Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tương giao và tham số (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình giao điểm: $x^3-3x^2+3=x\iff x^3-3x^2-x+3=0\iff x^2(x-3)-(x-3)=0\iff (x-3)(x^2-1)=0\iff x=3,x=\pm 1$. Vậy có 3 giao điểm phân biệt, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ Câu 10 (trang 54), đồ thị hàm bậc ba có $a<0$ (nhánh trái đi lên, nhánh phải đi xuống), điểm cực tiểu tại $(-1;-1)$ và điểm cực đại tại $(1;3)$. Xét phương trình $f(x)=3$, tức giao điểm của đồ thị với đường thẳng $y=3$. Vì $3$ là giá trị cực đại của hàm số, đường thẳng $y=3$ tiếp xúc với đồ thị tại đúng điểm cực đại $(1;3)$, tương ứng nghiệm kép $x=1$; ngoài đó không có điểm nào khác trên đồ thị có tung độ bằng $3$ (vì $3$ là giá trị lớn nhất của hàm số). Vậy phương trình $f(x)=3$ có đúng $1$ nghiệm thực phân biệt. Đáp án C, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $2f(x)-6=0$ tương đương $f(x)=3$. Từ đồ thị: hàm số đạt cực đại $f(1)=5$ và cực tiểu $f(3)=1$, nhánh trái đi từ dưới lên qua giá trị 3 (một nghiệm trước $x=1$); trên khoảng $(1;3)$ hàm giảm từ 5 xuống 1 nên cắt đường thẳng $y=3$ đúng một lần; trên khoảng sau $x=3$ hàm tăng từ 1 lên $+\infty$ nên lại cắt $y=3$ đúng một lần. Vậy phương trình có 3 nghiệm thực, khớp với đáp án nguồn (3).

(AI giải đề cho tôi)
Bài 4. Xác định giao điểm bằng cách giải phương trình hoành độ giao điểm.

a) $y=-x+3$ (đường thẳng) và $y=-x^2-4x+1$ (parabol đỉnh $I(-2;5)$, trục đối xứng $x=-2$).
Phương trình hoành độ giao điểm:
$$-x+3=-x^2-4x+1\iff x^2+3x+2=0\iff (x+1)(x+2)=0\iff x=-1\text{ hoặc }x=-2.$$
Với $x=-1$: $y=-(-1)+3=4$; với $x=-2$: $y=-(-2)+3=5$.
Vậy giao điểm là $(-1;4)$ và $(-2;5)$.

b) $y=2x-5$ (đường thẳng) và $y=x^2-4x-1$ (parabol đỉnh $I(2;-5)$, trục đối xứng $x=2$).
Phương trình hoành độ giao điểm:
$$2x-5=x^2-4x-1\iff x^2-6x+4=0.$$
$\Delta =36-16=20>0\Rightarrow x=\frac{6\pm \sqrt{20}}{2}=3\pm \sqrt{5}$.
Với $x=3+\sqrt{5}$: $y=2(3+\sqrt{5})-5=1+2\sqrt{5}$; với $x=3-\sqrt{5}$: $y=1-2\sqrt{5}$.
Vậy giao điểm là $(3-\sqrt{5};1-2\sqrt{5})$ và $(3+\sqrt{5};1+2\sqrt{5})$.

