Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tiệm cận (Toán học Lớp 12)

Ta có ${\lim }_{x\to 2^{+}}\frac{x+1}{x-2}=+\infty$ và ${\lim }_{x\to 2^{-}}\frac{x+1}{x-2}=-\infty$. Do đó đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng $x=2$.

Mẫu số $x^2-x-2=(x+1)(x-2)=0\iff x=-1$ hoặc $x=2$. Tử số $x^2-x+1>0,\forall x$. Do đó đồ thị có 2 tiệm cận đứng là $x=-1$ và $x=2$. Mặt khác ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=1$ nên đồ thị có 1 tiệm cận ngang là $y=1$. Tổng số đường tiệm cận là $2+1=3$.

Chọn A

x+b
Đồ thị hàm số cắt trục Ox $\Rightarrow$ 0 = $\iff$ x = -b .
cx + d
Quan sát đồ thị ta thấy đồ thị hám số cắ trục hoành tại x = -1 $\Rightarrow$ -b = -1 $\iff$ b = 1 .
1
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = = 1 $\iff$ c = 1 .
c
d
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là: x = - = 1 $\iff$ -d = c $\iff$ -d = 1 $\iff$ d = -1 .
c
Vậy: T = 2b + 3c + 4d = 2.1 + 3.1 + 4. ( -1) = 1 .

Chọn A
2x -1
Đồ thị hàm số y = có đường tiệm cận đứng là x = 1 .
x -1

Ta có ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{x-1}{2x+1}=\frac{1}{2}$ nên đường thẳng $y=\frac{1}{2}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vì ${\lim }_{x\to (-1{)}^{+}}\frac{-3x+2}{x+1}=+\infty$ nên đường thẳng $x=-1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Chọn D.

Đồ thị hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ có tiệm cận đứng là $x=-\frac{d}{c}$ và tiệm cận ngang là $y=\frac{a}{c}$.
Với hàm số $y=\frac{2x+1}{x-1}$:
- Tiệm cận đứng: $x=1$.
- Tiệm cận ngang: $y=2$.
Tâm đối xứng của đồ thị là giao điểm của hai đường tiệm cận, tức điểm $I(1;2)$.

Chọn đáp án C.

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số:
- ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=-\infty$ (hoặc ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=+\infty$) nên tiệm cận đứng là $x=1$.
- ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)=2$ nên tiệm cận ngang là $y=2$.

Xét đồ thị hàm số $y=g(x)=\frac{1}{f(x)-2018}$:
1. Tiệm cận ngang ($l$):
Khi $x\to -\infty$, $f(x)\to +\infty ⟹g(x)\to 0$.
Khi $x\to +\infty$, $f(x)\to +\infty ⟹g(x)\to 0$.
Vậy đồ thị có $1$ đường tiệm cận ngang là $y=0$, do đó $l=1$.
2. Tiệm cận đứng ($k$):
Số đường tiệm cận đứng là số nghiệm của phương trình $f(x)-2018=0⟺f(x)=2018$.
Dựa vào bảng biến thiên của $f(x)$:
- Trên $(-\infty ;-2)$: $f(x)$ giảm từ $+\infty$ về $-\infty$, cắt $y=2018$ tại $1$ điểm.
- Trên $(-2;0)$: $f(x)$ tăng từ $-\infty$ lên $0$, không cắt $y=2018$.
- Trên $(0;2)$: $f(x)$ tăng từ $0$ lên $+\infty$, cắt $y=2018$ tại $1$ điểm.
- Trên $(2;+\infty )$: đồ thị có $2$ nhánh cắt đường $y=2018$ thêm $2$ điểm.
Tổng số nghiệm của phương trình $f(x)=2018$ là $4$, suy ra có $k=4$ đường tiệm cận đứng.
Vậy $k+l=4+1=5$.
Chọn đáp án C.

Dựa vào đồ thị hàm số, đường tiệm cận đứng là đường thẳng vuông góc với trục hoành tại $x=1$, và đường tiệm cận ngang là đường thẳng song song với trục hoành cắt trục tung tại $y=1$. Vậy tiệm cận đứng là $x=1$, tiệm cận ngang là $y=1$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 170, trang 7), chọn A.

Ta có ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=1$ nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y=1$.

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là nghiệm của mẫu số: $2x-1=0\iff x=\frac{1}{2}$. Theo đáp án chính thức (Mã đề 731, trang 13), chọn D.

Ta có ${\lim }_{x\to \pm \infty }y={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{3x-2}{-x+4}=-3$. Do đó đường thẳng $y=-3$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Theo đáp án chính thức (Mã đề 731, trang 13), chọn A.

Vì ${\lim }_{x\to (-2{)}^{+}}\frac{3x-2}{x+2}=-\infty$ và ${\lim }_{x\to (-2{)}^{-}}\frac{3x-2}{x+2}=+\infty$ nên đường thẳng $x=-2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Chọn C.

Chọn C.
Nhìn vào bảng biến thiên ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=-5$ và $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-5$.
Suy ra đồ thị hàm số có duy nhất một đường tiệm cận ngang $y=-5$.

Chọn B.
Ta có ${\lim }_{x\to 1^{+}}y=-\infty$; ${\lim }_{x\to 1^{-}}y=+\infty$. Do đó đồ thị hàm số đã cho có đường tiệm cận đứng $x=1$.

Chọn D.
Tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{3\}$.
Vì $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{3x-1}{x-3}=+\infty$ nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là $x=3$.

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{2x-1}{x+2}$ là đường thẳng $x=-2$.

Ta có ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{3-2x}{x-2}=-2$, nên tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng $y=-2$.

Đồ thị hàm số $y=\frac{3x+2}{-x+2}$ có tiệm cận đứng $x=2$ và tiệm cận ngang $y=-3$ nên tâm đối xứng có tọa độ $(2;-3)$.