Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

Phương trình hoành độ giao điểm: $x^2=x⟺x=0$ hoặc $x=1$. Diện tích hình phẳng là $S={\int }_0^1|x^2-x|dx={\int }_0^1(x-x^2)dx=\frac{1}{6}$.

Phương trình hoành độ giao điểm: $x^2-x=3x⟺x^2-4x=0⟺x=0$ hoặc $x=4$. Diện tích hình phẳng là $S={\int }_0^4|x^2-4x|dx={\int }_0^4(4x-x^2)dx={\left(2x^2-\frac{x^3}{3}\right)|}_0^4=32-\frac{64}{3}=\frac{32}{3}$. Chọn D.

Ta có ${\int }_0^1(2f(x)-3a{x}^2+b)dx=2{\int }_0^{1}f(x)dx-3a{\left[\frac{x^3}{3}\right]}_0^1+b[x{]}_0^1=2(5)-a(1)+b(1)=10-a+b$. Chọn D.

Chọn C.
Ta có:
$I={\int }_0^2\frac{\mathrm{d}x}{5-2x}=-\frac{1}{2}\ln |5-2x|{|}_0^2=-\frac{1}{2}(\ln 1-\ln 5)=\frac{1}{2}\ln 5.$

Ta có ${\int }_1^3[5-2f(x)]dx=5(3-1)-2{\int }_1^{3}f(x)dx=10-2(18)=10-36=-26$. Chọn A.

Phương trình hoành độ giao điểm: $x^2-3x+1=x+1⟺x^2-4x=0⟺x=0$ hoặc $x=4$. Trên đoạn $[0;4]$, ta có $x+1\ge x^2-3x+1$ (do $-x^2+4x\ge 0$). Do đó diện tích là $S={\int }_0^4|(x^2-3x+1)-(x+1)|dx={\int }_0^4(-x^2+4x)dx$. Chọn B.

Theo định nghĩa tích phân, ${\int }_0^1-f(x)\text{d}x=-{F(x)|}_0^1=-(F(1)-F(0))=F(0)-F(1)$.

Phương trình hoành độ giao điểm: $x^2+3=4x⟺x^2-4x+3=0⟺x=1$ hoặc $x=3$. Diện tích hình phẳng là $S={\int }_1^3|(x^2+3)-4x|dx={\int }_1^3|x^2-4x+3|dx$. Chọn D.

Đặt $\{\begin{array}{l}u=x\\ dv=e^{x}dx\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}du=dx\\ v=e^x\end{array}$.

$\Rightarrow {\int }_1^{2}x{e}^{x}dx=x{e}^x{|}_1^2-{\int }_1^2{e}^{x}dx=x{e}^x{|}_1^2-e^x{|}_1^2=2e^2-e-(e^2-e)=e^2$.

Tính ${\int }_1^{2}f(3x-1)dx$.

Đặt $3x-1=t\Rightarrow dx=\frac{dt}{3}$.

Đổi cận: $x=1\Rightarrow t=2$; $x=2\Rightarrow t=5$.

Từ đây ta có ${\int }_1^{2}f(3x-1)dx=\frac{1}{3}{\int }_2^{5}f(t)dt=\frac{1}{3}{\int }_2^{5}f(x)dx=\frac{2}{3}$.

Theo định lý cơ bản của giải tích: $f(2)-f(1)={\int }_1^2{f}^{\prime }(x)dx={\int }_1^2(2x+1)dx=[x^2+x{]}_1^2=(4+2)-(1+1)=6-2=4$. Chọn D.

- Mệnh đề (1): ${\int }_a^{b}f(x)dx=-{\int }_b^{a}f(x)dx$. Mệnh đề này đúng theo tính chất đổi cận của tích phân.
- Mệnh đề (2): ${\int }_a^{b}2f(x)dx=2{\int }_a^{b}f(x)dx\ne 2{\int }_b^{a}f(x)dx$. Mệnh đề này sai.
- Mệnh đề (3): Tích phân của bình phương nói chung không bằng bình phương của tích phân. Ví dụ với $f(x)=x+1,a=0,b=1$, ${\int }_0^1(x+1{)}^{2}dx=7/3$, trong khi $({\int }_0^1(x+1)dx{)}^2=(3/2{)}^2=9/4\ne 7/3$. Mệnh đề này sai.
- Mệnh đề (4): Tích phân không phụ thuộc vào biến số lấy tích phân nên ${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{b}f(u)du$. Mệnh đề này đúng.
Vậy có 2 mệnh đề đúng là (1) và (4).

Dựa vào hình vẽ bên, phần tô đậm giới hạn bởi hai parabol:
$y=f(x)=-2x^2+1$ và $y=g(x)=2x^2-4x+1$.
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị:
$-2x^2+1=2x^2-4x+1⟺4x^2-4x=0⟺4x(x-1)=0⟺[<table><tbody><tr><td>x=0</td></tr><tr><td>x=1</td></tr></tbody></table>$.
Trên đoạn $[0;1]$, đồ thị parabol quay bề lõm xuống dưới $y=-2x^2+1$ nằm phía trên đồ thị parabol quay bề lõm lên trên $y=2x^2-4x+1$.
Do đó diện tích hình phẳng là:
$S={\int }_0^1[f(x)-g(x)]dx={\int }_0^1[(-2x^2+1)-(2x^2-4x+1)]dx={\int }_0^1(-4x^2+4x)dx$.

Vì hai giao điểm $A,B$ thuộc đường thẳng $y=9x+8$ nên $f(-1)=9(-1)+8=-1$ và $f(4)=9\cdot 4+8=44$. Khi đó $I={\int }_{-1}^4{f}^{\prime }(x)dx=f(4)-f(-1)=44-(-1)=45$.

Đặt $t=\ln x\Rightarrow \mathrm{d}t=\frac{1}{x}\mathrm{d}x$.

Đổi cận: $x=\frac{1}{e}\Rightarrow t=-1$; $x=e\Rightarrow t=1$.

Do đó, ${\int }_{\frac{1}{e}}^e\frac{1}{x\ln x}\mathrm{d}x={\int }_{-1}^1\frac{1}{t}\mathrm{d}t$.

Chọn B.
Theo tính chất của tích phân, ta có:
${\int }_0^1[2f(x)-g(x)]dx=2{\int }_0^{1}f(x)dx-{\int }_0^{1}g(x)dx=2\cdot 4-3=5$.

Chọn D.
Đặt $u=x^2+1⟹du=2xdx⟹xdx=\frac{1}{2}du$.
Đổi cận:
Khi $x=0⟹u=1$;
Khi $x=2⟹u=5$.
Do đó: ${\int }_0^{2}x\sqrt{x^2+1}dx=\frac{1}{2}{\int }_1^5\sqrt{u}du$.

Chọn B.
Trên đoạn $[0;1]$, ta có $1>-2x^2$ nên $1-(-2x^2)=1+2x^2>0$.
Diện tích của hình phẳng cần tìm là:
$S={\int }_0^1|1-(-2x^2)|dx={\int }_0^1(1+2x^2)dx$.

Theo công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y=f(x)$, $y=g(x)$ và hai đường thẳng $x=a$, $x=b$:
$S={\int }_a^b|f(x)-g(x)|dx$.
Do đó: $S={\int }_0^2|x^2-(2x+3)|dx={\int }_0^2|x^2-2x-3|dx$.

Ta có ${\int }_1^3[f(x)+3]dx={\int }_1^{3}f(x)dx+{\int }_1^{3}3dx=3+3(3-1)=9$.