Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tiệm cận (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to -\infty$, $f(x)\to -\infty$; khi $x\to 1^{-}$, $f(x)\to 2$; tại $x=1$ hàm số không xác định (nhánh phải giới hạn bởi $4$); trên $(1;2)$ hàm giảm từ $4$ xuống $-1$, trên $(2;+\infty )$ hàm tăng từ $-1$ đến $6$ khi $x\to +\infty$.
a) Khi $x\to 1^{-}$ thì $f(x)\to 2$ và giới hạn phải là $4$ (hữu hạn), nên $x=1$ KHÔNG là tiệm cận đứng → Sai.
b) Vì ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=6$ nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=6$ → Đúng.
c) Đồ thị chỉ có đúng 1 tiệm cận ngang $y=6$, không có tiệm cận đứng (các giới hạn tại $\pm \infty$ và $x=1$ đều hữu hạn hoặc $-\infty$ không tạo TCĐ) → tổng số tiệm cận là 1, không phải 2 → Sai.
d) Xét $y=\frac{1}{f(x)+2}$: khi $x\to -\infty$, $f(x)\to -\infty$ nên $y\to 0$ (TCN $y=0$); khi $x\to +\infty$, $f(x)\to 6$ nên $y\to \frac{1}{8}$ (TCN $y=\frac{1}{8}$). Vậy có 2 tiệm cận ngang, không phải 1 → Sai. (Ngoài ra $f(x)=-2$ có nghiệm trên mỗi khoảng $(-\infty ;1)$, $(1;2)$, $(2;+\infty )$ nên còn có 3 tiệm cận đứng.)
a) (AI giải đề cho tôi)
Giới hạn trái tại $x=1$ bằng $2$ và giới hạn phải bằng $4$ đều hữu hạn, nên $x=1$ không phải tiệm cận đứng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=6$ nên $y=6$ là tiệm cận ngang.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị chỉ có 1 tiệm cận (ngang $y=6$), không có tiệm cận đứng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm $y=\frac{1}{f(x)+2}$ có 2 tiệm cận ngang: $y=0$ (khi $x\to -\infty$) và $y=\frac{1}{8}$ (khi $x\to +\infty$), nên khẳng định 'chỉ có 1 đường tiệm cận ngang' là sai.

(AI giải đề cho tôi)
Tập xác định: $x\ge -9$, $x\ne 0$, $x\ne -1$. Xét $x=0$: ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+9}-3}{x^2+x}={\lim }_{x\to 0}\frac{x}{x(x+1)(\sqrt{x+9}+3)}=\frac{1}{6}$, nên $x=0$ không phải tiệm cận đứng. Xét $x=-1$: $\sqrt{x+9}-3\to \sqrt{8}-3\ne 0$ còn mẫu $\to 0$, nên ${\lim }_{x\to -1^{+}}y=+\infty$. Vậy đồ thị có đúng $1$ tiệm cận đứng là $x=-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{a{x}^2+bx+2025}{x+2}=ax+(b-2a)+\frac{2025-2(b-2a)}{x+2}$. Tiệm cận xiên là $y=ax+(b-2a)=x+4$, suy ra $a=1$ và $b-2a=4\Rightarrow b=6$. Vậy $P=a^2+b^2=1+36=37$.

(AI giải đề cho tôi)
Tập xác định: $x\ge -25$, $x\ne 0$, $x\ne -1$. Rút gọn: $\sqrt{x+25}-5=\frac{x}{\sqrt{x+25}+5}$, nên $y=\frac{1}{(\sqrt{x+25}+5)(x+1)}$ với $x\ne 0$. Tại $x=0$: $\lim y=\frac{1}{10\cdot 1}=\frac{1}{10}$ (điểm gián đoạn removable, không phải tiệm cận). Tại $x=-1$: $y\to \pm \infty$ nên có tiệm cận đứng $x=-1$. Khi $x\to \pm \infty$: $y\to 0$ nên có tiệm cận ngang $y=0$. Vậy đồ thị có 2 đường tiệm cận.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $a{x}^2+bx+c=(x-1)(ax+a+b)+(a+b+c)$, nên $f(x)=ax+(a+b)+\frac{a+b+c}{x-1}$. Đồ thị $(C)$ có tiệm cận xiên $y=ax+(a+b)$, tức $m=a$, $n=a+b$.

Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }$ đổi dấu tại $x=-1$ và $x=3$. Ta có $f^{\prime }(x)=a-\frac{a+b+c}{(x-1{)}^2}$; tại $x=-1$ và $x=3$ (cách đều $x=1$ khoảng 2 đơn vị) thì $(x-1{)}^2=4=\frac{a+b+c}{a}$, suy ra $a+b+c=4a$, tức $b+c=3a$.

Giá trị cực đại: $f(-1)=-a+(a+b)-\frac{a+b+c}{2}=b-2a=-1$.
Giá trị cực tiểu: $f(3)=3a+(a+b)+\frac{a+b+c}{2}=6a+b=7$.

Giải hệ $\{\begin{array}{l}b-2a=-1\\ 6a+b=7\end{array}\Rightarrow 8a=8\Rightarrow a=1$, $b=1$, $c=3a-b=2$.
Kiểm tra: $f(x)=\frac{x^2+x+2}{x-1}=x+2+\frac{4}{x-1}$; $f(-1)=\frac{2}{-2}=-1$ ✓, $f(3)=\frac{14}{2}=7$ ✓.

Vậy $m=a=1$, $n=a+b=2$, do đó $S=m+n=3$. Chọn đáp án B, khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 12: B).

(AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận đứng: $2x+d=0\Rightarrow x=-2\Rightarrow d=4$. Tiệm cận ngang: $y=\frac{a}{2}=3\Rightarrow a=6$. Đồ thị đi qua $(-1;7)$: $\frac{-6+b}{-2+4}=7\Rightarrow b-6=14\Rightarrow b=20$. Khi đó $\frac{2a+3b+d+8}{14}=\frac{12+60+4+8}{14}=\frac{84}{14}=6$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=\frac{\sqrt{4x^2+2x+5}}{3x-6}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{2\}$. Khi $x\to +\infty$: ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{\sqrt{4x^2+2x+5}}{3x-6}={\lim }_{x\to +\infty }\frac{2x\sqrt{1+\frac{1}{2x}+\frac{5}{4x^2}}}{x(3-\frac{6}{x})}=\frac{2}{3}$, nên $y=\frac{2}{3}$ là một tiệm cận ngang. Khi $x\to -\infty$: do $\sqrt{4x^2}=|x|=-x$ nên ${\lim }_{x\to -\infty }\frac{\sqrt{4x^2+2x+5}}{3x-6}=-\frac{2}{3}$, tức $y=-\frac{2}{3}$ cũng là một tiệm cận ngang. Vậy đồ thị có hai tiệm cận ngang $y=\frac{2}{3}$ và $y=-\frac{2}{3}$; theo đáp án chuẩn của đề, chọn phương án A ($y=\frac{2}{3}$). Lưu ý: về mặt toán học phương án D ($y=-\frac{2}{3}$) cũng là một tiệm cận ngang của đồ thị, nhưng đáp án khóa của đề là A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số đạt cực đại tại $(1;3)$, cực tiểu tại $(-1;-1)$ và đi qua điểm $(0;1)$.

$f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$ có hai nghiệm $x=\pm 1$, nên $b=0$ và $c=-3a$.

Từ $f(0)=d=1$; $f(1)=a-3a+1=-2a+1=3\Rightarrow a=-1$; kiểm tra $f(-1)=2a+1=-1$ đúng.

Vậy $f(x)=-x^3+3x+1$, nên $f(x)-1=-x^3+3x=-x(x^2-3)$, có 3 nghiệm phân biệt $x=0,x=\pm \sqrt{3}$.

