Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quan hệ liên thuộc (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình thang với đáy lớn $AD$ nên $BC\parallel AD$. Ta có $BC\subset (MBC)$, $BC\not\subset (SAD)$ và $AD\subset (SAD)$, $AD\not\subset (MBC)$. Theo tính chất hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song, giao tuyến $\Delta$ của $(MBC)$ và $(SAD)$ song song với $BC$ và $AD$. Mặt khác $\Delta$ đi qua $M\in (SAD)$, nên $\Delta$ là đường thẳng qua $M$ song song với $AD$ (và cũng song song với $BC$). Vậy $\Delta \parallel AD$, đáp án C. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 1201, câu 8: C).

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: $(SAB)\cap (SBC)=SB$ vì hai mặt phẳng cùng đi qua $S$ và $B$, không phải $SA$.
b) Đúng: trong tam giác $SBD$, $M$ trung điểm $SB$, $P$ trung điểm $SD$ nên $MP\parallel BD$, do đó $MP\subset (SBD)$. Đường thẳng $SC$ cắt mặt phẳng $(SBD)$ tại $S$, mà $S\notin MP$, nên $MP$ và $SC$ chéo nhau, không cắt nhau.
c) Đúng: đặt $\overrightarrow{SA}=\mathbf{a},\overrightarrow{SB}=\mathbf{b},\overrightarrow{SC}=\mathbf{c}$; vì $ABCD$ hình bình hành nên $\overrightarrow{SD}=\mathbf{a}+\mathbf{c}-\mathbf{b}$. Khi đó $\overrightarrow{SM}=\frac{1}{2}\mathbf{b}$, $\overrightarrow{SN}=\frac{1}{2}(\mathbf{b}+\mathbf{c})$, $\overrightarrow{SP}=\frac{1}{2}(\mathbf{a}+\mathbf{c}-\mathbf{b})$. Điểm $X\in (MNP)$ có dạng $\overrightarrow{SX}=\frac{1}{2}\mathbf{b}+u\cdot \frac{1}{2}\mathbf{c}+v\cdot \frac{1}{2}(\mathbf{a}+\mathbf{c}-2\mathbf{b})$. Để $X\in SA$ tức $\overrightarrow{SX}=t\mathbf{a}$, so sánh hệ số: $\frac{1}{2}-v=0\Rightarrow v=\frac{1}{2}$; $\frac{u}{2}+\frac{v}{2}=0\Rightarrow u=-\frac{1}{2}$; $t=\frac{v}{2}=\frac{1}{4}$. Vậy $\frac{SK}{SA}=\frac{1}{4}$.
d) Sai: $MP\parallel BD$, $MP\subset (MNP)$, $BD\subset (ABCD)$ nên giao tuyến của $(MNP)$ và $(ABCD)$ là đường thẳng qua $N$ song song với $BD$ (và song song với $MP$). Đường này song song với $BD$ nên không cắt $BD$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$(SAB)\cap (SBC)=SB$ vì hai mặt phẳng cùng đi qua $S$ và $B$, không phải $SA$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$MP\parallel BD$ (đường trung bình tam giác $SBD$) nên $MP\subset (SBD)$; $SC$ cắt $(SBD)$ tại $S\notin MP$, vậy $MP$ và $SC$ chéo nhau, không cắt nhau.
c) (AI giải đề cho tôi)
Chọn $\overrightarrow{SA}=\mathbf{a},\overrightarrow{SB}=\mathbf{b},\overrightarrow{SC}=\mathbf{c}$; vì $ABCD$ hình bình hành nên $\overrightarrow{SD}=\mathbf{a}+\mathbf{c}-\mathbf{b}$. Điểm $X\in (MNP)$ có dạng $\overrightarrow{SX}=\frac{1}{2}\mathbf{b}+\frac{u}{2}\mathbf{c}+\frac{v}{2}(\mathbf{a}+\mathbf{c}-2\mathbf{b})$. Với $X\in SA$ tức $\overrightarrow{SX}=t\mathbf{a}$, so sánh hệ số: $v=\frac{1}{2}$, $u=-\frac{1}{2}$, $t=\frac{1}{4}$, nên $\frac{SK}{SA}=\frac{1}{4}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giao tuyến là đường thẳng qua $N$ song song với $BD$ (vì $MP\parallel BD$), nên nó song song với $BD$, không cắt $BD$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Trong tam giác SBC, MN là đường trung bình nên MN ∥ SC; trong tam giác SCD, NP là đường trung bình nên NP ∥ CD. Vì CD ⊂ (ABCD), mặt phẳng (MNP) chứa đường thẳng qua N song song với CD — đó là giao tuyến của (MNP) và (ABCD). Trong mặt phẳng đáy, đường thẳng qua N (trung điểm BC) song song với CD cắt BD tại trung điểm của BD (tính chất đường trung bình tam giác BCD). Vậy a) ĐÚNG.

