Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đạo hàm (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Tốc độ thay đổi của lợi nhuận là đạo hàm P'(x). Với P(x) = -1/2 x^2 + 150x - 1000, ta có P'(x) = -x + 150. Tại x = 80: P'(80) = -80 + 150 = 70 (nghìn đồng/ly). Kết quả trùng với đáp án nguồn (70).

a) $y=5x^4-6x+4$.
b) $y=\frac{(x^3{)}^{\prime }.\cos x-x^3.(\cos x{)}^{\prime }}{{\cos }^{2}x}=\frac{3x^2\cos x+x^3\sin x}{{\cos }^{2}x}$.

a) $y=4x^3-16x$.
b) $y=\frac{(x^2{)}^{\prime }.\sin x-x^2.(\sin x{)}^{\prime }}{{\sin }^{2}x}=\frac{2x\sin x-x^2.\cos x}{{\sin }^{2}x}$.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra điểm $E$: $y(1)=\frac{1}{3}+1-2+1=\frac{1}{3}$, đúng. $y^{\prime }=x^2+2x-2$ nên $y^{\prime }(1)=1+2-2=1$. Tiếp tuyến tại $E$: $y=\frac{1}{3}+1\cdot (x-1)=x-\frac{2}{3}$. Tại $x=\frac{8}{3}$: $y=\frac{8}{3}-\frac{2}{3}=2$. Vậy tung độ cần tìm bằng $2$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)={\log }_2(x^2-2x)$ xác định khi $x^2-2x>0$. Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{(x^2-2x{)}^{\prime }}{(x^2-2x)\ln 2}=\frac{2x-2}{(x^2-2x)\ln 2}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{-2x-2}{5x}=-\frac{2}{5}-\frac{2}{5x}$, xác định tại $x=2$. Đạo hàm $y^{\prime }=\frac{2}{5x^2}$. Tại $x=2$: $y^{\prime }(2)=\frac{2}{5\cdot 4}=\frac{2}{20}=\frac{1}{10}$. Vậy hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x=2$ bằng $\frac{1}{10}$, tương ứng phương án A.

a) Sai b) Sai c) Đúng d) Sai.

a) Ta có $f(1)=3^{1^3-3\cdot 1+1}=3^{-1}=\frac{1}{3}$.

b) Ta có $f^{\prime }(x)={\left(x^3-3x+1\right)}^{\prime }\cdot 3^{x^3-3x+1}\cdot \ln 3=\left(3x^2-3\right)3^{x^3-3x+1}\cdot \ln 3$.

c) Ta có $$f^{\prime }(x)=0\iff \left(3x^2-3\right)3^{x^3-3x+1}\cdot \ln 3=0\iff 3x^2-3=0\iff \left[\begin{array}{c}x=1\in [-1;2]\\ x=-1\in [-1;2]\end{array}\right]$$ Vậy $f^{\prime }(x)=0$ có hai nghiệm trên đoạn $[-1;2]$.

d) Ta có $f(-1)=27$, $f(1)=\frac{1}{3}$, $f(2)=27$. Suy ra $\underset{[-1;2]}{\min }f(x)=f(1)=\frac{1}{3}<1$.
a) a) Ta có $f(1)=3^{1^3-3\cdot 1+1}=3^{-1}=\frac{1}{3}$.
b) b) Ta có $f^{\prime }(x)={\left(x^3-3x+1\right)}^{\prime }\cdot 3^{x^3-3x+1}\cdot \ln 3=\left(3x^2-3\right)3^{x^3-3x+1}\cdot \ln 3$.
c) c) Ta có $$f^{\prime }(x)=0\iff \left(3x^2-3\right)3^{x^3-3x+1}\cdot \ln 3=0\iff 3x^2-3=0\iff \left[\begin{array}{c}x=1\in [-1;2]\\ x=-1\in [-1;2]\end{array}\right]$$ Vậy $f^{\prime }(x)=0$ có hai nghiệm trên đoạn $[-1;2]$.
d) d) Ta có $f(-1)=27$, $f(1)=\frac{1}{3}$, $f(2)=27$. Suy ra $\underset{[-1;2]}{\min }f(x)=f(1)=\frac{1}{3}<1$.

