Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

Nghiệm của phương trình ${\log }_2(x-1)=3$ là:

Nghiệm của phương trình $10^x=5$ là:

Nghiệm của phương trình $3^x=15$ là

Tập nghiệm của phương trình ${\log }_3(x^2-7)=2$ là

Phương trình $3^{x-2}=\frac{1}{9}$ có nghiệm là:

Nghiệm của phương trình $5^{x-4}=125$ là

Với $a$ là số thực dương tùy ý, ${\log }_2\left(\frac{a}{64}\right)$ bằng:

Nghiệm của phương trình $3^{2x-1}=27$ là:

Nghiệm của phương trình $3^x=7$ là:

Câu 20. Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn ${\log }_2\frac{a+b+c}{a^2+b^2+c^2+3}=a(a-8)+b(b-8)+c(c-8)$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=a+2b+3c$.

Câu 16. Cho các số thực dương $a;b;c$ khác $1$ thỏa mãn ${\log }_a(bc)=3$, ${\log }_b(ca)=6$. Giá trị của ${\log }_c(ab)$ bằng

Câu 5. Cho hai biểu thức $f(x)=3^x-9$ và $g(x)={\log }_{2}x+a-2$, với $a$ là tham số.

Câu 1. Xét các số thực $a,b$ thỏa mãn điều kiện $\frac{1}{3}<b<a<1$. Khi biểu thức $P={\log }_a\left(\frac{3b-1}{4}\right)+12{\log }_{\frac{b}{a}}^{2}a-3$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $a^3+7b+4$ bằng bao nhiêu?

Câu 4. Để thiết lập kênh truyền thông bảo mật tuyệt đối qua mạng sợi quang đô thị, một viện công nghệ sử dụng các photon phân cực đơn lẻ phát ra từ nguồn laser. Do hiện tượng hấp thụ và tán xạ Rayleigh, xác suất $P(d)$ để một photon vượt qua thành công đoạn sợi quang có chiều dài $d$ (tính bằng km) mà không bị suy hao được mô hình hoá bởi hàm số: $P(d)=2^{-k\cdot d}$ trong đó $k$ là suất suy hao quang học của sợi quang ($k>0$).
1. Trong giai đoạn kiểm chuẩn ban đầu trên một tuyến cáp thử nghiệm dài $12\text{ km}$, máy đếm photon đầu cuối đo được tỷ lệ photon bị thất thoát (suy hao) là $75\%$.
2. Khi triển khai kết nối thực tế giữa hai trung tâm điều hành, máy phát sử dụng xung laser có tần số xung cực cao, liên tục phát ra $N=10^8$ photon mỗi giây vào sợi quang. Để giao thức mã hoá bảo mật lượng tử tự động duy trì hoạt động liên tục (không bị ngắt kết nối do lỗi thiếu photon), trạm thu phải thu nhận được tối thiểu $25$ photon mỗi giây.
Hỏi khoảng cách tối đa $d_{\max }$ giữa hai trung tâm điều hành là bao nhiêu kilômét? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của kilômét).

Câu 9. Với $a,b$ là các số thực dương tùy ý thỏa mãn ${\log }_{2}a-2{\log }_{4}b=4$, mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 18. Người ta thả vào ao một loại bèo có tốc độ tăng trưởng được tính theo công thức $S_t=S_0\cdot e^{rt}$. Trong đó $S_0$ là diện tích ban đầu, $S_t$ là diện tích sau $t$ ngày, $r$ là tốc độ tăng trưởng và $t$ là số ngày. Ban đầu, diện tích của bèo chiếm $\frac{1}{50}$ diện tích ao. Sau $t_1$ và $t_2$ ngày thì diện tích bèo lần lượt chiếm $\frac{1}{30}$ và $\frac{1}{10}$ diện tích ao ($t_2>t_1$). Biết $t_2-t_1=3$, hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày diện tích của bèo chiếm $1$ nửa diện tích ao (làm tròn đến hàng đơn vị)?

Câu 6. Cho $a,b,c>0$ và khác $1$ thỏa mãn ${\log }_a(2a+b+c)={\log }_b(a+c)=2$. Tính giá trị biểu thức $P={\log }_{\sqrt[3]{c}}(b^{2}c-bc-c)$.

Giả sử công thức $\log E=11,4+1,5M$ cho biết mối liên hệ giữa năng lượng $E$ tạo ra (tính theo erg, $1\text{ erg}$ tương đương $10^{-7}\text{ jun}$) với độ lớn $M$ theo thang Richter của một trận động đất.