Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đạo hàm (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
a) Đạo hàm: y' = 3x^2 - 6mx + (m^2 - 1). Đúng.
b) Với m = 2: y' = 3x^2 - 12x + 3, tại x_0 = 1: y'(1) = 3 - 12 + 3 = -6 ≠ 6. Sai.
c) Với m = 2: y = x^3 - 6x^2 + 3x + 2. Tại x = 0: y(0) = 2, y'(0) = 3, tiếp tuyến: y = 3x + 2. Đúng.
d) Tiếp tuyến vuông góc với d: y = -1/3 x + 1 phải có hệ số góc bằng 3. Giải y' = 3: 3x^2 - 12x + 3 = 3 ⟺ x^2 - 4x = 0 ⟺ x = 0 hoặc x = 4. Tại x = 0: y = 2, tiếp tuyến y = 3x + 2. Tại x = 4: y = 64 - 96 + 12 + 2 = -18, tiếp tuyến y = 3(x - 4) - 18 = 3x - 30. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
y' = 3x^2 - 6mx + (m^2 - 1) theo quy tắc đạo hàm của đa thức.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với m = 2: y' = 3x^2 - 12x + 3, y'(1) = 3 - 12 + 3 = -6 ≠ 6.
c) (AI giải đề cho tôi)
m = 2: y = x^3 - 6x^2 + 3x + 2; y(0) = 2, y'(0) = 3 nên tiếp tuyến là y = 3x + 2.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hệ số góc cần bằng 3: 3x^2 - 12x + 3 = 3 ⟺ x = 0 hoặc x = 4, cho tiếp tuyến y = 3x + 2 và y = 3x - 30.

(AI giải đề cho tôi)
a) y' = x^2 - 2(m+1)x + 3, đúng. b) Với m=1: y' = x^2 - 4x + 3, tại x=0: y'=3, đúng. c) Với m=1: y(1) = 1/3 - 4 + 3 + 1 = 1/3, y'(1) = 1 - 4 + 3 = 0, tiếp tuyến là y = 1/3 (hoành độ tiếp điểm 1, hệ số góc 0), không phải y = x + 1, sai. d) y' = -1: x^2 - 4x + 3 = -1 => (x-2)^2 = 0 => x = 2; y(2) = 8/3 - 8 + 6 + 1 = 5/3; tiếp tuyến: y = -(x-2) + 5/3 = -x + 11/3, đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
y' = x^2 - 2(m+1)x + 3.
b) (AI giải đề cho tôi)
m=1: y' = x^2 - 4x + 3, y'(0) = 3.
c) (AI giải đề cho tôi)
y(1) = 1/3, y'(1) = 0 nên tiếp tuyến là y = 1/3, không phải y = x + 1.
d) (AI giải đề cho tôi)
x^2 - 4x + 3 = -1 => x = 2, y(2) = 5/3, tiếp tuyến y = -x + 11/3.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng quy tắc tích: $y^{\prime }=(2x-1{)}^{\prime }{\mathrm{e}}^x+(2x-1)({\mathrm{e}}^x{)}^{\prime }=2{\mathrm{e}}^x+(2x-1){\mathrm{e}}^x=(2x+1){\mathrm{e}}^x$. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đạo hàm $y^{\prime }=3x^2-6mx+3$ — đúng. b) Với $m=1$: $y^{\prime }(2)=3(4)-6(2)+3=3\ne 5$ — sai. c) Với $m=1$, tại $x=0$: $y(0)=1$, $y^{\prime }(0)=3$, tiếp tuyến $y=3x+1$ — đúng. d) Tiếp tuyến song song $y=3x+2026$ cần $y^{\prime }=3$: $3x^2-6x+3=3\iff x=0$ hoặc $x=2$. Tại $x=0$: $y=3x+1$; tại $x=2$: $y(2)=3$, $y^{\prime }(2)=3$ nên tiếp tuyến là $y=3x-3$, không phải $y=3x-1$ — sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2-6mx+3$ theo quy tắc đạo hàm của đa thức.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=1$: $y^{\prime }(2)=3\cdot 4-6\cdot 2+3=3\ne 5$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y(0)=1$, $y^{\prime }(0)=3$ nên tiếp tuyến là $y=3x+1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3\iff x=0$ hoặc $x=2$. Tiếp tuyến tại $x=2$ là $y=3x-3$ (vì $y(2)=3$), không phải $y=3x-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng quy tắc tích: $y^{\prime }=(2x-1{)}^{\prime }{\mathrm{e}}^x+(2x-1)({\mathrm{e}}^x{)}^{\prime }=2{\mathrm{e}}^x+(2x-1){\mathrm{e}}^x=(2x+1){\mathrm{e}}^x$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=4^{x^2+3}$. Áp dụng công thức đạo hàm hàm mũ với hàm mũ là hàm hợp: $y^{\prime }=4^u\cdot u^{\prime }\cdot \ln 4$ với $u=x^2+3$, $u^{\prime }=2x$. Vậy $y^{\prime }=2x\cdot \ln 4\cdot 4^{x^2+3}$. Đây chính là đáp án D, khớp với đáp án nguồn (đề 0103, câu 10: D).