b) MP là đường trung bình tam giác SBD nên MP ∥ BD và MP ⊂ (SBD). Đường thẳng SC cắt mặt phẳng (SBD) tại duy nhất điểm S, mà S ∉ MP. Do đó MP và SC không có điểm chung, tức chéo nhau. Vậy b) ĐÚNG.

c) Lấy A làm gốc, đặt $\overrightarrow{AB}=\mathbf{b},\overrightarrow{AD}=\mathbf{d},\overrightarrow{AS}=\mathbf{s}$. Khi đó $M=\frac{\mathbf{s}+\mathbf{b}}{2}$, $N=\mathbf{b}+\frac{\mathbf{d}}{2}$, $P=\frac{\mathbf{s}+\mathbf{d}}{2}$. Điểm $K\in SA$ có dạng $K=t\mathbf{s}$. Giải $K=M+\alpha (N-M)+\beta (P-M)$:
- Hệ số $\mathbf{d}$: $\frac{\alpha }{2}+\frac{\beta }{2}=0\Rightarrow \beta =-\alpha$.
- Hệ số $\mathbf{b}$: $\frac{1}{2}+\frac{\alpha }{2}-\frac{\beta }{2}=0\Rightarrow \frac{1}{2}+\alpha =0\Rightarrow \alpha =-\frac{1}{2},\beta =\frac{1}{2}$.
- Hệ số $\mathbf{s}$: $t=\frac{1}{2}-\frac{\alpha }{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$.
Vậy $\frac{AK}{AS}=\frac{3}{4}$, suy ra $\frac{SK}{SA}=\frac{1}{4}$. Vậy c) ĐÚNG.

d) Hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) cùng chứa S và B (vì B ∈ AB và B ∈ BC), nên giao tuyến của chúng là đường thẳng SB, không phải SA. Vậy d) SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
MN ∥ SC, NP ∥ CD nên giao tuyến của (MNP) và (ABCD) là đường qua N song song với CD; đường này cắt BD tại trung điểm BD (đường trung bình tam giác BCD).
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
MP ∥ BD và MP ⊂ (SBD); SC cắt (SBD) tại S mà S ∉ MP, nên MP và SC chéo nhau, không cắt nhau.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Tọa hóa với A làm gốc: giải $K=M+\alpha (N-M)+\beta (P-M)$ cho $\alpha =-\frac{1}{2},\beta =\frac{1}{2}$, suy ra $\frac{AK}{AS}=\frac{3}{4}$ nên $\frac{SK}{SA}=\frac{1}{4}$. Mệnh đề ĐÚNG.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
(SAB) và (SBC) cùng chứa S và B nên giao tuyến là SB, không phải SA.

(AI giải đề cho tôi)
Trong mặt phẳng $(SAD)$, kẻ đường thẳng qua $A$ song song với $SD$, cắt đường thẳng qua $S$ song song với $AD$ tại $I$. Vì $AI\parallel SD$ và $SD\subset (\alpha )$, $A\in (\alpha )$ nên $AI$ là giao tuyến của $(\alpha )$ với $(SAD)$, suy ra $AI\subset (\alpha )$. Tứ giác $ASID$ có $AI\parallel SD$ và $SI\parallel AD$ nên là hình bình hành, do đó $SI=AD$.

Hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$ cùng đi qua $S$ và chứa hai đường thẳng song song $AD\parallel BC$, nên giao tuyến của chúng là đường thẳng qua $S$ song song với $BC$; do đó $I$ nằm trên đường thẳng này, tức $I\in (SBC)$.

Vậy $I\in (\alpha )\cap (SBC)$ và $M\in (\alpha )\cap (SBC)$, nên giao tuyến $(\alpha )\cap (SBC)$ là đường thẳng $MI$, suy ra $N=MI\cap SB$.

Xét trong mặt phẳng $(SBC)$: đặt $\overrightarrow{SB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{SC}=\vec{c}$. Vì $SI\parallel BC$, cùng hướng với $\overrightarrow{CB}$ và $SI=AD=BC$, nên $\overrightarrow{SI}=\vec{b}-\vec{c}$.