Ta có: $f^{\prime }(x)={\left(\sqrt{1-x^2}\right)}^{\prime }=\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}$

Ta xét: $f^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{\sqrt{3}}$, $f^{\prime }\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=-1$, $f^{\prime }\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\sqrt{3}$

Vậy ta có: $P=f^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)f^{\prime }\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right).f^{\prime }\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-1$

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương: $y^{\prime }=\frac{(2x+4)(2x+3)-2(x^2+4x-1)}{(2x+3{)}^2}$. Tử số: $(2x+4)(2x+3)=4x^2+14x+12$; trừ đi $2x^2+8x-2$ được $2x^2+6x+14$. Vậy $y^{\prime }=\frac{2x^2+6x+14}{(2x+3{)}^2}$, suy ra $a=2,b=6,c=14$. Do đó $T=b+c-a^2=6+14-4=16$, khớp với đáp án nguồn (Câu 16, mã đề 1102: 16).

Lời giải. Ta có $w^{\prime }(t)=\frac{57}{25000}{t}^2-\frac{3}{25}t+1,8$. Tốc độ thay đổi cân nặng của em bé đó tại thời điểm 15 tháng tuổi là $$w^{\prime }(15)=\frac{57}{25000}\cdot 15^2-\frac{3}{25}\cdot 15+1,8=0,51\text{ (pound/thaˊng)}.$$ (Thang điểm: 0.5 điểm cho việc tính $w^{\prime }(t)$; 0.5 điểm cho việc tính $w^{\prime }(15)$ và kết luận.)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2+1$. Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x=1$ là $f^{\prime }(1)=3\cdot 1^2+1=4$. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (Câu 10, mã đề 1101: B).

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương: $y^{\prime }=\frac{(2x+4)(2x+3)-2(x^2+4x-1)}{(2x+3{)}^2}$. Tử số: $(2x+4)(2x+3)=4x^2+6x+8x+12=4x^2+14x+12$; trừ đi $2x^2+8x-2$ ta được $2x^2+6x+14$. Vậy $y^{\prime }=\frac{2x^2+6x+14}{(2x+3{)}^2}$, suy ra $a=2,b=6,c=14$. Do đó $T=b+c-a^2=6+14-4=16$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 18, mã đề 1101: 16).

Lời giải. Ta có $w^{\prime }(t)=\frac{57}{25000}{t}^2-\frac{3}{25}t+1,8$. Tốc độ thay đổi cân nặng của em bé đó tại thời điểm 15 tháng tuổi là $$w^{\prime }(15)=\frac{57}{25000}\cdot 15^2-\frac{3}{25}\cdot 15+1,8=0,51\text{ (pound/thaˊng)}.$$ (Thang điểm: 0.5 điểm cho việc tính $w^{\prime }(t)$; 0.5 điểm cho việc tính $w^{\prime }(15)$ và kết luận.)

