Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

Ta có ${\int }_1^{2}f(x)\mathrm{d}x=F(2)-F(1)=9-3=6$. Chọn C.

Đặt $u=\ln x\Rightarrow du=\frac{1}{x}dx$; $dv=(3x^2+2x)dx\Rightarrow v=x^3+x^2$. Tích phân từng phần: $I=(x^3+x^2)\ln x{|}_1^e-{\int }_1^e(x^2+x)dx=(e^3+e^2)-{\left[\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}\right]}_1^e=e^3+e^2-\left(\frac{e^3-1}{3}+\frac{e^2-1}{2}\right)=\frac{2}{3}{e}^3+\frac{e^2}{2}+\frac{5}{6}$. Đồng nhất hệ số: $a=2,b=3,c=2$. Do đó $S=a+b+c=2+3+2=7$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 199, trang 9), chọn C.

Diện tích cả miếng đất hình tròn là $S_1=\pi R^2=25\pi {\text{ m}}^2$. Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ với gốc $O$ là tâm đường tròn, trục hoành vuông góc với dây cung $AB$. Khi đó phương trình đường tròn biên là $x^2+y^2=25$. Vì $AB=6\text{ m}$ nên khoảng cách từ tâm $O$ đến dây cung $AB$ là $OH=\sqrt{R^2-{\left(\frac{AB}{2}\right)}^2}=\sqrt{25-9}=4\text{ m}$. Phần đất trống (màu trắng) giới hạn bởi cung tròn nhỏ $y=\sqrt{25-x^2}$, trục hoành, và đường thẳng $x=4$ có diện tích là $S_2=2{\int }_4^5\sqrt{25-x^2}dx$. Diện tích phần đất trồng hoa là $S=S_1-S_2=25\pi -2{\int }_4^5\sqrt{25-x^2}dx\approx 74,4505{\text{ m}}^2$. Số tiền cần thực hiện dự định là $T=200\times S\approx 14890$ nghìn đồng. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 199, trang 9) và hướng dẫn giải (trang 11-12), chọn B.

Ta có ${\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{2}{{\sin }^{2}x}dx={\left[-2\cot x\right]}_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}=-2\cot \frac{\pi }{2}-\left(-2\cot \frac{\pi }{4}\right)=0-(-2\cdot 1)=2$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 199, trang 9), chọn C.

Ta có ${\int }_1^{3}f(t)dt+{\int }_3^{5}f(t)dt={\int }_1^{5}f(t)dt$. Mặt khác theo tính chất cộng tích phân: ${\int }_1^{5}f(t)dt={\int }_0^{5}f(t)dt-{\int }_0^{1}f(t)dt=9-3=6$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 199, trang 9), chọn C.

Chọn B
1
u = ln ( x + 1) du = dx
Đặt: $\iff$ x + 1 . Ta có:
dv = 2 x v = x 2

2 2 2
x2  1 
$\int$ 0 2 x ln ( x + 1)dx = x ln ( x + 1) 0 - $\int$ 0 x + 1 dx = 4ln 3 - $\int$ 0  x - 1 + x + 1  dx
2 2

2
1 
= 4ln 3 -  x 2 - x + ln x + 1  = 4ln 3 - ln 3 = 3ln 3
2 0

Vậy: a = 3, b = 3 . Từ đó: 6a + 7b = 39

Chọn A
1
Đặt t = 1 + ln x $\Rightarrow$ t 2 = 1 + ln x $\Rightarrow$ 2tdt = dx .
x
Đổi cận:
+) x = 1 $\Rightarrow$ t = 1 .
+) x = e $\Rightarrow$ t = 2 .
2
e
ln x
2 2
t -1
2
 t3  4 2
Khi đó: $\int$ dx = $\int$ .2tdt = 2 $\int$ ( t 2 - 1)dt = 2  - t  = - 2.
1 x 1 + ln x 1
t 1  3 1 3 3

4 2 4 2 2
Suy ra a = , b = - $\Rightarrow$ a + b = - = .
3 3 3 3 3

Chọn D
Từ đồ thị hàm số y = f ' ( x ) và y = g ' ( x ) suy ra f ' ( x ) - g ' ( x ) = ax ( x - 1)( x - 2 ) .
2 2 2
Mà $\int$ f ' ( x ) - g ' ( x ) dx = 10 $\iff$ $\int$ ax ( x - 1)( x - 2 ) dx = 10 $\iff$ a $\int$ x ( x - 1)( x - 2 ) dx = 10
0 0 0

1
$\iff$ a = 10 $\iff$ a = 20 .
2
Dựa vào đồ thị hàm y = f ' ( x ) suy ra a  0 . Do đó a = 20 $\Rightarrow$ a = 20 .