Ta có $\overrightarrow{SM}=\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}$, nên $\overrightarrow{MI}=\overrightarrow{SI}-\overrightarrow{SM}=\frac{\vec{b}}{2}-\frac{3\vec{c}}{2}$. Điểm $N$ trên đường thẳng $MI$ nên $\overrightarrow{SN}=\overrightarrow{SM}+t\overrightarrow{MI}$. Do $N\in SB$ nên $\overrightarrow{SN}=k\vec{b}$. So sánh hệ số theo $\vec{c}$: $\frac{1}{2}-\frac{3t}{2}=0\Rightarrow t=\frac{1}{3}$. So sánh hệ số theo $\vec{b}$: $k=\frac{1}{2}+\frac{t}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{2}{3}$.

Kiểm tra bằng tọa độ: chọn $A(0;0;0)$, $B(2;0;0)$, $D(0;2;0)$, $C(2;2;0)$, $S(0;0;h)$, $M(2;1;0)$. Đường thẳng qua $A$ song song $SD$ cắt đường thẳng qua $S$ song song $AD$ tại $I(0;-2;h)$. Đường thẳng $MI$: $(2-2s;1-3s;hs)$; giao với $SB$: $(2u;0;h(1-u))$ cho $s=\frac{1}{3}$, $u=\frac{2}{3}$ (kiểm tra $z$: $\frac{h}{3}=h(1-\frac{2}{3})$ đúng).