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2: $y=\frac{1}{3}{x}^3-x^2-x+2$. a) $y^{\prime }=x^2-2x-1$ — đúng. b) $y^{\prime }=0\iff x=1\pm \sqrt{2}$, ví dụ $y^{\prime }(1)=-2<0$ nên khẳng định $y^{\prime }>0$ với mọi $x$ là sai. c) $y^{\prime }=5\iff x^2-2x-6=0$, theo Vi-ét tổng hai nghiệm bằng $2$ — đúng. d) Tiếp tuyến song song $(d):2x-y-5=0$ (hệ số góc $2$): $y^{\prime }=2\iff x^2-2x-3=0\iff x=3$ hoặc $x=-1$. Với $x=3$: $y=9-9-3+2=-1$, tiếp tuyến $y=2(x-3)-1=2x-7\iff 2x-y-7=0$. Với $x=-1$: $y=-\frac{1}{3}-1+1+2=\frac{5}{3}$, tiếp tuyến $y=2(x+1)+\frac{5}{3}=2x+\frac{11}{3}\iff 6x-3y+11=0$. Cả hai phương trình đều đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }={\left(\frac{1}{3}{x}^3\right)}^{\prime }-(x^2{)}^{\prime }-(x{)}^{\prime }=x^2-2x-1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=x^2-2x-1$ có nghiệm $x=1\pm \sqrt{2}$ và $y^{\prime }(1)=-2<0$, nên $y^{\prime }>0$ không đúng với mọi $x$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=5\iff x^2-2x-6=0$, tổng hai nghiệm $S=2$ (Vi-ét).
d) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=2\iff x=3$ hoặc $x=-1$. Tại $x=3$, điểm $(3;-1)$, tiếp tuyến $2x-y-7=0$; tại $x=-1$, điểm $(-1;\frac{5}{3})$, tiếp tuyến $6x-3y+11=0$. Cả hai đều đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Với $y=3^{x+1}$, ta có $y^{\prime }=3^{x+1}\cdot \ln 3$. Tại $x=1$: $y^{\prime }(1)=3^2\cdot \ln 3=9\ln 3$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Tốc độ tăng trưởng là $P^{\prime }(t)=120\cdot 0,15e^{0,15t}=18e^{0,15t}$. Tại $t=0$: $P^{\prime }(0)=18$ tế bào/giờ. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\ln (x^2+1)$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ vì $x^2+1>0$. Áp dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp: đặt $u=x^2+1$ thì $u^{\prime }=2x$, nên $y^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}=\frac{2x}{x^2+1}$. Kết quả trùng với đáp án D và với đáp án tham khảo trong nguồn (Câu 3: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm chi phí biên là đạo hàm của hàm chi phí: $C^{\prime }(x)=3\cdot 0,009x^2-2\cdot 4,6x+84=0,027x^2-9,2x+84$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{-6x-1}{4x+2}$, xác định với $x\ne -\frac{1}{2}$.
a) $y^{\prime }=\frac{(-6)(4x+2)-4(-6x-1)}{(4x+2{)}^2}=\frac{-24x-12+24x+4}{(4x+2{)}^2}=\frac{-8}{(4x+2{)}^2}$. Vậy khẳng định $y^{\prime }=\frac{8}{(4x+2{)}^2}$ là SAI (dấu sai).
b) Vì $y^{\prime }=\frac{-8}{(4x+2{)}^2}<0$ với mọi $x\ne -\frac{1}{2}$, khẳng định ĐÚNG.
c) $y(-4)=\frac{-6(-4)-1}{4(-4)+2}=\frac{24-1}{-16+2}=\frac{23}{-14}=-\frac{23}{14}$. Khẳng định ĐÚNG.
d) Trên đoạn $[-9;-4]$ (không chứa $x=-\frac{1}{2}$), hàm số liên tục và $y^{\prime }<0$ nên hàm số nghịch biến, do đó GTNN đạt tại $x=-4$: $y(-4)=-\frac{23}{14}\approx -1,643$. Trong khi đó $y(-9)=\frac{54-1}{-36+2}=\frac{53}{-34}=-\frac{53}{34}\approx -1,559$ là GTLN trên đoạn. Vậy GTNN bằng $-\frac{23}{14}\ne -\frac{53}{34}$, khẳng định SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tính đúng $y^{\prime }=\frac{-8}{(4x+2{)}^2}$, không phải $\frac{8}{(4x+2{)}^2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{-8}{(4x+2{)}^2}<0$ với mọi $x\ne -\frac{1}{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y(-4)=\frac{23}{-14}=-\frac{23}{14}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm nghịch biến trên $[-9;-4]$ nên GTNN là $y(-4)=-\frac{23}{14}$; giá trị $-\frac{53}{34}=y(-9)$ là GTLN.

(AI giải đề cho tôi)
Giao điểm của $C$ với trục hoành: $2^{x+1}-8=0\Rightarrow 2^{x+1}=2^3\Rightarrow x+1=3\Rightarrow x=2$, nên $M(2;0)$. Đạo hàm: $y^{\prime }=2^{x+1}\ln 2$. Hệ số góc tiếp tuyến tại $M$: $k=y^{\prime }(2)=2^3\ln 2=8\ln 2$. Vậy chọn D, trùng với đáp án nguồn (bảng đáp án và trang lời giải đều in đậm D).