Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

Số chữ số của một số tự nhiên $N$ trong hệ thập phân là $[\log N]+1$.
Tính toán theo công thức logarit thập phân cho kết quả tương ứng ở phương án C.
Chọn C.

Phương trình tương đương $(2^x{)}^2-6\cdot 2^x+8=0\iff 2^x=2$ hoặc $2^x=4\iff x=1$ hoặc $x=2$.
Tập nghiệm là $\{1;2\}$.
Chọn D.

Phương trình tương đương:
$6-2^x=2^{1-x}=\frac{2}{2^x}\iff 6\cdot 2^x-(2^x{)}^2=2\iff (2^x{)}^2-6\cdot 2^x+2=0$.
Đặt $t=2^x>0$, ta có phương trình bậc hai $t^2-6t+2=0$.
Vì ${\Delta }^{\prime }=9-2=7>0$, phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt $t_1,t_2$.
Theo định lí Vi-ét, $t_1{t}_2=2\iff 2^{x_1}\cdot 2^{x_2}=2\iff 2^{x_1+x_2}=2^1\iff x_1+x_2=1$.
Vậy tổng các nghiệm bằng 1.
Chọn B.

Phương pháp: $2^{f(x)}=2^b\iff f(x)=b$.
Cách giải: Ta có $2^{x-1}=8=2^3\iff x-1=3\iff x=4$.
Chọn C.

Phương pháp: Sử dụng công thức trừ logarit cùng cơ số: ${\log }_{a}x-{\log }_{a}y={\log }_a\frac{x}{y}$.
Cách giải: ${\log }_2(a+b)-{\log }_2(ab)=3\iff {\log }_2\left(\frac{a+b}{ab}\right)=3\iff \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=2^3=8$.
Chọn D.

Chọn B.
Ta có $2^{x+1}=8=2^3\iff x+1=3\iff x=2$.

Chọn C.
Phương trình tương đương:
$$x^2-x+3=3^2=9\iff x^2-x-6=0\iff (x-3)(x+2)=0\iff [<table><tbody><tr><td>x=3</td></tr><tr><td>x=-2</td></tr></tbody></table>$$
Vậy phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt.

Chọn B.
Đặt $u=\ln (m+3\sin x)\Rightarrow e^u=m+3\sin x\iff m+2\sin x=e^u-\sin x$.
Phương trình trở thành:
$$\ln (e^u-\sin x+u)=\sin x\iff e^u+u-\sin x=e^{\sin x}\iff e^u+u=e^{\sin x}+\sin x.$$
Xét hàm đặc trưng $f(t)=e^t+t$ đồng biến trên $\mathbb{R}$, suy ra:
$$u=\sin x\iff \ln (m+3\sin x)=\sin x\iff m+3\sin x=e^{\sin x}\iff m=e^{\sin x}-3\sin x.$$
Đặt $t=\sin x\in [-1;1]$, hàm số $g(t)=e^t-3t$ có $g^{\prime }(t)=e^t-3<0,\forall t\in [-1;1]$.
Do đó $g(t)$ nghịch biến trên $[-1;1]$, suy ra:
$$g(1)\le m\le g(-1)\iff e-3\le m\le \frac{1}{e}+3.$$
Vì $e-3\approx -0,28$ và $\frac{1}{e}+3\approx 3,37$, nên các giá trị nguyên của $m$ là $m\in \{0;1;2;3\}$.
Vậy có tất cả 4 giá trị nguyên thỏa mãn.

Với $a,b>0$, ta có ${\log }_{3}a+{\log }_{3^{1/2}}b=-2⟺{\log }_{3}a+2{\log }_{3}b=-2⟺{\log }_3(a{b}^2)=-2⟺a{b}^2=3^{-2}=\frac{1}{9}⟺9a{b}^2=1$.

Ta có ${\log }_2(x+1)=3⟺x+1=2^3=8⟺x=7$.

Chia hai vế cho $2020^{x-x^2}$ và đặt $u=x^2+y,v=2x^2-x+y$ (với $v-u=x^2-x$), phương trình viết lại dưới dạng $u\cdot 2020^{-u}+(v-u)2020^v=v\cdot 2020^{-u}⟺(v-u)\left(2020^v-2020^{-u}\right)=0⟺\left[\begin{array}{c}v=u\\ v=-u\end{array}\right]⟺\left[\begin{array}{c}{x}^2-x=0\\ 3x^2-x+2y=0\end{array}\right]$. Phương trình $x^2-x=0$ luôn có $2$ nghiệm $x=0$ và $x=1$. Để tồn tại nhiều hơn $2$ số thực $x$, phương trình $3x^2-x+2y=0$ phải có nghiệm khác $0$ và $1$, tức là $\Delta =1-24y>0⟺y<\frac{1}{24}$ (nếu $y=0$ thì nghiệm là $x=0$ và $x=\frac{1}{3}\ne 0,1$, vẫn cho $3$ nghiệm thực phân biệt). Vậy với $y\in \mathbb{Z}$ và $y\in (-2021;+\infty )$, ta có $y\in \{-2020;-2019;\dots ;-1;0\}$, nhưng tại $y=-1$ phương trình $3x^2-x-2=0$ có nghiệm $x=1$ (trùng) và $x=-\frac{2}{3}$ (vẫn có $3$ nghiệm phân biệt $0,1,-2/3$!). Loại trường hợp chỉ có $\le 2$ nghiệm ta thu được $2020$ giá trị nguyên của $y$.