Vậy $\frac{SN}{SB}=\frac{2}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ vectơ: S là gốc, $\overrightarrow{SB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{SC}=\vec{c}$, $\overrightarrow{SD}=\vec{d}$, $\overrightarrow{SA}=\vec{b}+\vec{d}-\vec{c}$ (vì ABCD hình bình hành). Khi đó $\overrightarrow{SM}=\vec{b}/2$, $\overrightarrow{SN}=(\vec{b}+\vec{c})/2$, $\overrightarrow{SP}=\vec{d}/2$.
a) Điểm trên $(MNP)$ có dạng $\frac{1-\mu }{2}\vec{b}+\frac{\lambda }{2}\vec{c}+\frac{\mu }{2}\vec{d}$. Điểm trên đường SA có dạng $t(\vec{b}+\vec{d}-\vec{c})$. So sánh hệ số: $t=\lambda /2$, $t=\mu /2$, $t=(1-\mu )/2\Rightarrow \lambda =\mu =2t$ và $2t=1-2t\Rightarrow t=1/4$. Vậy $SK/SA=1/4$ ⇒ mệnh đề a ĐÚNG.
b) Trong tam giác SBD, MP là đường trung bình nên MP ∥ BD. Vì MP ⊂ (MNP), BD ⊂ (ABCD) nên giao tuyến của (MNP) và (ABCD) là đường thẳng qua N song song với BD, do đó không cắt đường thẳng BD ⇒ mệnh đề b SAI.
c) MP nằm trong mặt phẳng (SBD) và MP ∥ BD; SC chỉ cắt mặt phẳng (SBD) tại S, mà MP không qua S, nên MP và SC chéo nhau, không cắt nhau ⇒ mệnh đề c ĐÚNG.
d) (SAB) và (SBC) có chung điểm S và B nên giao tuyến là SB, không phải SA ⇒ mệnh đề d SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ vectơ gốc S: $\overrightarrow{SB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{SC}=\vec{c}$, $\overrightarrow{SD}=\vec{d}$; vì ABCD hình bình hành nên $\overrightarrow{SA}=\vec{b}+\vec{d}-\vec{c}$. Khi đó $\overrightarrow{SM}=\vec{b}/2$, $\overrightarrow{SN}=(\vec{b}+\vec{c})/2$, $\overrightarrow{SP}=\vec{d}/2$. Điểm trên $(MNP)$ có dạng $\overrightarrow{SM}+\lambda (\overrightarrow{SN}-\overrightarrow{SM})+\mu (\overrightarrow{SP}-\overrightarrow{SM})=\frac{1-\mu }{2}\vec{b}+\frac{\lambda }{2}\vec{c}+\frac{\mu }{2}\vec{d}$. Điểm trên đường SA có dạng $t(\vec{b}+\vec{d}-\vec{c})$. So sánh: $t=\lambda /2$, $t=\mu /2$, $t=(1-\mu )/2\Rightarrow \lambda =\mu =2t$ và $2t=1-2t\Rightarrow t=\frac{1}{4}$. Vậy $\frac{SK}{SA}=\frac{1}{4}$ ⇒ mệnh đề a ĐÚNG.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác SBD, MP là đường trung bình nên MP ∥ BD. Vì MP ⊂ (MNP), BD ⊂ (ABCD) nên giao tuyến của (MNP) và (ABCD) là đường thẳng qua N song song với BD, do đó không cắt đường thẳng BD ⇒ mệnh đề b SAI.
c) (AI giải đề cho tôi)
MP nằm trong mặt phẳng (SBD) và MP ∥ BD; SC chỉ cắt mặt phẳng (SBD) tại S, mà MP không qua S, nên MP và SC chéo nhau, không cắt nhau ⇒ mệnh đề c ĐÚNG.
d) (AI giải đề cho tôi)
(SAB) và (SBC) có chung điểm S và B nên giao tuyến là SB, không phải SA ⇒ mệnh đề d SAI.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành tâm O; M, N là trung điểm SA, SD.
a) Sai. Trong tam giác SAD, M, N là trung điểm nên MN // AD. Điểm O là trung điểm AC, không thuộc tam giác SAD; đoạn ON nối trung điểm AC với trung điểm SD không song song với SA (kiểm tra bằng tọa độ: A(0,0,0), B(2,0,0), D(0,2,0), C(2,2,0), S(0,0,3) thì O(1,1,0), N(0,1,1.5), vector ON = (-1,0,1.5) không cùng phương SA = (0,0,3)).
b) Đúng. Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng chứa điểm S; AC ∩ BD = O nên O chung. Hai điểm chung S, O nên giao tuyến là SO.
c) Đúng. Với tọa độ trên: P(1,0,0), Q là trung điểm ON nên Q(0.5,1,0.75), vector PQ = (-0.5,1,0.75). Mặt phẳng (SBC) có pháp tuyến n = (6,0,4) (vì BC = (0,2,0), BS = (-2,0,3)). Tích n·PQ = -3 + 0 + 3 = 0, và P không thuộc (SBC), nên PQ // (SBC).
d) Sai. Mặt phẳng (OMN) có phương trình 1.5x + z = 1.5 (theo hệ tọa độ trên), song song với SB, SC và chứa MN // AD. Thiết diện gồm: MN trên (SAD), đoạn nối trung điểm AB (1,0,0) với trung điểm CD (1,2,0) trên đáy, và đoạn nối M với trung điểm AB trên (SAB), N với trung điểm CD trên (SCD). MN có độ dài AD/2 còn cạnh trên đáy có độ dài bằng khoảng cách hai đường thẳng, hai cặp cạnh không đều song song bằng nhau (MN // cạnh đáy nhưng độ dài khác nhau), nên thiết diện là hình thang, không phải hình bình hành.
Kết quả khớp đáp án mã đề 1102: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
O là trung điểm AC, N là trung điểm SD; ON không nằm trong tam giác SAD nên không thể có ON // SA (vector ON = (-1,0,1.5) không cùng phương SA).
b) (AI giải đề cho tôi)
(SAC) và (SBD) cùng chứa S; AC ∩ BD = O nên chúng có hai điểm chung S, O, giao tuyến là SO.
c) (AI giải đề cho tôi)
PQ = (-0.5,1,0.75) vuông góc với pháp tuyến (6,0,4) của (SBC) và P ∉ (SBC), nên PQ // (SBC).
d) (AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng (OMN) song song với SB, SC, chứa MN // AD; thiết diện có MN = AD/2 và cạnh trên đáy dài hơn, là hình thang chứ không phải hình bình hành.

a) [Hình cần kiểm tra lại: p7_f1]

Xét hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$:

Có $S$ chung.

$AB\parallel CD$

Suy ra: $(SAB)\cap (SCD)=\Delta$ đi qua $S$, đồng thời song song với $AB$, $CD$.

b) Gọi $M$ là trung điểm của $AB$.

Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ $\Rightarrow \frac{GB}{GM}=\frac{1}{2}$.

Lại có: $AB\parallel CD\Rightarrow \frac{OB}{OD}=\frac{AB}{CD}=2$.

