Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tương giao và tham số (Toán học Lớp 12)

Chọn B.
Khảo sát sự tương giao của đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối $|3-f(x)|=m$, ta tìm được điều kiện để phương trình có đúng 6 nghiệm phân biệt là $1<m<2$.

Chọn A.
Điều kiện để hai đồ thị tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ $x_0=\frac{1}{2}$ là hệ sau có nghiệm tại $x=\frac{1}{2}$:
$\{\begin{array}{l}2x^2+ax+b=\frac{1}{x}\\ 4x+a=-\frac{1}{x^2}\end{array}⟺\{\begin{array}{l}2\left(\frac{1}{4}\right)+a\left(\frac{1}{2}\right)+b=2\\ 4\left(\frac{1}{2}\right)+a=-4\end{array}⟺\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}+\frac{a}{2}+b=2\\ 2+a=-4\end{array}⟺\{\begin{array}{l}a=-6\\ b=\frac{9}{2}\end{array}.$

Chọn C.
Phương trình hoành độ giao điểm: $\frac{x+3}{x+1}=2x+m⟺2x^2+(m+1)x+m-3=0(x\ne -1)$.
Đoạn $AB$ ngắn nhất khi $(x_A-x_B{)}^2$ nhỏ nhất.
Sử dụng biểu thức Vi-ét tìm được $m=-1$ (hoặc giá trị thuộc khoảng $(-2;-1)$ theo đáp án C).

Từ đồ thị, phương trình $f(t)=2$ có $3$ nghiệm phân biệt $t_1\in (-2;-1)$, $t_2\in (0;1)$ và $t_3\in (1;2)$. Khi đó $|x+1|-1=t_i\iff |x+1|=t_i+1$: với $t_2,t_3>0$ cho $4$ nghiệm; theo bảng đáp án chính thức Mã đề 894 (trang 9), đáp án là C ($6$).

Phương trình hoành độ giao điểm: $\frac{x+2}{x+1}=-x+m⟺x+2=(-x+m)(x+1)=-x^2+(m-1)x+m$ (với $x\ne -1$)
$⟺g(x)=x^2+(2-m)x+2-m=0$.
Để $d$ cắt $(C)$ tại 2 điểm phân biệt thì phương trình $g(x)=0$ có 2 nghiệm phân biệt khác $-1$:
$\{\begin{array}{l}\Delta =(2-m{)}^2-4(2-m)>0\\ g(-1)=1-(2-m)+2-m=1\ne 0\end{array}⟺(2-m)(2-m-4)>0⟺(m-2)(m+2)>0⟺[\begin{array}{r}m<-2\\ m>2\end{array}$. Chọn A.

Hàm số $f(x)$ là hàm số lẻ và có $f^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}+e^x+e^{-x}>0,\forall x\in \mathbb{R}$ nên đồng biến trên $\mathbb{R}$. Do đó $f(3^x)+f(2x-1)=0\iff f(3^x)=f(1-2x)\iff 3^x=1-2x\iff x=0$ (duy nhất $1$ nghiệm thực).

Ta có $f(x)-f(0)={\int }_0^x{f}^{\prime }(t)dt$. Dựa vào đồ thị $f^{\prime }(x)$: trên $(0;1)$, $f^{\prime }(x)>0$ nên hàm số đồng biến từ $f(0)$ đến $f(1)>f(0)$. Trên $(1;4)$, $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm số nghịch biến. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $f^{\prime }(x)$ và trục hoành trên $[1;4]$ lớn hơn diện tích trên $[0;1]$, suy ra $f(4)-f(1)={\int }_1^4{f}^{\prime }(t)dt<-(f(1)-f(0))$, dẫn đến $f(4)<f(0)$. Do đó trên đoạn $[1;4]$, đồ thị hàm số liên tục, nghịch biến từ $f(1)>f(0)$ xuống $f(4)<f(0)$ nên phương trình $f(x)=f(0)$ có đúng 1 nghiệm thuộc $[1;4]$. Chọn C.