Giải:

a) Ta có: $y^{\prime }=5x^4+\frac{7}{2\sqrt{7x-2}}$

b) Ta có:
$y^{\prime }=2x-4\Rightarrow y^{\prime }(1)=-2$.
PT tiếp tuyến cần tìm là: $y=-2(x-1)-4=-2x-2$

Giải:
a) Ta có: $y^{\prime }=4x^3+\frac{3}{2\sqrt{3x+1}}$

b) Ta có:
$y^{\prime }=2x-3\Rightarrow y^{\prime }(2)=1$.
PT tiếp tuyến cần tìm là: $y=1(x-2)+3=x+1$

(AI giải đề cho tôi)
Với $y=\frac{2x^2-3}{x-1}$, theo quy tắc thương: $y^{\prime }=\frac{4x(x-1)-(2x^2-3)}{(x-1{)}^2}=\frac{4x^2-4x-2x^2+3}{(x-1{)}^2}=\frac{2x^2-4x+3}{(x-1{)}^2}$. Vậy $a=2,b=-4,c=3$, suy ra $T=a+b+c=2-4+3=1$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 17 = 1).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=\frac{2x-1}{x+1}$, TXĐ $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$.

a) $f^{\prime }(x)=\frac{2(x+1)-(2x-1)}{(x+1{)}^2}=\frac{3}{(x+1{)}^2}$ trên tập xác định của hàm số. Khớp với đề bài → Đúng.

b) Vì $f^{\prime }(x)=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -1$, tập nghiệm của $y^{\prime }>0$ là $S=\mathbb{R}\setminus \{-1\}\ne \varnothing$ → Sai.

c) $A(0;-1)\in (C)$ vì $f(0)=-1$. Hệ số góc tiếp tuyến: $f^{\prime }(0)=\frac{3}{1}=3$. Phương trình tiếp tuyến: $y=3(x-0)-1=3x-1\ne 3x+1$ → Sai.

d) Với mọi $x\ne -1$ ta có $f^{\prime }(x)=3$, nên tại mọi điểm thuộc $(C)$ tiếp tuyến đều có hệ số góc bằng 3; do đó tồn tại hai điểm phân biệt (ví dụ $x=0$ và $x=1$) thỏa mãn → Đúng.

Kết quả: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng — trùng khớp đáp án chính thức mã đề 1101 (DSSD).
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\frac{2(x+1)-(2x-1)}{(x+1{)}^2}=\frac{3}{(x+1{)}^2}$ trên tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -1$, nên $S=\mathbb{R}\setminus \{-1\}\ne \varnothing$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(0)=-1$, $f^{\prime }(0)=3$, tiếp tuyến là $y=3x-1$, không phải $y=3x+1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=3$ với mọi $x\ne -1$, nên có vô số (do đó có hai) điểm phân biệt trên $(C)$ có tiếp tuyến với hệ số góc 3.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $y=\frac{x^2+2x+2}{x+1}$. Áp dụng quy tắc thương: $y^{\prime }=\frac{(2x+2)(x+1)-(x^2+2x+2)\cdot 1}{(x+1{)}^2}$. Tử số: $(2x+2)(x+1)=2x^2+4x+2$; trừ đi $x^2+2x+2$ ta được $x^2+2x$. Vậy $y^{\prime }=\frac{x^2+2x+0}{(x+1{)}^2}$, tức $a=1,b=2,c=0$. Do đó $T=a+2b+3c=1+4+0=5$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1101, câu 21: 5).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x-1}{x+2}$ xác định tại $x_0=-1$ vì $-1+2=1\ne 0$. Theo quy tắc đạo hàm của thương: $y^{\prime }=\frac{(x-1{)}^{\prime }(x+2)-(x-1)(x+2{)}^{\prime }}{(x+2{)}^2}=\frac{(x+2)-(x-1)}{(x+2{)}^2}=\frac{3}{(x+2{)}^2}$. Tại $x_0=-1$: $y^{\prime }(-1)=\frac{3}{(-1+2{)}^2}=\frac{3}{1}=3$. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 11: B).

Đáp án theo bảng đáp án nguồn trang 8, mã đề 102, dòng 1: DSDD (a Đúng, b Sai, c Đúng, d Đúng).
a) Đúng. $f^{\prime }(x)=3x^2+6x$.
b) Sai. $f^{\prime \prime }(x)=6x+6$, không phải $-6x+6$.
c) Đúng. $f^{\prime }(x)=0\iff 3x^2+6x=0\iff x=0$ hoặc $x=-2$. Với $x_1=0>x_2=-2$: $2x_1-3x_2=0-3(-2)=6$.
d) Đúng. $M(-1;1)\in (C)$ vì $f(-1)=-1+3-1=1$; $f^{\prime }(-1)=3-6=-3$. Tiếp tuyến: $y=f^{\prime }(-1)(x+1)+1=-3(x+1)+1=-3x-2$.