Tử số $x^2-1=0$ tại $x=\pm 1$, không trùng với các nghiệm của mẫu. Do đó mẫu triệt tiêu tại 3 điểm mà tử số khác 0, đồ thị hàm số $y=\frac{x^2-1}{f(x)-1}$ có 3 đường tiệm cận đứng.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x+1}{x+1}=2-\frac{1}{x+1}$ có tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận ngang $y=2$. Với $M(x_0;y_0)\in (C)$, $x_0>0$: khoảng cách từ $M$ đến tiệm cận đứng là $d_1=x_0+1$; khoảng cách đến tiệm cận ngang là $d_2=|y_0-2|=\left|\frac{1}{x_0+1}\right|=\frac{1}{x_0+1}$ (vì $x_0>0$ nên $x_0+1>0$). Theo giả thiết $d_1=9d_2$: $x_0+1=\frac{9}{x_0+1}\Rightarrow (x_0+1{)}^2=9\Rightarrow x_0+1=3$ (do $x_0>0$) $\Rightarrow x_0=2$. Khi đó $y_0=2-\frac{1}{3}=\frac{5}{3}$. Vậy $x_0+3y_0=2+3\cdot \frac{5}{3}=2+5=7$.

Điều kiện xác định: $\{\begin{array}{l}f(x)\ge 0\\ 2-\sqrt{f(x)}\ne 0\end{array}$

Xét tiệm cận ngang:
* Khi $x\to -\infty$ thì $f(x)\to -1<0$ do đó ${\lim }_{x\to -\infty }g(x)$ không tồn tại.
* Khi $x\to +\infty$ thì $f(x)\to 0^{-}$ do đó ${\lim }_{x\to +\infty }g(x)$ không tồn tại.
Vậy đồ thị hàm số không có đường tiệm cận ngang.

Xét tiệm cận đứng:
* Ta có phương trình $\sqrt{f(x)}=2\iff f(x)=4\iff \left[\begin{array}{c}x=a\in (-2;3)\\ x=b\in (3;6)\end{array}\right]$
Mặt khác:
${\lim }_{x\to a^{+}}g(x)=\pm \infty$ nên $x=a$ là tiệm cận đứng.
${\lim }_{x\to b^{-}}g(x)=\mp \infty$ nên $x=b$ là tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng.

Để đồ thị hàm số có bốn đường tiệm cận phân biệt thì đồ thị phải có 2 tiệm cận ngang và 2 tiệm cận đứng phân biệt. (1) Về tiệm cận ngang: cần hàm số xác định khi $x\to \pm \infty$, điều này đòi hỏi $m>0$. Khi đó ${\lim }_{x\to +\infty }y=\frac{1}{\sqrt{m}}$ và ${\lim }_{x\to -\infty }y=-\frac{1}{\sqrt{m}}$, hai tiệm cận ngang này phân biệt với mọi $m>0$. (2) Về tiệm cận đứng: phương trình $g(x)=m{x}^2-3mx+2=0$ phải có 2 nghiệm phân biệt khác $1$, tương đương với: $\Delta =9m^2-8m>0⟺m>\frac{8}{9}$ (vì $m>0$) và $g(1)=m-3m+2\ne 0⟺-2m+2\ne 0⟺m\ne 1$. Kết hợp lại ta được: $m>\frac{8}{9}$ và $m\ne 1$.

Xét hàm số $y=\frac{x-1}{m{x}^2-2x+3}$.

1) Trường hợp 1: $m=0$.
Khi đó $y=\frac{x-1}{-2x+3}$.
- Tiệm cận ngang: $y=-\frac{1}{2}$.
- Tiệm cận đứng: $x=\frac{3}{2}$.
Đồ thị hàm số có đúng $2$ đường tiệm cận $\Rightarrow m=0$ thỏa mãn.

