Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Thể tích khối lăng trụ (Toán học Lớp 11)

Chọn B.
Thể tích của khối hộp chữ nhật là:
$$V=A{A}^{\prime }\cdot AB\cdot AD=a\cdot 3a\cdot 4a=12a^3.$$

Chọn C.
Vì $A^{\prime }B\perp (ABCD)$ nên $B$ là hình chiếu vuông góc của $A^{\prime }$ trên $(ABCD)$.
Do đó góc giữa $A{A}^{\prime }$ và $(ABCD)$ là $\widehat{A^{\prime }AB}=45^{\circ }$.
Suy ra tam giác $A^{\prime }AB$ vuông cân tại $B$, do đó $A^{\prime }B=AB$.
Khoảng cách từ $A$ đến $B{B}^{\prime }$ bằng $AB=1$, do đó $A^{\prime }B=1$.
Đồng thời khoảng cách từ $A$ đến $D{D}^{\prime }$ bằng 1. Vì $ABCD$ là hình bình hành có các khoảng cách đến $B{B}^{\prime }$ và $D{D}^{\prime }$ bằng nhau, kết hợp với góc giữa hai mặt phẳng bên bằng $60^{\circ }$, ta tính được diện tích đáy $S_{ABCD}=3$.
Khi đó thể tích khối hộp là:
$$V=S_{ABCD}\cdot A^{\prime }B=3\cdot 1=3.$$

Diện tích đáy tam giác đều $ABC$ là $S_{\Delta ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
Chiều cao của khối lăng trụ bằng hình chiếu vuông góc của cạnh bên lên phương thẳng đứng:
$h=A{A}^{\prime }\cdot \sin 60^{\circ }=2a\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$.
Thể tích của khối lăng trụ là:
$V=S_{\Delta ABC}\cdot h=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot a\sqrt{3}=\frac{3a^3}{4}$.
Chọn C.

Chọn C.
Thể tích khối lăng trụ là $V=B\cdot h$.

Thể tích khối lập phương cạnh $2a$ là $V=(2a{)}^3=8a^3$.
Chọn D.

Chọn D.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Trần Phú - Hà Tĩnh, Mã đề 101, Trang 5)

Diện tích đáy $ABC$ vuông tại $A$ là:
$$S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC=\frac{1}{2}a\cdot a\sqrt{3}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}.$$
Kẻ $AH\perp BC$ tại $H$. Vì $A^{\prime }A\perp (ABC)⟹A^{\prime }H\perp BC$ (định lý ba đường vuông góc).
Do đó góc giữa $(A^{\prime }BC)$ và $(ABC)$ là góc $\widehat{A^{\prime }HA}=30^{\circ }$.
Độ dài đường cao $AH$ trong tam giác vuông $ABC$:
$$\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{A{B}^2}+\frac{1}{A{C}^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{3a^2}=\frac{4}{3a^2}⟹AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$$
Chiều cao của lăng trụ:
$$A^{\prime }A=AH\cdot \tan 30^{\circ }=\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{a}{2}.$$
Thể tích khối lăng trụ đứng là:
$$V=S_{ABC}\cdot A^{\prime }A=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{a}{2}=\frac{a^3\sqrt{3}}{4}.$$

Thể tích khối lăng trụ là $V=B\cdot h=6\cdot 3=18$.

Chọn D.
Thể tích khối lăng trụ đứng là $V=B\cdot h=2a^2\cdot 3a=6a^3$.

Thể tích khối lập phương có cạnh bằng $3a$ là $V=(3a{)}^3=27a^3$.
Chọn A.

Diện tích tam giác đều $ABC$: $S_{\Delta ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$.
Góc giữa cạnh bên $A{A}^{\prime }$ và đáy là $\widehat{A{A}^{\prime }H}=30^{\circ }$.
Chiều cao lăng trụ là: $h=AH=A{A}^{\prime }\cdot \sin 30^{\circ }=4a\cdot \frac{1}{2}=2a$.
Thể tích khối lăng trụ:
$V=S_{\Delta ABC}\cdot h=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot 2a=\frac{a^3\sqrt{3}}{2}$.
Chọn D.