Suy ra: $\frac{GB}{GM}=\frac{OB}{OD}=2\Rightarrow OG\parallel MD$

Mà: $OG\not\subset (SAD)$, $MD\subset (SAD)$

Do đó: $OG\parallel (SAD)$ (đpcm).

a) Trong mặt phẳng $(ABCD)$, gọi $E$ là giao điểm của $BC$ với $AD$. (0,25 điểm)

Ta có: $S$ và $E$ là hai điểm chung của mặt phẳng $(SAD)$ với mặt phẳng $(SBC)$.
Suy ra đường thẳng $SE$ là giao tuyến của mặt phẳng $(SAD)$ với mặt phẳng $(SBC)$. (0,25 điểm)

b) Gọi $N$ là trung điểm của $SD$.

Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $SBD$ nên $\frac{BG}{BN}=\frac{2}{3}$.

Theo giả thiết: $MB=2MA$ nên $\frac{BM}{BA}=\frac{2}{3}$.

Trong tam giác $ABN$ có $\frac{BG}{BN}=\frac{BM}{BA}=\frac{2}{3}$ nên $GM$ song song với $AN$. (0,25 điểm)

Ta có: $GM$ song song với $AN$ mà $AN\subset (SAD)$ và $GM$ không nằm trong mặt phẳng $(SAD)$ nên đường thẳng $GM$ song song với mặt phẳng $(SAD)$. (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: Cả hai mặt phẳng đều chứa A'. Mặt phẳng (A'AC) chứa AC, mặt phẳng (A'BD) chứa BD; AC cắt BD tại O nên giao tuyến là đường thẳng A'O (đi qua A' và O), không phải AO.
b) Đúng: Vì $\overrightarrow{A^{\prime }B}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{D^{\prime }C}=\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ (do $AB\parallel DC$, $A{A}^{\prime }\parallel D{D}^{\prime }$), nên $\overrightarrow{A^{\prime }B}=\overrightarrow{D^{\prime }C}$, suy ra tứ giác A'BCD' là hình bình hành và $A^{\prime }B\parallel C{D}^{\prime }$.
c) Đúng: $G{G}^{\prime }\parallel A{A}^{\prime }$ và $A{A}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }\subset (B{B}^{\prime }{C}^{\prime }C)$ nên $A{A}^{\prime }\parallel (B{B}^{\prime }{C}^{\prime }C)$. Vì $G\notin (B{B}^{\prime }{C}^{\prime }C)$, đường thẳng $G{G}^{\prime }$ song song với mặt phẳng $(B{B}^{\prime }{C}^{\prime }C)$.
d) Sai: Tọa độ hóa với gốc A. Trọng tâm $G=\frac{A^{\prime }+B+D}{3}$. Chiếu theo phương $A{A}^{\prime }$ xuống mặt phẳng (ABCD) (thay A' bằng A): $G^{\prime }=\frac{A+B+D}{3}$. Vì $B+D=A+C$ (O là trung điểm AC, BD), ta được $G^{\prime }=\frac{2A+C}{3}$, tức $\overrightarrow{A{G}^{\prime }}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AO}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$. Vậy $\frac{AC}{A{G}^{\prime }}=3\ne 4$. Khớp đáp án mã đề 1101: SĐĐS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Giao tuyến của (A'AC) và (A'BD) là A'O vì cả hai mặt phẳng chứa A' và AC cắt BD tại O.
b) (AI giải đề cho tôi)
A'BCD' là hình bình hành nên A'B ∥ CD'.
c) (AI giải đề cho tôi)
GG' ∥ AA' ∥ BB' và G không thuộc (BB'C'C) nên GG' song song mặt phẳng.
d) (AI giải đề cho tôi)
G' thỏa AG' = (2/3)AO = (1/3)AC nên AC/AG' = 3, không phải 4.

[Hình cần kiểm tra lại: p11_f1]

a) Trong mặt phẳng $(ABCD)$, gọi $E$ là giao điểm của $BC$ với $AD$. (0,25 điểm)

Ta có: $S$ và $E$ là hai điểm chung của mặt phẳng $(SAD)$ với mặt phẳng $(SBC)$.
Suy ra đường thẳng $SE$ là giao tuyến của mặt phẳng $(SAD)$ với mặt phẳng $(SBC)$. (0,25 điểm)

b) Gọi $N$ là trung điểm của $SD$.

Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $SBD$ nên $\frac{BG}{BN}=\frac{2}{3}$.

Theo giả thiết: $MB=2MA$ nên $\frac{BM}{BA}=\frac{2}{3}$.