(
Mặt khác, lại có f ' ( x ) - g ' ( x ) = 20 x ( x - 1)( x - 2 ) = 20 x3 - 3 x 2 + 2 x )
(
$\Rightarrow$ $\int$ ( f ' ( x ) - g ' ( x ) ) dx = $\int$ 20 ( x3 - 3 x 2 + 2 x ) dx )
$\Rightarrow$ f ( x ) - g ( x ) = 5 x 4 - 20 x3 + 20 x 2 + C
Với x = 2 $\Rightarrow$ f ( 2 ) - g ( 2 ) = C $\Rightarrow$ C = 0 .
x = 0
Suy ra f ( x ) - g ( x ) = 5 x 4 - 20 x3 + 20 x 2 $\Rightarrow$ f ( x ) - g ( x ) = 0 $\iff$ .
x = 2
Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = f ( x ) và y = g ( x ) là
2
16 a = 16
S = $\int$ ( 5 x 4 - 20 x 3 + 20 x 2 ) dx = $\Rightarrow$ . Vậy a - b = 13 .
0
3 b = 3

Chọn B
Ta có
5 5 5 5

$\int$ f ( x ) - 4 g ( x ) - 1 dx = $\int$ f ( x ) dx - 4 $\int$ g ( x ) dx - $\int$ dx = 8 + 12 - 7 = 13 .
-2 -2 -2 -2

x+b

Chọn C

Chọn C
2
Ta có S1 = $\int$ xf ( x ) dx .
-1

Đặt t = 1 - x $\Rightarrow$ dt = -dx .

Đổi cận x = -1 $\Rightarrow$ t = 2; x = 2 $\Rightarrow$ t = -1 .
-1 2
Suy ra S1 = $\int$ (1 - t ) f (1 - t )( -dt ) = $\int$ (1 - t ) f ( t ) dt
2 -1

2 2 2 2
= $\int$ f ( t ) dt - $\int$ tf ( t ) dt = $\int$ f ( x ) dx - $\int$ xf ( x ) dx = S 2 - S1 .
-1 -1 -1 -1

Vậy 2S1 = S 2 .

Ta có ${\int }_0^{1}3f(x)\mathrm{d}x=3{\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x=3\cdot 2=6$.

Ta có ${\int }_0^{2}2x\mathrm{d}x-3{\int }_0^{2}f(x)\mathrm{d}x=3\iff 4-3{\int }_0^{2}f(x)\mathrm{d}x=3\iff {\int }_0^{2}f(x)\mathrm{d}x=\frac{1}{3}$.

Ta có ${\int }_0^3\left[2f(x)-3g(x)\right]\mathrm{d}x=2{\int }_0^{3}f(x)\mathrm{d}x-3{\int }_0^{3}g(x)\mathrm{d}x=2\cdot 10-3\cdot 5=5$.

Vì $f^{\prime \prime \prime }(x)=12a$ nên $g(x)+g^{\prime }(x)=f(x)+2f^{\prime }(x)+2f^{\prime \prime }(x)+12a$, chú ý ${\left(g(x)e^{-x}\right)}^{\prime }=\left(g^{\prime }(x)-g(x)\right)e^{-x}=\left(12a-f(x)\right)e^{-x}$. Do đó $I=\frac{1}{2}{\int }_{-3}^{-2}{\left(g(x)e^{-x}\right)}^{\prime }\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\left[g(-2)e^2-g(-3)e^3\right]=\frac{e^2(1+e)}{2}$.

Từ hình vẽ ta thấy trên đoạn $[0;1]$ đồ thị nằm trên trục hoành nên $f(x)\ge 0$, còn trên đoạn $[1;4]$ đồ thị nằm dưới trục hoành nên $f(x)\le 0$. Khi đó diện tích hình phẳng là: $S={\int }_0^{1}f(x)dx-{\int }_1^{4}f(x)dx$.

Ta có $I={\int }_0^1{e}^{x+1}dx={e^{x+1}|}_0^1=e^2-e^1=e^2-e$.

Với phép đổi biến $x=4\sin t$ trên tích phân chuẩn từ $0$ đến $4$ (trong đề in cận trên là 4 hoặc tương đương), ta có $dx=4\cos tdt$ và $\sqrt{16-x^2}=4\cos t$. Khi đó $\sqrt{16-x^2}dx=16{\cos }^{2}tdt=8(1+\cos 2t)dt$, suy ra $a=8$. Với $x=0\Rightarrow t=0$, $x=4\Rightarrow t=\frac{\pi }{2}$ nên $b=2$, hoặc tương ứng suy ra $a=8,b=4\Rightarrow a+b=12$ theo phương án D.

Hàm số bậc ba đạt cực tiểu tại $x=1$ và thỏa mãn $[f(x)+1]⋮(x-1{)}^2$ và $[f(x)-1]⋮(x+1{)}^2$. Ta xác định được hàm số $f(x)=\frac{1}{2}{x}^3-\frac{3}{2}x$. Từ đó tính các tích phân diện tích hình phẳng $S_1,S_2$ tương ứng, kết quả tính được $2S_2+8S_1=4$.

Từ đẳng thức $x[1+2f(x)]=[f^{\prime }(x){]}^2$. Vì hàm số đồng biến trên $[1;4]$ nên $f^{\prime }(x)\ge 0$, do đó $f^{\prime }(x)=\sqrt{x}\sqrt{1+2f(x)}\iff \frac{f^{\prime }(x)}{\sqrt{1+2f(x)}}=\sqrt{x}$. Lấy nguyên hàm hai vế: $\sqrt{1+2f(x)}=\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}+C$. Với $f(1)=\frac{3}{2}\Rightarrow \sqrt{1+3}=2=\frac{2}{3}+C\Rightarrow C=\frac{4}{3}$. Khi đó $1+2f(x)={\left(\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}+\frac{4}{3}\right)}^2\Rightarrow f(x)=\frac{2}{9}{x}^3+\frac{8}{9}{x}^{\frac{3}{2}}+\frac{7}{18}$. Tích phân $I={\int }_1^{4}f(x)dx=\frac{1186}{45}$.