Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Thiết lập hệ tọa độ với các khối lập phương cạnh 1. Hình gồm 10 khối: một hàng 4 khối, sau đó rẽ một góc với các cột cao 1, 2 khối, và cột cao 3 khối tại vị trí có điểm B (tổng 4 + 1 + 2 + 3 = 10 khối).

Chọn gốc tọa độ sao cho điểm $A$ là đỉnh trên của khối đầu tiên: $A(0;0;1)$. Điểm $B$ là đỉnh trên của cột cao 3 khối ở góc xa nhất: $B(4;4;3)$.

Khi đó:
$$AB=\sqrt{(4-0{)}^2+(4-0{)}^2+(3-1{)}^2}=\sqrt{16+16+4}=\sqrt{36}=6.$$

Vậy khoảng cách giữa hai điểm $A$ và $B$ bằng 6, tương ứng phương án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\vec{u}\perp \vec{v}$ nên $\vec{u}\cdot \vec{v}=0$. Tính: $\vec{u}\cdot \vec{v}=\left(\frac{5}{2}\vec{a}-2\vec{b}\right)\cdot (\vec{a}+2\vec{b})=\frac{5}{2}|\vec{a}{|}^2+5\vec{a}\cdot \vec{b}-2\vec{a}\cdot \vec{b}-4|\vec{b}{|}^2=\frac{5}{2}+3\vec{a}\cdot \vec{b}-4=-\frac{3}{2}+3\vec{a}\cdot \vec{b}=0$. Suy ra $\vec{a}\cdot \vec{b}=\frac{1}{2}$, nên $\cos (\vec{a},\vec{b})=\frac{1}{2}$, góc giữa hai vectơ bằng $60^{\circ }$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ ta có $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{BC}$, nên $C^{\prime }=A^{\prime }+\overrightarrow{AC}$, tức $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$. Trước hết tìm $C$: vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$, suy ra $C=B+D-A=(2+1-1;1+(-1)-0;2+1-1)=(2;0;2)$. Khi đó $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=C^{\prime }-C=(4-2;5-0;-5-2)=(2;5;-7)$, nên $A^{\prime }=A+(2;5;-7)=(1+2;0+5;1-7)=(3;5;-6)$. Vậy chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Điểm $M$ chia đoạn $AB$ theo tỉ số $k=-\frac{1}{2}$ nghĩa là $\overrightarrow{MA}=k\overrightarrow{MB}$, suy ra $M=\frac{A-kB}{1-k}$. Với $A(1;1;0)$, $B(2;0;-3)$, $k=-\frac{1}{2}$: $1-k=\frac{3}{2}$, nên $M=\frac{A+\frac{1}{2}B}{\frac{3}{2}}=\frac{2A+B}{3}$. Tính tọa độ: $x_M=\frac{2\cdot 1+2}{3}=\frac{4}{3}$, $y_M=\frac{2\cdot 1+0}{3}=\frac{2}{3}$, $z_M=\frac{2\cdot 0+(-3)}{3}=-1$. Vậy $M\left(\frac{4}{3};\frac{2}{3};-1\right)$, tương ứng phương án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\vec{v}$ cùng phương với $\vec{u}(2;0;-1)$ nên $\vec{v}=k\vec{u}=(2k;0;-k)$. Khi đó $\vec{u}.\vec{v}=2(2k)+0+(-1)(-k)=5k=20$, suy ra $k=4$. Vậy $\vec{v}=(8;0;-4)$, tương ứng phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $C(1;1;0)$, $C^{\prime }(1;1;1)$. Khi đó $\overrightarrow{AC}=(1;1;0)$, $\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=(0;1;1)$. Tổng $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=(1;2;1)$, độ dài bằng $\sqrt{1+4+1}=\sqrt{6}$. Khớp với đáp án nguồn D.

Ta có:
$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=2\overrightarrow{AO}$$
Vậy $2\overrightarrow{AO}=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}\right)$.
Chọn đáp án D