Mô tả đồ thị: đường thẳng $y=-x+3$ cắt các trục tại $(0;3)$ và $(3;0)$; parabol $y=-x^2-4x+1$ có đỉnh $(-2;5)$, cắt trục $Oy$ tại $(0;1)$. Đường thẳng $y=2x-5$ cắt các trục tại $(0;-5)$ và $\left(\frac{5}{2};0\right)$; parabol $y=x^2-4x-1$ có đỉnh $(2;-5)$, cắt trục $Oy$ tại $(0;-1)$. Vẽ trên cùng hệ trục, hai đường thẳng cắt parabol tương ứng tại các giao điểm đã tính ở trên.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình hoành độ giao điểm: $x^2-4x=-x-2\iff x^2-3x+2=0\iff (x-1)(x-2)=0\iff x=1$ hoặc $x=2$. Với $x=1$: $y=-1-2=-3$; với $x=2$: $y=-2-2=-4$. Vậy giao điểm là $M(1;-3)$, $N(2;-4)$, tương ứng đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét phương trình hoành độ giao điểm: $x^4+3x^2+2=0$. Đặt $t=x^2\ge 0$, phương trình trở thành $t^2+3t+2=0\iff (t+1)(t+2)=0\iff t=-1$ hoặc $t=-2$. Cả hai nghiệm đều âm, không thỏa $t\ge 0$, nên phương trình vô nghiệm thực. Ngoài ra $y=x^4+3x^2+2>0$ với mọi $x$ thực. Vậy đồ thị hàm số không cắt trục Ox, số giao điểm bằng 0.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm bậc ba có cực đại bằng $2$ và cực tiểu bằng $-2$. Đường thẳng $y=1$ nằm giữa $-2$ và $2$ (với $-2<1<2$), nên nó cắt đồ thị tại đúng $3$ điểm phân biệt. Vậy phương trình $f(x)=1$ có $3$ nghiệm thực.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình hoành độ giao điểm: $\frac{x^2+2x-1}{x-1}=2x-7$ với $x\ne 1$. Suy ra $x^2+2x-1=(2x-7)(x-1)=2x^2-9x+7$, tức $x^2-11x+8=0$. Vì $\Delta =121-32=89>0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt (đều khác 1), tổng hoành độ hai giao điểm theo định lý Vi-ét là $11$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ ở Câu 56, đồ thị hàm số $y=f(x)$ có điểm cực đại tại $y=3$ và điểm cực tiểu tại $y=2$. Đường thẳng $y=\frac{5}{2}=2,5$ nằm giữa $2$ và $3$, nên nó cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt: một điểm trên nhánh tăng bên trái, một điểm trên nhánh giảm giữa hai cực trị, và một điểm trên nhánh tăng bên phải. Vậy số giao điểm là 3, đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $f(x)=2m+1$ có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $-1<2m+1<3$ (giá trị nằm giữa cực tiểu $-1$ và cực đại $3$, khác hai giá trị cực trị). Suy ra $-2<2m<2$, tức $-1<m<1$. Giá trị nguyên duy nhất là $m=0$. Vậy có 1 giá trị của $m$, chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình $2x+4=\frac{x-3}{x-1}$ với điều kiện $x\ne 1$. Nhân hai vế: $(2x+4)(x-1)=x-3\iff 2x^2+2x-4=x-3\iff 2x^2+x-1=0\iff (2x-1)(x+1)=0$, nên $x=\frac{1}{2}$ hoặc $x=-1$. Cả hai nghiệm đều khác $1$ nên đều thỏa mãn. Vậy đồ thị có 2 giao điểm, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Đây là hệ quả của định lý giá trị trung gian (định lý Bolzano): nếu $f(x)$ liên tục trên $[a;b]$ và $f(a)\cdot f(b)<0$ thì tồn tại $c\in (a;b)$ sao cho $f(c)=0$, tức phương trình $f(x)=0$ có ít nhất một nghiệm trong $(a;b)$. Do đó B đúng. A sai vì $f(a)f(b)>0$ vẫn có thể có nghiệm chẵn số lần trong $(a;b)$ (ví dụ $f(x)=x^2-1$ trên $[-2;2]$ có $f(-2)f(2)=9>0$ nhưng có nghiệm $x=\pm 1$). C sai vì ví dụ $f(x)=x^2+1$ trên $[-1;1]$ có $f(-1)f(1)=4>0$ nhưng vô nghiệm. D sai vì điều kiện $f(a)f(b)<0$ chỉ là điều kiện đủ, không phải điều kiện cần (ví dụ $f(x)=x^2-1$ trên $[-2;2]$ có nghiệm nhưng $f(-2)f(2)>0$).