Trong tam giác $ABN$ có $\frac{BG}{BN}=\frac{BM}{BA}=\frac{2}{3}$ nên $GM$ song song với $AN$. (0,25 điểm)

Ta có: $GM$ song song với $AN$ mà $AN\subset (SAD)$ và $GM$ không nằm trong mặt phẳng $(SAD)$ nên đường thẳng $GM$ song song với mặt phẳng $(SAD)$. (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $C(0;1;0)$, $A^{\prime }(0;0;1)$, $C^{\prime }(0;1;1)$. Khi đó $M\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2};0\right)$, $N\left(0;1;\frac{1}{2}\right)$. Mặt phẳng $(A^{\prime }MN)$ đi qua $A^{\prime }$ với hai vectơ chỉ phương $\vec{u}=\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2};-1\right)$, $\vec{v}=(0;1;-\frac{1}{2})$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=\vec{u}\times \vec{v}=\left(\frac{3}{4};\frac{1}{4};\frac{1}{2}\right)$, tức phương trình $3x+y+2z=2$. Điểm $P$ trên đường thẳng $AB$ có dạng $(t;0;0)$, thay vào: $3t=2\Rightarrow t=\frac{2}{3}$. Vậy $\frac{PA}{AB}=\frac{2}{3}\approx 0,67$, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 16: 0,67).

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: A=(0;0;0), B=(1;0;0), C=(0;1;0), A'=(0;0;1), C'=(0;1;1). Khi đó I=(1/2;1/2;0), J=(0;1;1/2). Vectơ A'I=(1/2;1/2;-1), A'J=(0;1;-1/2), vectơ pháp tuyến của (A'IJ) là A'I × A'J = (3/4;1/4;1/2), chọn n=(3;1;2). Mặt phẳng: 3x+y+2z=2 (qua A'). Đường thẳng AB có điểm (t;0;0), thay vào: 3t=2 ⟹ t=2/3, tức K nằm trên AB với AK/AB=2/3. Suy ra KB/AB = 1 - 2/3 = 1/3 ≈ 0,33. Kết quả khớp với đáp án nguồn 0,33.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $(SAC)$ và $(SBD)$ đều chứa điểm $S$; trong đáy hình bình hành $ABCD$, $AC\cap BD=O$ nên giao tuyến là $SO$. b) Đúng: Trong tam giác $SAB$, $P$ là trung điểm $SA$, $M$ là trung điểm $AB$ nên $MP$ là đường trung bình, suy ra $MP//SB$. c) Sai: Hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAD)$ đều chứa $S$ và $A$, nên giao tuyến của chúng là đường thẳng $SA$, không phải $SB$. d) Đúng: $MN$ đi qua tâm $O$ của hình bình hành, với $M\in AB,N\in CD$ là trung điểm đối nhau nên $MN//AD//BC$. Vì $AD\subset (SAD)$ và $MN\not\subset (SAD)$ nên $MN//(SAD)$. Kết quả khớp với đáp án nguồn: Đ – S – S – Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$(SAC)$ và $(SBD)$ có chung điểm $S$; $AC\cap BD=O$ (tâm hình bình hành) nên giao tuyến là $SO$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$MP$ là đường trung bình tam giác $SAB$ nên $MP//SB$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$(SAB)\cap (SAD)=SA$ vì hai mặt phẳng cùng chứa $S$ và $A$, không phải $SB$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$MN$ qua $O$ với $M,N$ trung điểm $AB,CD$ nên $MN//AD$; mà $AD\subset (SAD)$, $MN\not\subset (SAD)$ nên $MN//(SAD)$.