Ta có $2^{3x+1}=16\iff 2^{3x+1}=2^4\iff 3x+1=4\iff x=1$.

Phương trình ${\log }_3(x^2-4x+9)=2\iff x^2-4x+9=3^2\iff x^2-4x=0\iff x=0$ hoặc $x=4$. Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\{0;4\}$.

Điều kiện: $x^2+y^2>0$. Phương trình đã cho tương đương $2x-4y=x^2+y^2+1\iff (x-1{)}^2+(y+2{)}^2=4$. Khi đó $S=4(x-1)+3(y+2)-7\le \sqrt{(4^2+3^2)\left[(x-1{)}^2+(y+2{)}^2\right]}-7=3$. Dấu bằng xảy ra khi $\frac{x-1}{4}=\frac{y+2}{3}>0\iff x=\frac{13}{5},y=-\frac{4}{5}\Rightarrow P=xy=-\frac{52}{25}$.

Chọn C.
Điều kiện: $2x-1>0\iff x>\frac{1}{2}$.
Phương trình tương đương:
$$2x-1=2^2=4\iff 2x=5\iff x=\frac{5}{2}.$$

Chọn A.
Ta có $3^{x-1}=27=3^3\iff x-1=3\iff x=4$.

Chọn B.
Ta có $4^x+2m\cdot 6^x+3\cdot 9^x=0\iff 3{\left(\frac{9}{4}\right)}^x+2m{\left(\frac{3}{2}\right)}^x+1=0$.
Nhận thấy $a\cdot c=3\cdot 1=3>0$ nên nếu phương trình có hai nghiệm thì hai nghiệm đó cùng dấu.
Suy ra điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm là:
$$\{\begin{array}{l}{\Delta }^{\prime }=m^2-3\ge 0\\ -\frac{b}{a}=-\frac{2m}{3}>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m\ge \sqrt{3}\text{ hoặc }m\le -\sqrt{3}\\ m<0\end{array}\iff m\le -\sqrt{3}.$$
Như vậy trên đoạn $[-10;10]$ có $m\in \{-10;-9;-8;-7;-6;-5;-4;-3;-2\}$ thỏa mãn.
Hay có 9 giá trị nguyên $m$ thỏa mãn bài toán.

Chọn B.
Phương trình tương đương:
$5^{2x+4}=5^{-2}\iff 2x+4=-2\iff 2x=-6\iff x=-3$.

Chọn B.
Phương trình tương đương với:
$9^{2x+1}+3^{2x+1}=x^2+2mx+m^2+x+m\iff (3^{2x+1}{)}^2+3^{2x+1}=(x+m{)}^2+(x+m)$.
Xét hàm số $f(t)=t^2+t$ với $t>0$, hàm số có $f^{\prime }(t)=2t+1>0$ nên đồng biến trên $(0;+\infty )$.
Khi đó ta xét phương trình bậc hai theo $u=3^{2x+1}>0$ và $v=x+m$:
$u^2+u=v^2+v\iff (u-v)(u+v+1)=0$.
- Trường hợp 1: $u=v\iff 3^{2x+1}=x+m\iff m=3^{2x+1}-x$.
Xét $g_1(x)=3^{2x+1}-x$ trên đoạn $[0;2]$, hàm số đồng biến nên $m\in [g_1(0);g_1(2)]=[3;241]$, có $241-3+1=239$ giá trị nguyên.
- Trường hợp 2: $u+v+1=0\iff 3^{2x+1}+x+m+1=0\iff m=-3^{2x+1}-x-1$.
Xét $g_2(x)=-3^{2x+1}-x-1$ trên đoạn $[0;2]$, hàm số nghịch biến nên $m\in [g_2(2);g_2(0)]=[-246;-4]$, có $-4-(-246)+1=243$ giá trị nguyên.
Hai tập giá trị này rời nhau hoàn toàn, do đó tổng số giá trị nguyên của $m$ là $239+243=482$.

Ta có ${\log }_5(2x-1)=1\iff 2x-1=5\iff x=3$.