Gọi $D$ là chân đường phân giác trong góc $B$. Theo đề bài, ta có:
$$AB=\sqrt{(2-1{)}^2+(-1-2{)}^2+(3-(-1){)}^2}=\sqrt{26}$$
$$BC=\sqrt{(-4-2{)}^2+(7-(-1){)}^2+(5-3{)}^2}=\sqrt{104}$$
Theo tính chất đường phân giác, ta có:
$$\frac{DA}{DC}=\frac{BA}{BC}=\frac{\sqrt{26}}{\sqrt{104}}=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{AD}{AC}=\frac{AD}{DC+AD}=\frac{1}{2+1}=\frac{1}{3}$$
Vậy ta được $\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$. Mặt khác, ta tính được $\overrightarrow{AC}(-5;5;6)$. Vậy ta được $\overrightarrow{AD}\left(-\frac{5}{3};\frac{5}{3};2\right)$. Gọi $(x_D;y_D;z_D)$ là tọa độ của điểm $D$. Khi đó ta được:
$$\{\begin{array}{l}{x}_D-1=-\frac{5}{3}\\ y_D-2=\frac{5}{3}\\ z_D+1=2\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_D=-\frac{2}{3}\\ y_D=\frac{11}{3}\\ z_D=1\end{array}$$
Vậy $D\left(-\frac{2}{3};\frac{11}{3};1\right)$
Chọn đáp án A

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v}|\cos 120^{\circ }=2\cdot 5\cdot (-\frac{1}{2})=-5$. Khi đó $|\overrightarrow{u}+2\overrightarrow{v}{|}^2=|\overrightarrow{u}{|}^2+4\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}+4|\overrightarrow{v}{|}^2=4+4(-5)+4\cdot 25=84$. Vậy $|\overrightarrow{u}+2\overrightarrow{v}|=\sqrt{84}=2\sqrt{21}$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hình hộp chữ nhật có $C(3;3;0)$, $C^{\prime }(3;3;3)$.

a) $\overrightarrow{AC}=(3;3;0)$ đúng.

b) Trọng tâm tam giác $ABD$: $G=\left(\frac{0+3+0}{3};\frac{0+0+3}{3};0\right)=(1;1;0)$, nên $a-2b+c=1-2+0=-1\ne 3$, sai.

c) $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=(3;3;3)\ne (-3;3;-3)$, sai.

d) $\overrightarrow{BD}=D-B=(0-3;3-0;0-0)=(-3;3;0)$, đúng.

Kết quả khớp đáp án mã đề 1202: Đ-S-S-Đ.

a) $C(3;3;0)$ nên $\overrightarrow{AC}=(3;3;0)$.

b) $G=(1;1;0)$ nên $a-2b+c=-1\ne 3$.

c) $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=(3;3;3)$.

d) $\overrightarrow{BD}=(-3;3;0)$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, áp dụng quy tắc hình hộp tại đỉnh $C$: $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{C{A}^{\prime }}$ vì $C{A}^{\prime }$ là đường chéo của hình hộp với ba cạnh xuất phát từ $C$ là $CB,CD,C{C}^{\prime }$. Vậy khẳng định A đúng. Xét các phương án khác: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ (quy tắc hình hộp tại $A$), nên B và C sai vì $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}\ne 3\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}\ne 3\overrightarrow{C^{\prime }A}$; phương án D sai vì $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{C{A}^{\prime }}\ne \overrightarrow{C^{\prime }A}$. Đối chiếu bảng đáp án mã đề 1202, câu 9 là A, khớp với kết quả.