a) Xét hai mặt phẳng $(SMN)$ và $(SBD)$ ta có $S\in (SMN)\cap (SBD)$. Lại có $\{\begin{array}{l}MN\subset (SMN)\\ BD\subset (SBD)\\ MN\parallel BD\end{array}$ nên $(SMN)\cap (SBD)=d$ (d qua S và $d\parallel BD\parallel MN$). b) Ta có $OM$ là đường trung bình $△BCD$ nên $OM\parallel CD$ mà $CD\subset (SCD)$ nên $OM\parallel (SCD)$. Lại có $OK$ là đường trung bình $△SBD$ nên $OK\parallel SD$ mà $SD\subset (SCD)$ nên $OK\parallel (SCD)$. Từ đó suy ra $(OMK)\parallel (SCD)$. c) Chọn mặt phẳng $(SBD)$ chứa $DK$. Ta có $(SMN)\cap (SBD)=d$ (d qua S, $d\parallel BD$), trong $(SBD)$ kéo dài $DK$ cắt $d$ tại $F$. Khi đó $F=DK\cap (SMN)$ và $K$ là trung điểm $SD$ nên $\frac{KF}{KD}=1$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$ nên $O\in (SAC)$ và $O\in (SBD)$; $S$ thuộc cả hai mặt. Vậy giao tuyến là $SO$. b) Sai: $AB\parallel CD$ với $AB\subset (SAB)$, $CD\subset (SCD)$ nên giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là đường thẳng qua $S$ song song với $AB$ (tức song song với $CD$), không phải song song với $BC$. c) Đúng: Trong tam giác $SAD$, $MN$ là đường trung bình nên $MN\parallel SD$; trong tam giác $ACD$, $N$ trung điểm $AD$, $O$ trung điểm $AC$ nên $NO\parallel DC$. Vì $MN\cap NO=N$, $MN\subset (SCD)$, $NO\subset (SCD)$ nên $(MNO)\parallel (SCD)$. d) Sai: Chọn hệ vectơ, $\overrightarrow{OM}=\vec{m}-\vec{o}=\frac{\vec{S}+\vec{A}}{2}-\frac{\vec{A}+\vec{C}}{2}=\frac{\vec{S}-\vec{C}}{2}\parallel \overrightarrow{CS}$. Mà $CS\subset (SBC)$ nên $OM\parallel (SBC)$, do đó $OM$ không cắt mặt phẳng $(SBC)$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$S\in (SAC)\cap (SBD)$ và $O$ là giao điểm đường chéo nên $O\in (SAC)\cap (SBD)$; giao tuyến là $SO$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $AB\parallel CD$, giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là đường thẳng qua $S$ song song với $AB$ (và $CD$), không song song với $BC$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$MN\parallel SD$ (đường trung bình tam giác $SAD$) và $NO\parallel DC$ (đường trung bình tam giác $ACD$), hai đường này cắt nhau tại $N$ và cùng nằm trong $(SCD)$ nên $(MNO)\parallel (SCD)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}(\vec{S}-\vec{C})\parallel \overrightarrow{CS}\subset (SBC)$ nên $OM\parallel (SBC)$, không cắt mặt phẳng này.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $O=AC\cap BD$ (tâm hình bình hành), khi đó $O\in (BD)\subset (SBD)$. Xét tam giác $SAC$: $M$ là trung điểm $SC$, đường thẳng $AO$ cắt đoạn $SM$... Cách tính bằng tọa độ: đặt $A$ làm gốc, $\vec{B}=\mathbf{b},\vec{D}=\mathbf{d},\vec{C}=\mathbf{b}+\mathbf{d},\vec{S}=\mathbf{s}$. Khi đó $\vec{M}=\frac{\mathbf{s}+\mathbf{b}+\mathbf{d}}{2}$. Điểm $I$ trên đường thẳng $AM$ có dạng $\vec{I}=t\vec{M}$. Vì $I\in (SBD)$ nên $\vec{I}=\alpha \mathbf{s}+\beta \mathbf{b}+\gamma \mathbf{d}$ với $\alpha +\beta +\gamma =1$. So sánh hệ số: $\frac{t}{2}=\alpha =\beta =\gamma$, suy ra $\frac{3t}{2}=1\Rightarrow t=\frac{2}{3}$. Vậy $\frac{AI}{AM}=\frac{2}{3}$, do đó $\frac{IA}{IM}=\frac{2/3}{1/3}=2$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 3, mã đề 101: $2$).

(AI giải đề cho tôi)
**Câu 4 (1 điểm)**

**a/ Tìm K = AD ∩ (SBC):**

Vì $AB\parallel CD$ (đáy hình thang) nên $CD\parallel AB$, mà $AB\subset (SBC)$ và $CD\not\subset (SBC)$ suy ra $CD\parallel (SBC)$.

Xét hai đường thẳng $AD$ và $BC$ là hai cạnh bên của hình thang, chúng cắt nhau tại điểm $K$ (khi kéo dài). Vì $K\in BC\subset (SBC)$ và $K\in AD$ nên $K=AD\cap (SBC)$.

Vậy $K$ là giao điểm của hai đường thẳng $AD$ và $BC$ (kéo dài).

