Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Mỗi vectơ khác $\vec{0}$ được xác định bởi một cặp (điểm đầu, điểm cuối) gồm 2 điểm phân biệt trong 18 điểm, và thứ tự có ý nghĩa (điểm đầu khác điểm cuối). Do đó số vectơ bằng số cách chọn có thứ tự 2 điểm trong 18 điểm: $A_{18}^2=18\cdot 17=306$.

(AI giải đề cho tôi)
Số có ba chữ số khác nhau: chữ số hàng trăm khác 0 nên có 6 cách (1–6); hàng chục có 6 cách (7 chữ số trừ chữ đã dùng, kể cả 0); hàng đơn vị có 5 cách. Tổng: $6\cdot 6\cdot 5=180$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 3 bông hồng có đủ hai màu nghĩa là chọn 2 đỏ 1 vàng hoặc 1 đỏ 2 vàng. Trường hợp 2 đỏ 1 vàng: $C_7^2\cdot C_8^1=21\cdot 8=168$. Trường hợp 1 đỏ 2 vàng: $C_7^1\cdot C_8^2=7\cdot 28=196$. Tổng số cách: $168+196=364$.

(AI giải đề cho tôi)
Số cách chọn 3 học sinh từ 25 học sinh (không kể thứ tự) là tổ hợp chập 3 của 25: $C_{25}^3=\frac{25\cdot 24\cdot 23}{3!}=\frac{13800}{6}=2300$. Vậy có 2300 cách chọn.

(AI giải đề cho tôi)
Số đường chéo của đa giác lồi $n$ cạnh là $\frac{n(n-3)}{2}$. Theo đề: $\frac{n(n-3)}{2}=44\Rightarrow n(n-3)=88\Rightarrow n^2-3n-88=0\Rightarrow (n-11)(n+8)=0$. Vì $n\ge 3$ nên $n=11$. Vậy đa giác có 11 cạnh.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $x^2+1\ge 1>0$ nên $|x^2+1|\le 2\iff x^2+1\le 2\iff x^2\le 1\iff -1\le x\le 1$. Với $x\in \mathbb{Z}$ ta được $B=\{-1;0;1\}$, có 3 phần tử. Số tập con gồm 2 phần tử là $C_3^2=3$: $\{-1;0\},\{-1;1\},\{0;1\}$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 3.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 3 thành viên từ 35 học sinh sao cho có ít nhất 1 nữ. Cách chọn bất kỳ: $C_{35}^3=\frac{35\cdot 34\cdot 33}{6}=6545$. Cách chọn không có nữ nào (chỉ nam): $C_{15}^3=\frac{15\cdot 14\cdot 13}{6}=455$. Vậy số cách có ít nhất 1 nữ là $6545-455=6090$.

(AI giải đề cho tôi)
Vec tơ xác định bởi điểm đầu và điểm cuối là hai điểm phân biệt (khác vec 0), chọn có thứ tự từ 10 điểm: $A_{10}^2=10\cdot 9=90$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Số có 4 chữ số đôi một khác nhau lập từ 7 chữ số $1,2,3,4,5,6,7$ là số cách chọn và sắp thứ tự 4 chữ số từ 7 chữ số, tức là chỉnh hợp chập 4 của 7: $A_7^4=7\cdot 6\cdot 5\cdot 4=840$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
a) Xếp 5 nữ thành hàng: 5! = 120 cách → đúng. b) Xếp 7 nam thành hàng: 7! = 5040 cách → đúng. c) Xếp cả 12 học sinh thành hàng là 12! = 479001600 cách, còn 5!×7! = 120×5040 = 604800 ≠ 12! → sai. d) Tổng số cách xếp 12 người: 12! = 479001600. Số cách không có 2 nữ cạnh nhau: xếp 7 nam (7! cách) tạo 8 khoảng trống, chọn 5 khoảng để đặt 5 nữ: C(8,5)·5!·7! = 56·120·5040 = 33868800. Vậy số cách có ít nhất 2 nữ cạnh nhau = 479001600 − 33868800 = 445132800 → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Xếp 5 học sinh nữ khác nhau thành hàng ngang có 5! = 120 cách.
b) (AI giải đề cho tôi)
Xếp 7 học sinh nam khác nhau thành hàng ngang có 7! = 5040 cách.
c) (AI giải đề cho tôi)
Xếp 12 học sinh thành hàng ngang có 12! = 479001600 cách, không phải 5!×7! = 604800.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng: 12! = 479001600. Không có 2 nữ cạnh nhau: C(8,5)·5!·7! = 33868800. Kết quả: 479001600 − 33868800 = 445132800.