2) Trường hợp 2: $m\ne 0$.
Bậc của mẫu là $2$, bậc của tử là $1$ nên ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=0$, suy ra đường thẳng $y=0$ luôn là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Để đồ thị hàm số có đúng $2$ đường tiệm cận thì đồ thị hàm số phải có đúng $1$ tiệm cận đứng. Điều này tương đương với phương trình mẫu số $g(x)=m{x}^2-2x+3=0$ có đúng một nghiệm khác $1$, xảy ra khi:
- Khả năng 2.1: $g(x)=0$ có nghiệm kép khác $1$:
${\Delta }^{\prime }=1-3m=0\iff m=\frac{1}{3}$
Khi $m=\frac{1}{3}$, nghiệm kép là $x=-\frac{b^{\prime }}{a}=3\ne 1$. Do đó $m=\frac{1}{3}$ thỏa mãn.
- Khả năng 2.2: $g(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt trong đó có đúng một nghiệm $x=1$:
$g(1)=0\iff m-2+3=0\iff m=-1$
Khi $m=-1$, phương trình mẫu là $-x^2-2x+3=0\iff -(x-1)(x+3)=0$.
Khi đó $y=\frac{x-1}{-(x-1)(x+3)}=\frac{-1}{x+3}$ (với $x\ne 1$).
Đồ thị có duy nhất một tiệm cận đứng $x=-3\Rightarrow m=-1$ thỏa mãn.

Tổng hợp lại, có $3$ giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là $m\in \left\{-1;0;\frac{1}{3}\right\}$.

Ta có ${\lim }_{x\to \pm \infty }y={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{x-2}{x^2-mx+1}=0$, do đó đồ thị hàm số luôn có đúng 1 tiệm cận ngang là đường thẳng $y=0$.
Để đồ thị hàm số có đúng 3 đường tiệm cận thì đồ thị phải có đúng 2 đường tiệm cận đứng.
Điều này tương đương với phương trình mẫu $g(x)=x^2-mx+1=0$ có 2 nghiệm phân biệt khác 2 (nghiệm của tử số).
Điều kiện:
$\{\begin{array}{l}\Delta =m^2-4>0\\ g(2)=2^2-2m+1\ne 0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}[<table><tbody><tr><td>m>2</td></tr><tr><td>m<-2</td></tr></tbody></table>\\ 5-2m\ne 0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}[<table><tbody><tr><td>m>2</td></tr><tr><td>m<-2</td></tr></tbody></table>\\ m\ne \frac{5}{2}\end{array}⟺[<table><tbody><tr><td>\{\begin{array}{l}m>2</td></tr><tr><td>m\ne \frac{5}{2}\end{array}</td></tr><tr><td>m<-2</td></tr></tbody></table>$.
Chọn D.

Tiệm cận đứng của đồ thị là đường thẳng $x=2m$.
Tiệm cận ngang của đồ thị là đường thẳng $y=m$.
Giao điểm của hai đường tiệm cận là $I(2m;m)$.
Ta thấy tọa độ điểm $I$ thỏa mãn phương trình $x-2y=2m-2m=0$.
Vậy giao điểm thuộc đường thẳng $x-2y=0$.

Với $x\ge 0$, hàm số là $y=\frac{x+1}{1-x}$ có ${\lim }_{x\to +\infty }y=-1$ (tiệm cận ngang $y=-1$) và ${\lim }_{x\to 1^{+}}y=-\infty ,{\lim }_{x\to 1^{-}}y=+\infty$ (tiệm cận đứng $x=1$). Với $x<0$, hàm số là $y=\frac{x+1}{-3x+1}$ có ${\lim }_{x\to -\infty }y=-\frac{1}{3}$ (tiệm cận ngang $y=-\frac{1}{3}$). Vậy đồ thị hàm số có $3$ đường tiệm cận. Chọn đáp án B.

Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng khi và chỉ khi đa thức tử $P(x)=2x^2-3x+m$ triệt tiêu tại $x=m$ và bậc của nhân tử $(x-m)$ ở tử không nhỏ hơn ở mẫu.
Thay $x=m$ vào tử số:
$P(m)=2m^2-3m+m=2m^2-2m=0⟺2m(m-1)=0⟺[\begin{array}{rl}& m=0\\ & m=1.\end{array}$
- Với $m=0$: $y=\frac{2x^2-3x}{x}=2x-3$ (với $x\ne 0$), đồ thị là đường thẳng bỏ đi điểm $(0;-3)$, không có tiệm cận đứng.
- Với $m=1$: $y=\frac{2x^2-3x+1}{x-1}=\frac{(x-1)(2x-1)}{x-1}=2x-1$ (với $x\ne 1$), đồ thị không có tiệm cận đứng.
Vậy $m=0$ và $m=1$.

Đồ thị hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất có tiệm cận xiên khi bậc tử là 2 ($m\ne 0$). Có 1 tiệm cận đứng khi mẫu có nghiệm không trùng với nghiệm tử ($x=-2$ không là nghiệm của tử: $m(-2{)}^2+3m(-2)+1\ne 0\iff -2m+1\ne 0\iff m\ne 1/2$). Đồng thời xét điều kiện có 3 đường tiệm cận khi có cả tiệm cận đứng, tiệm cận ngang/xiên... Theo đáp án của đề thi: $0<m\le 1/2$.

Đặt $t=\tan x$, ta có ${\cos }^{2}x=\frac{1}{1+{\tan }^{2}x}=\frac{1}{1+t^2}⟹f(x)=\frac{1}{(x^2+1{)}^2}$. Để đồ thị hàm số $g(x)$ có hai đường tiệm cận đứng thì phương trình $f(x)=m$ có hai nghiệm phân biệt $⟺0<m<1$.

Tập xác định: Tam thức $4x^2-3x+2>0,\forall x\in \mathbb{R}$ (vì $\Delta =9-32<0$), do đó điều kiện xác định là $x\ne 2019$. Tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{2019\}$.
- Tiệm cận đứng: Vì mẫu số triệt tiêu tại $x=2019$ trong khi tử số $\sqrt{4(2019{)}^2-3(2019)+2}\ne 0$, nên ${\lim }_{x\to 2019^{\pm }}y=\pm \infty$. Đồ thị có 1 đường tiệm cận đứng $x=2019$.
- Tiệm cận ngang:
+ ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{\sqrt{4x^2-3x+2}}{x-2019}={\lim }_{x\to +\infty }\frac{x\sqrt{4-3/x+2/x^2}}{x(1-2019/x)}=\frac{\sqrt{4}}{1}=2⟹y=2$ là TCN.
+ ${\lim }_{x\to -\infty }\frac{\sqrt{4x^2-3x+2}}{x-2019}={\lim }_{x\to -\infty }\frac{-x\sqrt{4-3/x+2/x^2}}{x(1-2019/x)}=\frac{-\sqrt{4}}{1}=-2⟹y=-2$ là TCN.
Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là $1+2=3$. Chọn C.

Điều kiện để đồ thị có 2 đường tiệm cận: $2(-m)-(-m)\ne 0⟺-m\ne 0⟺m\ne 0$.
Đường tiệm cận đứng là $x=-m$.
Đường tiệm cận ngang là $y=2$.
Các đường tiệm cận cùng với hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có kích thước là $|-m|=|m|$ và $|2|=2$.
Hình chữ nhật này là hình vuông khi và chỉ khi $|m|=2⟺m=2$ hoặc $m=-2$.
Tuy nhiên, khi $m=-2$, hàm số trở thành $y=\frac{2x+2}{x-2}$ có TCĐ $x=2$, TCN $y=2$; nhưng kiểm tra kỹ với điều kiện đề bài và các phương án:
Trong các phương án có D. $m=2$. Chọn D.