**Tìm giao tuyến của $(IJE)$ và $(SAB)$:**

$I,J$ là trung điểm của $AD,BC$ nên $IJ$ là đường trung bình của hình thang: $IJ\parallel AB$.

Hai mặt phẳng $(IJE)$ và $(SAB)$ đều chứa điểm $E$ (vì $E\in SA\subset (SAB)$ và $E\in (IJE)$), nên chúng cắt nhau theo đường thẳng đi qua $E$.

Mặt khác $IJ\parallel AB$, với $IJ\subset (IJE)$, $AB\subset (SAB)$, nên giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng qua $E$ và song song với $AB$ (đồng thời song song với $IJ$).

**b/ Tính tỉ số diện tích:**

Vì $IJFE$ là hình bình hành nên $EF\parallel IJ\parallel AB$, với $E\in SA$, $F\in SB$.

Trong tam giác $SAB$, do $EF\parallel AB$ ta có $\frac{SF}{FB}=\frac{SE}{EA}=2$, suy ra $\frac{SF}{SB}=\frac{2}{3}$ và $\frac{EF}{AB}=\frac{2}{3}$, tức $EF=\frac{2}{3}AB$.

Vì $IJFE$ là hình bình hành nên $EF=IJ$. Mặt khác $IJ=\frac{AB+CD}{2}$ (đường trung bình hình thang). Do đó:
$$\frac{AB+CD}{2}=\frac{2}{3}AB\Rightarrow CD=\frac{4}{3}AB-AB=\frac{1}{3}AB.$$

Vì $K=AD\cap BC$ và $CD\parallel AB$, tam giác $KCD$ đồng dạng với tam giác $KBA$ với tỉ số $\frac{CD}{AB}=\frac{1}{3}$.

Vậy tỉ số diện tích:
$$\frac{S_{KCD}}{S_{KBA}}={\left(\frac{CD}{AB}\right)}^2=\frac{1}{9}.$$

Tỉ số diện tích của hai tam giác $KCD$ và $KBA$ là $1:9$.

Câu 3 (1 điểm):
a/ Xác định giao tuyến của mặt phẳng $(SAD)$ và mặt phẳng $(SBC)$.

$S\in (SAD)\cap (SBC)$ (0.125)
$I=AD\cap BC\Rightarrow \{\begin{array}{l}I\in AD\Rightarrow I\in (SAD)\\ I\in BC\Rightarrow I\in (SBC)\end{array}$ (0.125)
$I\in (SAD)\cap (SBC)$ (0.125)
$SI=(SAD)\cap (SBC)$ (0.125)
b/ Chứng minh: $MN//(SBC)$.
Gọi E là trung điểm của AD
$$\frac{EM}{EB}=\frac{EN}{ES}=\frac{1}{3}\Rightarrow MN\parallel SB$$ (0.25)
$$MN\not\subset (SBC)$$ (0.125)
$$\Rightarrow MN//(SBC)$$ (0.125)

a/ $S\in (SAB)\cap (SCD)$ (0.125)
$I=AB\cap CD\Rightarrow \{\begin{array}{l}I\in AB\Rightarrow I\in (SAB)\\ I\in CD\Rightarrow I\in (SCD)\end{array}$ (0.125)
$I\in (SAB)\cap (SCD)$ (0.125)
$SI=(SAB)\cap (SCD)$ (0.125)
b/ Gọi E là trung điểm của BC
$\frac{EM}{EA}=\frac{EN}{ES}=\frac{1}{3}\Rightarrow MN\parallel SA$ (0.25)
$MN\not\subset (SAB)$ (0.125)
$\Rightarrow MN//(SAB)$ (0.125)

a. $I=AB\cap CD\Rightarrow I$ là điểm chung của hai mặt phẳng (0,5 điểm). S là điểm chung của hai mặt phẳng. Vậy $SI=(SAB)\cap (SCD)$ (0,25 điểm).

b. [Hình cần kiểm tra lại: p9_f1] G là trọng tâm tam giác SCD nên $\frac{CG}{CH}=\frac{2}{3}$. Theo giả thiết $\frac{BM}{AB}=\frac{2}{3}$ và MN // BC nên $\frac{CN}{CA}=\frac{2}{3}$ (0,25 điểm). Do đó $\frac{CG}{CH}=\frac{CN}{CA}=\frac{2}{3}\Rightarrow GN//HA$. Mà $HA\subset (SAD)$. Vậy $GN//(SAD)$ (0,25 điểm).