(AI giải đề cho tôi)
Hộp có 15 viên bi phân biệt: 6 đỏ, 5 vàng, 4 trắng.
a) Chọn 3 viên từ 15 viên (không kể thứ tự): $C_{15}^3=455$ cách → đúng.
b) Lấy 2 bi đỏ và 1 bi vàng: phải chọn độc lập nên số cách là $C_6^2\cdot C_5^1=15\cdot 5=75$, không phải $C_6^2+C_5^1=20$ → sai.
c) Ba bi cùng màu: chọn 3 đỏ HOẶC 3 vàng HOẶC 3 trắng, số cách là $C_6^3+C_5^3+C_4^3=20+10+4=34$, không phải tích $C_6^3\cdot C_5^3\cdot C_4^3$ → sai.
d) Đúng hai màu nghĩa là chọn 2 trong 3 màu và mỗi màu có ít nhất 1 bi:
- Đỏ và vàng: $C_6^2{C}_5^1+C_6^1{C}_5^2=75+60=135$.
- Đỏ và trắng: $C_6^2{C}_4^1+C_6^1{C}_4^2=60+36=96$.
- Vàng và trắng: $C_5^2{C}_4^1+C_5^1{C}_4^2=40+30=70$.
Tổng: $135+96+70=301$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Chọn 3 viên từ 15 viên phân biệt, không kể thứ tự: $C_{15}^3=455$ cách.
b) (AI giải đề cho tôi)
Phải nhân: $C_6^2\cdot C_5^1=75$, không phải $C_6^2+C_5^1=20$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Ba trường hợp rời nhau nên cộng: $C_6^3+C_5^3+C_4^3=34$, không phải tích.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đúng hai màu: $(C_6^2{C}_5^1+C_6^1{C}_5^2)+(C_6^2{C}_4^1+C_6^1{C}_4^2)+(C_5^2{C}_4^1+C_5^1{C}_4^2)=135+96+70=301$.

(AI giải đề cho tôi)
Mỗi tam giác tương ứng với một cách chọn 3 điểm từ 8 điểm (vì không có 3 điểm nào thẳng hàng, mọi bộ 3 điểm đều tạo thành tam giác). Số tam giác là $C_8^3=\frac{8!}{3!5!}=\frac{8\cdot 7\cdot 6}{6}=56$.

(AI giải đề cho tôi)
Ba chức vụ khác nhau nên đây là chỉnh hợp chập 3 của 32: $A_{32}^3=32\cdot 31\cdot 30=29760$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Số điện thoại có 11 chữ số, 3 chữ số đầu cố định là 024, còn 8 chữ số sau mỗi chữ số có 10 cách chọn (0–9). Theo quy tắc nhân, số thuê bao tối đa là $10^8$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Một vectơ được xác định bởi điểm đầu và điểm cuối, với điều kiện điểm đầu khác điểm cuối (để khác vectơ – không). Chọn điểm đầu: 20 cách; chọn điểm cuối khác điểm đầu: 19 cách. Vậy số vectơ là $20\cdot 19=A_{20}^2$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Một véc-tơ được xác định bởi điểm đầu và điểm cuối, có tính thứ tự. Từ 10 điểm phân biệt, chọn điểm đầu có 10 cách, chọn điểm cuối có 9 cách (khác điểm đầu để vectơ khác vectơ-không). Vậy số vectơ là $A_{10}^2=10\cdot 9=90$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hai quả cùng màu: hoặc cả hai trắng, hoặc cả hai đen. Chọn 2 quả trắng từ 6 quả: $C_6^2=15$ cách. Chọn 2 quả đen từ 4 quả: $C_4^2=6$ cách. Tổng: $15+6=21$ cách. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Lớp trưởng cố định ở vị trí chạy cuối. Còn 5 vị trí đầu được chọn và sắp từ 14 bạn còn lại, nên số cách xếp là hoán vị chập 5 của 14 phần tử: $A_{14}^5=\frac{14!}{9!}=14\cdot 13\cdot 12\cdot 11\cdot 10=240240$. Vậy có $240240$ cách xếp đội hình.