 4096000). Vậy $t=8+5=13$ phút. Kết quả trùng với đáp án nguồn (13).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $2450=2\cdot 5^2\cdot 7^2$. Do đó ${\log }_{5}2450=\frac{{\log }_{2}2450}{{\log }_{2}5}=\frac{{\log }_{2}2+2{\log }_{2}5+2{\log }_{2}7}{a}=\frac{1+2a+2b}{a}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ ${\log }_4\left(\frac{a^2}{b^4}\right)=1$ suy ra $\frac{a^2}{b^4}=4$, tức $a^2=4b^4$ (với $a,b\ne 0$). Khi đó $a=\pm 2b^2$, nên các mệnh đề B, C chỉ đúng khi $a>0$, không chắc chắn. Bình phương hai vế: $a^4=16b^8$, luôn đúng. Vậy đáp án D, khớp với đáp án nguồn (mã đề 0101, câu 3: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\log }_{12}\frac{1}{6}=-{\log }_{12}6=-{\log }_{12}(2\cdot 3)=-{\log }_{12}2-{\log }_{12}3$. Vậy $m=n=-1$, do đó $m.n=(-1)(-1)=1$. Chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Thay $h=6$ vào công thức $\ln \left(\frac{p}{100}\right)=-\frac{h}{7}$, ta được $\ln \left(\frac{p}{100}\right)=-\frac{6}{7}$. Suy ra $\frac{p}{100}=e^{-6/7}$, tức $p=100e^{-6/7}\approx 100\cdot 0,424373\approx 42,44kPa$. Vậy áp suất khí quyển ở độ cao $6km$ khoảng $42,44kPa$, chọn đáp án D. Lưu ý áp suất luôn dương nên đáp án B bị loại.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\log }_{3}3+{\log }_{3}9+{\log }_{3}27+\dots +{\log }_3{3}^n=1+2+3+\dots +n=\frac{n(n+1)}{2}$. Theo đề: $\frac{n(n+1)}{2}=36\Rightarrow n(n+1)=72\Rightarrow n^2+n-72=0\Rightarrow (n-8)(n+9)=0\Rightarrow n=8$ (vì $n>3$). Vậy $n=8$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 29.

a) Ta có $0,001\cdot \sqrt{10}=10^{-3}\cdot 10^{1/2}=10^{-5/2}$. Do đó
$$P=\log \left(\frac{10^{2024}}{10^{-5/2}}\right)=\log 10^{2024+5/2}=2024+\frac{5}{2}=2026,5.$$

b) Với $a={\log }_{2}3$, $b={\log }_{2}5$, ta có $45=9\cdot 5=3^2\cdot 5$ và $6=2\cdot 3$. Áp dụng công thức đổi cơ số:
$$P={\log }_{6}45=\frac{{\log }_{2}45}{{\log }_{2}6}=\frac{{\log }_2(3^2\cdot 5)}{{\log }_2(2\cdot 3)}=\frac{2{\log }_{2}3+{\log }_{2}5}{1+{\log }_{2}3}=\frac{2a+b}{1+a}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $I={\log }_3\frac{25}{6}={\log }_{3}25-{\log }_{3}6=2{\log }_{3}5-({\log }_{3}2+{\log }_{3}3)=2b-a-1$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $Q={\log }_a(b^2{c}^3)=2{\log }_{a}b+3{\log }_{a}c=2\cdot 3+3\cdot 2=6+6=12$. Vậy $Q=12$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức đổi cơ số: ${\log }_{b}c=\frac{{\log }_{a}c}{{\log }_{a}b}=\frac{2025}{2024}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $3^{2x}=9^x=2^{x+1}=2\cdot 2^x$. Chia hai vế cho $2^x$: ${\left(\frac{9}{2}\right)}^x=2$, suy ra $x={\log }_{\frac{9}{2}}2$. Thử lại: với $x={\log }_{9/2}2$ thì $9^x=2^x\cdot 2$, đúng. Vậy đáp án C.