Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tiệm cận (Toán học Lớp 12)

Dựa vào bảng biến thiên:
- ${\lim }_{x\to -\infty }y=-1\Rightarrow y=-1$ là một đường tiệm cận ngang.
- ${\lim }_{x\to +\infty }y=1\Rightarrow y=1$ là một đường tiệm cận ngang.
- ${\lim }_{x\to 2^{-}}y=+\infty \Rightarrow x=2$ là một đường tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị hàm số có tất cả $3$ đường tiệm cận.

Để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng nằm bên trái trục tung thì tiệm cận đứng $x=m$ phải thỏa mãn: $m<0$ và $2m+4\ne 0\iff m\ne -2$.
Do $m\in [-2023;2023]$ và $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-2023;-2022;\dots ;-1\}\setminus \{-2\}$.
Số giá trị của $m$ là $2023-1=2022$ giá trị.

Ta có ${\lim }_{x\to 3^{+}}\frac{2x-1}{x-3}=+\infty$ nên đường thẳng $x=3$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Từ bảng biến thiên, ta có ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=-1$ và ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=3$. Do đó đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang là $y=-1$ và $y=3$. Chọn C.

**Chọn D**
x2
Xét hàm số y = ta có tập xác định là ℝ . Suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
x2 + 1
Xét hàm số y = x2 -1 ta có tập xác định là  -1;1 . Suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
x 2 - 3x + 2
Xét hàm số y = ta có tập xác định là ℝ \ 1 .
x -1
x 2 - 3x + 2 x 2 - 3x + 2
Mặt khác: lim- y = lim- = -3 và lim+ y = lim+ = -3 . Suy ra đồ thị hàm số không có
x1 x1 x -1 x1 x1 x -1
tiệm cận đứng.
x
Xét hàm số y = ta có tập xác định là ℝ \ -1 .
x +1
x x
Mặt khác: lim- y = lim- = +∞ và lim+ y = lim+ = -∞ . Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là
x-1 x-1 x + 1 x-1 x-1 x + 1

x = -1 .

Ta có ${\lim }_{x\to \pm \infty }y={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{3x+1}{x-1}=3$, do đó đường tiệm cận ngang là $y=3$. Chọn B.

Ta có phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ ($c\ne 0;ad-bc\ne 0$) là $y=\frac{a}{c}$.

Do vậy, phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{3-5x}{4x+7}$ là $y=-\frac{5}{4}$.

**Chọn C**

(Theo bảng đáp án chính thức của Sở GD&ĐT Bắc Ninh - Mã đề 101, trang 13-14; đề thi gốc không kèm lời giải tự luận chi tiết).

Ta có ${\lim }_{x\to (-1{)}^{+}}\frac{2x-4}{x+1}=-\infty$ và ${\lim }_{x\to (-1{)}^{-}}\frac{2x-4}{x+1}=+\infty$.
Do đó đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x=-1$.

**Chọn D**
x+2 1 x+2 1 1
Ta =
có lim y lim
= = , lim y lim
= . ⇒ y = là tiệm cận ngang.
x →+∞ x →+∞ 2 x − 1 2 x →+∞ x →−∞ 2x −1 2 2

Ta có ${\lim }_{x\to 2^{+}}\frac{-x+1}{x-2}=-\infty$ và ${\lim }_{x\to 2^{-}}\frac{-x+1}{x-2}=+\infty$, nên đường thẳng $x=2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Chọn C.

Ta có ${\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{2x+1}{x-1}=+\infty$ nên đường thẳng $x=1$ là tiệm cận đứng.

Ta có ${\lim }_{x\to (-3{)}^{+}}y=-\infty$, ${\lim }_{x\to (-3{)}^{-}}y=+\infty$ nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x=-3$.

Đồ thị hàm số $y=\frac{3x+1}{2x-1}$ có đường tiệm cận đứng là $x=\frac{1}{2}$.

Dựa vào bảng biến thiên, ta có ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=2$ nên đường thẳng $y=2$ là một đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=f(x)$. Khi $x\to +\infty$ thì ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty$ nên không có tiệm cận ngang ở phía bên phải. Vậy đồ thị hàm số có đúng một đường tiệm cận ngang.

Ta viết lại $y=x-2+\frac{3}{x+1}$ với $x\ne -1$:
- a) Đạo hàm $y^{\prime }=1-\frac{3}{(x+1{)}^2}=0\iff (x+1{)}^2=3\iff x=-1\pm \sqrt{3}$. Đạo hàm đổi dấu qua hai nghiệm này nên hàm số có cực đại và cực tiểu. Mệnh đề Đúng.
- b) Tiệm cận đứng là $x=-1$, tiệm cận xiên là $y=x-2$. Giao điểm hai đường tiệm cận là $I(-1;-3)\ne (-1;3)$. Mệnh đề Sai.
- c) Tiệm cận xiên $y=x-2$ cắt trục hoành tại $A(2;0)$ và cắt trục tung tại $B(0;-2)$. Diện tích tam giác vuông $OAB$ là $S=\frac{1}{2}OA\cdot OB=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2=2$. Mệnh đề Đúng.
- d) Lấy điểm $M$ thuộc nhánh phải: $M\left(-1+a;-3+a+\frac{3}{a}\right)$ với $a>0$. Khoảng cách $I{M}^2=a^2+{\left(a+\frac{3}{a}\right)}^2=2a^2+\frac{9}{a^2}+6\ge 2\sqrt{2a^2\cdot \frac{9}{a^2}}+6=6\sqrt{2}+6$. Diện tích hình vuông $S=2I{M}^2\ge 12(\sqrt{2}+1)\ne 12(\sqrt{2}-1)$. Mệnh đề Sai.

**Chọn C**

(Theo bảng đáp án chính thức của Trường THPT Bạch Đằng - Mã đề 101, trang 7-8; đề thi gốc không kèm lời giải tự luận chi tiết).

Chọn D.

Ta có ${\lim }_{x\to (1/3{)}^{+}}\frac{2x+1}{3x-1}=+\infty$ nên đường thẳng $x=\frac{1}{3}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

**Chọn A**

(Theo bảng đáp án chính thức của Sở GD&ĐT Phú Yên - Mã đề 132, trang 8; đề thi gốc không kèm lời giải tự luận chi tiết).

**Chọn D**

(Theo bảng đáp án chính thức của Sở GD&ĐT Phú Yên - Mã đề 132, trang 8; đề thi gốc không kèm lời giải tự luận chi tiết).