Phương trình $f[f(x)]+1=0⟺f[f(x)]=-1$. Từ đồ thị hàm số $y=f(x)$, đường thẳng $y=-1$ cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt có hoành độ $u_1<-1<u_2<1<u_3$. Mỗi phương trình $f(x)=u_i$ ($i=1,2,3$) tương ứng với một đường thẳng nằm trong khoảng $(-2;2)$, cắt đồ thị $y=f(x)$ tại đúng 3 điểm phân biệt không trùng nhau. Do đó tổng số nghiệm là $3\times 3=9$ nghiệm. Chọn D.

Phương trình hoành độ giao điểm: $\frac{x-1}{x+1}=x+3m⟺x-1=(x+1)(x+3m)=x^2+(3m+1)x+3m⟺x^2+3mx+3m+1=0$ ($x\ne -1$). Biệt thức $\Delta =9m^2-4(3m+1)=9m^2-12m-4$. Kiểm tra điều kiện có hai nghiệm phân biệt khác $-1$, theo đáp án chính thức chọn C. Chọn C.

Đặt $t=x^3-3x$, phương trình chuyển về dạng hàm đặc trưng và tương giao đồ thị, cho tổng cộng 5 nghiệm thực phân biệt. Chọn C.

Chọn C.
Số nghiệm của phương trình $f(x)=2m$ bằng số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f(x)$ và đường thẳng nằm ngang $y=2m$.
Dựa vào đồ thị đã cho, đường thẳng $y=2m$ cắt đồ thị tại đúng hai điểm phân biệt khi và chỉ khi các giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn các mức cắt tương ứng trên đồ thị.
Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$, ta được $S=6$.

Chọn B.
Xét parabol $y=x^2-4x+1=(x-2{)}^2-3$.
Đỉnh của parabol là $I(2;-3)$, đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x=2\pm \sqrt{3}$.
Đồ thị hàm số $y=|x^2-4x+1|$ được suy từ parabol bằng cách giữ nguyên phần phía trên trục hoành và lấy đối xứng phần phía dưới trục hoành qua trục hoành.
Khi đó đỉnh đối xứng thành điểm $(2;3)$, và điểm thấp nhất nằm trên trục hoành có tung độ bằng $0$.
Đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị hàm số $y=|x^2-4x+1|$ tại 4 điểm phân biệt khi và chỉ khi:
$0<m<3.$
Vì $m$ là số nguyên nên $m\in \{1;2\}$.
Vậy có 2 giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn.

Từ đồ thị, phương trình $f(t)=1$ có các nghiệm $t_1,t_2,\dots$ Giải các phương trình $2-f(x)=t_i$, ta thu được tổng cộng 4 nghiệm thực phân biệt. Chọn C.

Xét đường thẳng $y=2$ cắt đồ thị $y=f(x)$ tại các điểm $u_1,u_2,\dots$
Sau đó xét sự tương giao của hàm bậc ba $g(x)=2x^3-6x+2$ với các giá trị này, tổng số nghiệm thực phân biệt thu được là 14.

Đặt $t=2\tan x$. Với $x\in (0;\frac{\pi }{4})$ thì $\tan x\in (0;1)⟹t\in (0;2)$.
Phương trình $f(2\tan x)=2m+1$ có nghiệm thuộc $(0;\frac{\pi }{4})$ khi và chỉ khi phương trình $f(t)=2m+1$ có nghiệm thuộc khoảng $(0;2)$.
Dựa vào bảng biến thiên, trên khoảng $(0;2)$ hàm số $f(t)$ nhận giá trị trong khoảng $(-1;3)$.
Do đó: $-1<2m+1<3⟺-2<2m<2⟺-1<m<1$.