(AI giải đề cho tôi)
a) f'(x)=-3x^2+6x (không có -1) nên mệnh đề SAI. b) f”(x)=-6x+6 đúng. c) f'(x)=0 ⟺ -3x^2+6x=0 ⟺ x=0 hoặc x=2, vậy x1=0, x2=2, 2x1-3x2=-6≠6 nên SAI. d) M(-1;3) thuộc (C) vì f(-1)=3; f'(-1)=-9; tiếp tuyến y=-9(x+1)+3=-9x-6 nên ĐÚNG. Khớp đáp án nguồn SDSD.
a) (AI giải đề cho tôi)
f'(x)=-3x^2+6x, không có số hạng -1.
b) (AI giải đề cho tôi)
f”(x)=-6x+6.
c) (AI giải đề cho tôi)
x1=0, x2=2 nên 2x1-3x2=-6≠6.
d) (AI giải đề cho tôi)
f(-1)=3, f'(-1)=-9, tiếp tuyến y=-9x-6.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=-3x^2+4x$. Tại $x=-1$: $y^{\prime }=-3(-1{)}^2+4(-1)=-3-4=-7$. Vậy hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x=-1$ là $-7$, khớp với đáp án B trong bảng đáp án (mã đề 0101, câu 10: B).

a) Ta có $y^{\prime }=2x+3$. (0,5 điểm)
b) Tung độ tiếp điểm $y_0=3$, hệ số góc của tiếp tuyến $k=y^{\prime }(1)=5$. (0,25 điểm)
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ $x_0=1$ có phương trình là
$$y=5(x-1)+3\iff y=5x-2.$$ (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=\frac{2x-1}{x+1}$ xác định với $x\ne -1$. Theo quy tắc đạo hàm của thương: $f^{\prime }(x)=\frac{2(x+1)-(2x-1)\cdot 1}{(x+1{)}^2}=\frac{2x+2-2x+1}{(x+1{)}^2}=\frac{3}{(x+1{)}^2}$. Tại $x=0$: $f^{\prime }(0)=\frac{3}{(0+1{)}^2}=\frac{3}{1}=3$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Phần III Câu 2, mã đề 0101: 3, trang 5).

a) Sai. Thay $x_0=0$ vào đạo hàm vừa tính: $y^{\prime }(0)=\frac{0^2+2(0)}{(0+1{)}^2}=0\ne 1$.
b) Đúng. Tính $y^{\prime }=\frac{(2x+2)(x+1)-(x^2+2x+2)\cdot 1}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x}{(x+1{)}^2}$.
c) Đúng. Hệ số góc tại $x_0=1$ là $y^{\prime }(1)=\frac{1^2+2(1)}{(1+1{)}^2}=\frac{3}{4}$.
d) Sai. Tiếp tuyến vuông góc với $y=-x+5$ sẽ có hệ số góc $k=1$.
Giải phương trình $y^{\prime }=1\iff \frac{x^2+2x}{(x+1{)}^2}=1\iff x^2+2x=x^2+2x+1\iff 0=1$ (vô nghiệm).
Vậy không có tiếp tuyến nào thỏa mãn.
a) Sai. Thay $x_0=0$ vào đạo hàm vừa tính: $y^{\prime }(0)=\frac{0^2+2(0)}{(0+1{)}^2}=0\ne 1$.
b) Đúng. Tính $y^{\prime }=\frac{(2x+2)(x+1)-(x^2+2x+2)\cdot 1}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x}{(x+1{)}^2}$.
c) Đúng. Hệ số góc tại $x_0=1$ là $y^{\prime }(1)=\frac{1^2+2(1)}{(1+1{)}^2}=\frac{3}{4}$.
d) Sai. Tiếp tuyến vuông góc với $y=-x+5$ sẽ có hệ số góc $k=1$.
Giải phương trình $y^{\prime }=1\iff \frac{x^2+2x}{(x+1{)}^2}=1\iff x^2+2x=x^2+2x+1\iff 0=1$ (vô nghiệm).
Vậy không có tiếp tuyến nào thỏa mãn.

Tính đạo hàm: $y^{\prime }=3\cos (3x)-6\sin (3x)$.
Đồng nhất hệ số: $a=3$ và $b=-6$.
Tính giá trị: $S=a+2b=3+2(-6)=-9$.

Ta có: $y^{\prime }=\frac{-x^2+8x+5}{(x^2+x+1{)}^2}$.
Suy ra $a=-1,b=8,c=5$.
Biểu thức $2ab+c=2(-1)(8)+5=-11$.