Phương trình $f(x)+m=0\iff f(x)=-m$.
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f(x)$ và đường thẳng nằm ngang $y=-m$.
Quan sát đồ thị hàm số $y=f(x)$, ta thấy hàm số có giá trị cực tiểu là $-1$ và giá trị cực đại là $3$.
Để đường thẳng $y=-m$ cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt thì:
$-1<-m<3\iff -3<m<1$.

Phương trình hoành độ giao điểm của $(C)$ và trục hoành:
$x^4+4x^2=0⟺x^2(x^2+4)=0⟺x=0$ (vì $x^2+4>0$ với mọi $x$).
Phương trình có duy nhất 1 nghiệm $x=0$, do đó đồ thị $(C)$ cắt trục hoành tại đúng 1 điểm. Chọn D.

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy giá trị cực tiểu của hàm số là $y_{CT}=-1$. Đường thẳng $y=-2018$ nằm phía dưới điểm cực tiểu của đồ thị hàm số (vì $-2018<-1$), do đó đường thẳng $y=-2018$ cắt hai nhánh ngoài cùng (từ $-\infty$ lên 3) của đồ thị hàm số tại đúng 2 điểm phân biệt. Chọn C.

Phương trình $2f(x)-5=0\iff f(x)=\frac{5}{2}=2,5$.
Dựa vào bảng biến thiên:
- Trên khoảng $(-\infty ;-1)$, $f(x)$ tăng từ $-\infty$ đến 5, chứa giá trị $2,5$ nên phương trình có 1 nghiệm.
- Trên khoảng $(-1;3)$, $f(x)$ giảm từ 5 xuống 1, chứa giá trị $2,5$ nên phương trình có 1 nghiệm.
- Trên khoảng $(3;+\infty )$, $f(x)$ tăng từ 1 đến $+\infty$, chứa giá trị $2,5$ nên phương trình có 1 nghiệm.
Vậy phương trình có tất cả 3 nghiệm thực phân biệt.

Phương trình $2f(x)+3=0\iff f(x)=-\frac{3}{2}$.
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f(x)$ và đường thẳng $d:y=-\frac{3}{2}$.
Từ đồ thị, hai điểm cực tiểu có tung độ bằng $-2$ và điểm cực đại có tung độ bằng $-1$. Vì $-2<-\frac{3}{2}<-1$, đường thẳng $d$ cắt đồ thị tại 4 điểm phân biệt.
Vậy phương trình có 4 nghiệm phân biệt.

Ta có: $|f(x)-1|=2\iff [<table><tbody><tr><td>f(x)=3</td></tr><tr><td>f(x)=-1</td></tr></tbody></table>$.
Dựa vào bảng biến thiên trên đoạn $[0;5]$:
- Đường thẳng $y=3$ cắt đồ thị tại đúng 1 điểm (tại $x=1$).
- Đường thẳng $y=-1$ cắt đồ thị tại đúng 2 điểm phân biệt.
Các nghiệm này đôi một phân biệt. Do đó phương trình có tất cả 3 nghiệm trên đoạn $[0;5]$.

Giải hệ phương trình:
$\{\begin{array}{l}x+2y=3m\\ 2x-y=m\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x+2(2x-m)=3m\\ y=2x-m\end{array}\iff \{\begin{array}{l}5x=5m\\ y=2x-m\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{x}_0=m\\ y_0=m\end{array}$.
Điểm $M(m;m)\in (P)\iff m=m^2-2m\iff m^2-3m=0\iff [<table><tbody><tr><td>m=0</td></tr><tr><td>m=3</td></tr></tbody></table>$.
Tổng các giá trị của $m$ là $0+3=3$.

Phương trình $|f(x)|=1\iff f(x)=1$ hoặc $f(x)=-1$.
Từ đồ thị hàm số, đỉnh của parabol có tung độ bằng $1$, nên đường thẳng $y=1$ tiếp xúc với đồ thị tại đỉnh (cho 1 nghiệm).
Đường thẳng $y=-1$ cắt hai nhánh của parabol tại hai điểm phân biệt (cho 2 nghiệm).
Các nghiệm này đôi một phân biệt, do đó phương trình có tất cả $1+2=3$ nghiệm phân biệt.