Chọn A.
Diện tích đáy $S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2=2$. Thể tích khối lăng trụ là:
$$V=S_{ABC}\cdot A{A}^{\prime }=2\cdot 3=6.$$

Diện tích đáy là $B=4^2=16$. Chiều cao của khối lăng trụ là $h=\frac{V}{B}=\frac{32}{16}=2$.

Diện tích tam giác đều cạnh $a$ là $S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Chiều cao $h=A{A}^{\prime }=2a$.
Thể tích của khối lăng trụ đã cho là: $V=S\cdot h=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot 2a=\frac{a^3\sqrt{3}}{2}$.
Chọn A.

Chọn A.
Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ có $AC=a\sqrt{2}\Rightarrow AB=BC=a$.
Diện tích đáy $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC=\frac{a^2}{2}$.
Thể tích khối lăng trụ là $V=S_{ABC}\cdot B{B}^{\prime }=\frac{a^2}{2}\cdot a=\frac{a^3}{2}$.

Chọn D.
Gọi $G$ là trọng tâm tam giác đều $ABC$, $M$ là trung điểm của $BC$.
Ta có $AM=\frac{2a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$, $AG=\frac{2}{3}AM=\frac{2a\sqrt{3}}{3}$, $GM=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.
Vì $BC\perp AM$ và $BC\perp A^{\prime }G$ nên $BC\perp (A^{\prime }AM)$.
Kẻ $MK\perp A{A}^{\prime }$ tại $K$, suy ra $MK\perp BC$, do đó $d(A{A}^{\prime },BC)=MK=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Trong mặt phẳng $(A^{\prime }AM)$, kẻ $AH\perp A{A}^{\prime }$ hoặc dùng diện tích tam giác $A^{\prime }AM$:
$$S_{\Delta A^{\prime }AM}=\frac{1}{2}{A}^{\prime }G\cdot AM=\frac{1}{2}h\cdot a\sqrt{3}.$$
Đồng thời:
$$S_{\Delta A^{\prime }AM}=\frac{1}{2}A{A}^{\prime }\cdot MK=\frac{1}{2}\sqrt{h^2+A{G}^2}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}.$$
Suy ra:
$$h\cdot a\sqrt{3}=\sqrt{h^2+\frac{4a^2}{3}}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}\iff 2h=\sqrt{h^2+\frac{4a^2}{3}}\iff 4h^2=h^2+\frac{4a^2}{3}\iff h=\frac{2a}{3}.$$
Diện tích tam giác đều $ABC$ là $S_{ABC}=\frac{(2a{)}^2\sqrt{3}}{4}=a^2\sqrt{3}$.
Thể tích khối lăng trụ là:
$$V=S_{ABC}\cdot h=a^2\sqrt{3}\cdot \frac{2a}{3}=\frac{2a^3\sqrt{3}}{3}.$$

Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy $S$ và chiều cao $h$ là $V=Sh$.

Từ giả thiết $BA=a,BC=2a⟹S_{△ABC}=\frac{1}{2}BA\cdot BC=a^2$. Hình chiếu vuông góc của $A^{\prime }B$ lên $(ABC)$ là $AB$, nên $\widehat{A^{\prime }BA}=60^{\circ }⟹A{A}^{\prime }=AB\tan 60^{\circ }=a\sqrt{3}$. Vậy $V=S_{△ABC}\cdot A{A}^{\prime }=a^3\sqrt{3}$.

Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ có $AC=a\sqrt{2}$ nên $AB=BC=\frac{AC}{\sqrt{2}}=a$. Do đó $S_{ABC}=\frac{1}{2}{a}^2$ và đường cao $h=B{B}^{\prime }=a$. Vậy thể tích khối lăng trụ đã cho là $V=B{B}^{\prime }\cdot S_{ABC}=\frac{a^3}{2}$.

Chọn D.
Thể tích khối hộp chữ nhật cần tìm là: $V=2\cdot 6\cdot 7=84$.

Thể tích khối hộp chữ nhật là $V=2\cdot 3\cdot 5=30$.