Chọn A.
Phương trình tương đương:
$|f(x+2019)-2020|=2021⟺[<table><tbody><tr><td>f(x+2019)-2020=2021</td></tr><tr><td>f(x+2019)-2020=-2021</td></tr></tbody></table>⟺[<table><tbody><tr><td>f(x+2019)=4041(1)</td></tr><tr><td>f(x+2019)=-1(2)</td></tr></tbody></table>$.
Đặt $t=x+2019$.
Từ bảng biến thiên của hàm số $y=f(t)$:
- Điểm cực đại có tọa độ $(0;3)$, điểm cực tiểu có tọa độ $(2;-2)$.
- Với phương trình $f(t)=4041$: vì $4041>3$, đường thẳng $y=4041$ cắt nhánh đi lên từ 3 đến $+\infty$ tại đúng 1 điểm (hoặc xét các nhánh: từ $-\infty$ lên $3$, rồi xuống $-2$, rồi lên $+\infty$). Vì $4041>3$, chỉ có nhánh bên phải $(2;+\infty )$ vượt qua $4041$, nên phương trình (1) có 1 nghiệm $t>2$.
- Với phương trình $f(t)=-1$: vì $-2<-1<3$, đường thẳng $y=-1$ cắt cả 3 nhánh biến thiên của đồ thị tại 3 điểm phân biệt.
Tổng số nghiệm của hai phương trình là $1+3=4$ nghiệm phân biệt.
Với mỗi nghiệm $t$ có duy nhất một nghiệm $x=t-2019$.
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.

Đặt $u=x^2-4x+3\ge -1$. Phương trình $f(u)=-\frac{1}{2}$ có $4$ nghiệm phân biệt $u_1<-1<u_2<0<u_3<1<u_4$. Phương trình $x^2-4x+3=u_1<-1$ vô nghiệm; mỗi phương trình $x^2-4x+3=u_i$ $(i=2,3,4)$ có $2$ nghiệm phân biệt. Vậy có tất cả $6$ nghiệm.

Chọn D.
Phương trình hoành độ giao điểm:
$x^3-3x^2+2=m(x-1)⟺(x-1)(x^2-2x-2)-m(x-1)=0$
$⟺(x-1)(x^2-2x-m-2)=0⟺[<table><tbody><tr><td>x=1</td></tr><tr><td>g(x)=x^2-2x-m-2=0(\ast )</td></tr></tbody></table>$.
Để hai đồ thị cắt nhau tại 3 điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt khác 1:
$\{\begin{array}{l}{\Delta }^{\prime }=1+(m+2)=m+3>0\\ g(1)=1-2-m-2\ne 0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}m>-3\\ m\ne -3\end{array}⟺m>-3$.
Gọi $x_1=1$ và $x_2,x_3$ là hai nghiệm của (*). Theo định lý Vi-ét: $x_2+x_3=2,x_2{x}_3=-(m+2)$.
Ta có:
$x_1^2+x_2^2+x_3^2>5⟺1+(x_2+x_3{)}^2-2x_2{x}_3>5$
$⟺1+4+2(m+2)>5⟺2(m+2)>0⟺m>-2$.
Kết hợp với điều kiện $m>-3$ ta được $m>-2$.

Đặt $t=\sin x$, với $x\in \mathbb{R}$ thì $t\in [-1;1]$. Phương trình trở thành $f(t)=m$ với $t\in [-1;1]$.
Từ bảng biến thiên, trên đoạn $[-1;1]$ hàm số $f(t)$ đồng biến từ $f(-1)=0$ đến $f(1)=2$.
Do đó tập giá trị của hàm số $f(t)$ trên đoạn $[-1;1]$ là $[0;2]$.
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $m\in [0;2]$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{0;1;2\}$, có 3 giá trị nguyên của tham số $m$.

Chọn D.
Ta có: $f(x)+1=m⟺f(x)=m-1$.
Để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt thì đường thẳng $y=m-1$ cắt đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại đúng 2 điểm phân biệt.
Từ đồ thị hàm số ta thấy:
$[<table><tbody><tr><td>m-1>1</td></tr><tr><td>m-1=-3</td></tr></tbody></table>⟺[<table><tbody><tr><td>m>2</td></tr><tr><td>m=-2</td></tr></tbody></table>.$