(AI giải đề cho tôi)
Hình hộp chữ nhật có $C(3;3;0)$, $C^{\prime }(3;3;3)$. a) $\overrightarrow{AC}=C-A=(3;3;0)$ → Đúng. b) $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=C^{\prime }-A=(3;3;3)$ → Đúng. c) $\overrightarrow{BD}=D-B=(0;3;0)-(3;0;0)=(-3;3;0)\ne (3;-3;0)$ → Sai. d) Trọng tâm tam giác $ABD$: $G=\left(\frac{0+3+0}{3};\frac{0+0+3}{3};0\right)=(1;1;0)$, nên $a+2b+c=1+2+0=3\ne 5$ → Sai. Khớp đáp án mã đề 1201: ĐĐSS.
a) (AI giải đề cho tôi)
$C(3;3;0)$ nên $\overrightarrow{AC}=(3;3;0)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$C^{\prime }(3;3;3)$ nên $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=(3;3;3)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BD}=(-3;3;0)$, khác $(3;-3;0)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$G=(1;1;0)$ nên $a+2b+c=3\ne 5$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình: O(0;0;0), A(4;0;0), B(4;5;0), E(0;0;3), F(4;0;3), G(4;5;3), H(0;5;3), P(2;0;4), Q(2;5;4).
a) A nằm trên trục Ox với x=4 nên A(4;0;0) → Đúng.
b) HQ = Q−H = (2−0;5−5;4−3) = (2;0;1) ≠ (2;1;0) → Sai.
c) FG = G−F = (0;5;0) = 5j ≠ 5k → Sai.
d) Tam giác PEF: PE = √(2²+1²) = √5, PF = √(2²+1²) = √5, EF = 4. Diện tích = ½·EF·√(PE²−(EF/2)²) = ½·4·√(5−4) = 2 ≠ 2√2 → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
A nằm trên trục Ox, OA = 4 nên A(4;0;0).
b) (AI giải đề cho tôi)
HQ = Q−H = (2;0;1), không phải (2;1;0).
c) (AI giải đề cho tôi)
FG = G−F = (0;5;0) = 5j, không phải 5k.
d) (AI giải đề cho tôi)
PE = PF = √5, EF = 4, diện tích = ½·4·√(5−4) = 2 ≠ 2√2.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $AM=2BM$ với $M$ thuộc cạnh $AB$ nên $\overrightarrow{AM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$, suy ra $\overrightarrow{MA}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$. G là trọng tâm tam giác $BCD$ nên $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD})$. Do đó $\overrightarrow{MG}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AG}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$. Vậy $x=-\frac{1}{3},y=\frac{1}{3},z=\frac{1}{3}$, nên $2x+y+z=-\frac{2}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=0$. Kết quả trùng với đáp án đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ là trung điểm $AB$ nên $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\vec{b}$. Vì $P$ là trung điểm $CD$ nên $\overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD})=\frac{1}{2}(\vec{c}+\vec{d})$. Do đó $\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\vec{c}+\vec{d})-\frac{1}{2}\vec{b}=\frac{1}{2}(\vec{c}+\vec{d}-\vec{b})$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Tìm $\alpha ,\beta ,\gamma$ để $\alpha \vec{x}+\beta \vec{y}+\gamma \vec{z}=\vec{0}$. Theo $\vec{a}$: $2\alpha +\beta =0$; theo $\vec{c}$: $-\beta -2\gamma =0$; theo $\vec{b}$: $\alpha -\beta -3\gamma =0$. Chọn $\alpha =1$ thì $\beta =-2$, $\gamma =1$, thỏa mãn. Vậy $\vec{x}-2\vec{y}+\vec{z}=\vec{0}$ (kiểm tra: $2\vec{a}+\vec{b}-2\vec{a}+2\vec{b}+2\vec{c}-3\vec{b}-2\vec{c}=\vec{0}$). Do đó $\vec{x},\vec{y},\vec{z}$ đồng phẳng, đáp án A. B, C sai vì $\vec{x}=2\vec{a}+\vec{b}$ không cùng phương với $\vec{a}$ hay $\vec{b}$; D sai vì đồng phẳng nhưng không đôi một cùng phương.

(AI giải đề cho tôi)
ABCD là hình bình hành khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, suy ra $D=A+C-B$. Tính: $x_D=-4+3-2=-3$, $y_D=1+(-2)-(-4)=3$, $z_D=-5+9-7=-3$. Vậy $D(-3;3;-3)$, tương ứng phương án B.

a) Sai do $B$ nằm trên trục $Oz$ nên $B(0;0;2)$. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng vì $N(2;-2;-1)$ đối xứng với $A$ qua mặt phẳng tọa độ $(Oxy)\Rightarrow AN=2$. Gọi H là chân đường cao của tam giác ứng với cạnh AN $\Rightarrow H(2;-2;0)\Rightarrow OH=2\sqrt{2}\Rightarrow S_{\Delta OAN}=\frac{OH\cdot AN}{2}=2\sqrt{2}$
a) Sai do $B$ nằm trên trục $Oz$ nên $B(0;0;2)$
b) Đúng
c) Đúng
d) Đúng vì $N(2;-2;-1)$ đối xứng với $A$ qua mặt phẳng tọa độ $(Oxy)\Rightarrow AN=2$. Gọi H là chân đường cao của tam giác ứng với cạnh AN $\Rightarrow H(2;-2;0)\Rightarrow OH=2\sqrt{2}\Rightarrow S_{\Delta OAN}=\frac{OH\cdot AN}{2}=2\sqrt{2}$

Vì $M$ là trung điểm của $BC\Rightarrow \overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$. Mặt khác $\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ $=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}-\vec{c}=\frac{1}{2}\left(\vec{a}+\vec{b}-2\vec{c}\right)$

Xét $m=n=p=0$ ta luôn có $m+n+p=0$ và $m\vec{a}+n\vec{b}+p\vec{c}=\vec{0}$ nhưng không thể suy ra được $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ đồng phẳng. Xét $m+n+p\ne 0$ thì chắc chắn có một trong ba số $m,n,p$ khác 0. Giả sử $m\ne 0\to m\vec{a}+n\vec{b}+p\vec{c}=\vec{0}\leftrightarrow \vec{a}=-\frac{n}{m}\vec{b}-\frac{p}{m}\vec{c}\to \vec{a},\vec{b},\vec{c}$ đồng phẳng.