Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vị trí hai đường (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
VTCP của $d_1$ là $\overrightarrow{u_1}=(2;2;-1)$, của $d_2$ là $\overrightarrow{u_2}=(1;-2;1)$. Cosin góc giữa hai đường thẳng: $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{u_2}|}{|\overrightarrow{u_1}||\overrightarrow{u_2}|}=\frac{|2-4-1|}{\sqrt{9}\cdot \sqrt{6}}=\frac{3}{3\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{6}$. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=(1;-1;0)$ và $\overrightarrow{u_2}=(0;1;-1)$.

$\cos (d_1,d_2)=\frac{|\overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{u_2}|}{|\overrightarrow{u_1}||\overrightarrow{u_2}|}=\frac{|1\cdot 0+(-1)\cdot 1+0\cdot (-1)|}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{1}{2}$.

Vậy góc giữa hai đường thẳng bằng $60^{\circ }$, khớp với đáp án nguồn (C).

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng có vectơ chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow{u_1}=(2;-2;1)$ và $\overrightarrow{u_2}=(1;3;4)$.

Ta có:
$$\overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{u_2}=2\cdot 1+(-2)\cdot 3+1\cdot 4=2-6+4=0.$$

Vì $\overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{u_2}=0$ nên hai vectơ chỉ phương vuông góc với nhau. Do đó góc giữa hai đường thẳng là:
$$\cos (d_1,d_2)=\frac{|\overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{u_2}|}{|\overrightarrow{u_1}||\overrightarrow{u_2}|}=0\Rightarrow (d_1,d_2)=90^{\circ }.$$

Vậy số đo góc giữa hai đường thẳng đã cho bằng $90^{\circ }$ (hai đường thẳng vuông góc với nhau).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(3;4;3)$, đi qua điểm $A(1;3;2)$. Đường thẳng $d^{\prime }$ có vectơ chỉ phương ${\vec{u}}^{\prime }=(0;2;-1)$. Vì $\frac{3}{0},\frac{4}{2},\frac{3}{-1}$ không tỉ lệ nên $d$ và $d^{\prime }$ không song song. Thử giao điểm: điểm trên $d$ có dạng $(1+3s;3+4s;2+3s)$. Cho $x=4\Rightarrow s=1$, khi đó $y=7,z=5$. Điểm $(4;7;5)$ thuộc $d^{\prime }$ với $t=0$ (vì $y=7+2t=7\Rightarrow t=0$, $z=5-t=5$). Vậy hai đường thẳng cắt nhau tại điểm $(4;7;5)$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=(2;2;3)$ và $\overrightarrow{u_2}=(-1;-2;1)$ không cùng phương nên không song song hay trùng. Lấy $P(1;-1;0)\in {\Delta }_1$, $Q(3;3;-2)\in {\Delta }_2$, ta có $\overrightarrow{PQ}=(2;4;-2)$. Kiểm tra tính đồng phẳng: $\overrightarrow{PQ}\cdot (\overrightarrow{u_1}\times \overrightarrow{u_2})$. Với $\overrightarrow{u_1}\times \overrightarrow{u_2}=(8;-5;-2)$ thì $\overrightarrow{PQ}\cdot (\overrightarrow{u_1}\times \overrightarrow{u_2})=16-20+4=0$, nên hai đường thẳng đồng phẳng, do đó chúng cắt nhau. Thử giải: ${\Delta }_1:(1+2t;-1+2t;3t)$, ${\Delta }_2:(3-s;3-2s;-2+s)$. Từ $1+2t=3-s$ và $-1+2t=3-2s$ suy ra $t=0,s=2$, khi đó $z$: $3t=0=-2+2$ thỏa mãn. Vậy ${\Delta }_1$ và ${\Delta }_2$ cắt nhau tại điểm $(1;-1;0)$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
VTCP của ${\Delta }_1$ là $\overrightarrow{u_1}=(2;4;m-1)$, VTCP của ${\Delta }_2$ là $\overrightarrow{u_2}=(4;-1;2)$. Hai đường thẳng vuông góc khi $\overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{u_2}=0$: $2\cdot 4+4\cdot (-1)+2(m-1)=0\iff 8-4+2m-2=0\iff 2m+2=0\iff m=-1$. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng có vecto chỉ phương $\vec{u}=(2;1;4)$ và $\overrightarrow{u^{\prime }}=(3;-2;1)$ không cùng tỷ lệ nên không song song hay trùng nhau. Giải hệ: $1+2t=6+3s$, $7+t=-1-2s$, $3+4t=-2+s$. Từ hai phương trình đầu: $2t-3s=5$ và $t+2s=-8$, giải được $s=-3$, $t=-2$. Kiểm tra phương trình thứ ba: $3+4(-2)=-5$ và $-2+(-3)=-5$, thỏa mãn. Vậy hai đường thẳng cắt nhau tại điểm $(1+2(-2);7-2;3+4(-2))=(-3;5;-5)$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
$d$ có điểm $(1;2;0)$, vecto chỉ phương $\vec{u}=(2;-2;1)$; $d^{\prime }$ có điểm $(0;-5;4)$, vecto chỉ phương ${\vec{u}}^{\prime }=(-2;3;1)$. Vì $\vec{u}$ không cùng phương với ${\vec{u}}^{\prime }$ nên hai đường không song song hay trùng nhau. Giả sử cắt nhau: hệ $1+2t=-2t^{\prime }$, $2-2t=-5+3t^{\prime }$, $t=4+t^{\prime }$. Từ $t=4+t^{\prime }$ suy ra $t^{\prime }=t-4$. Thay vào phương trình thứ nhất: $1+2t=-2(t-4)=-2t+8\Rightarrow 4t=7\Rightarrow t=7/4$, $t^{\prime }=-9/4$. Kiểm tra phương trình thứ hai: $2-2(7/4)=-3/2$ còn $-5+3(-9/4)=-47/4$, không bằng nhau. Vậy hệ vô nghiệm, hai đường thẳng chéo nhau.

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ chỉ phương của Δ là $\overrightarrow{u_1}=(1;-1;2)$, của $d$ là $\overrightarrow{u_2}=(2;1;1)$. $\cos (\Delta ,d)=\frac{|1\cdot 2+(-1)\cdot 1+2\cdot 1|}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{6}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$, nên góc bằng $60^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: ${\vec{u}}_{d_1}\cdot {\vec{u}}_{d_2}=1\cdot (-4)+(-2)\cdot 1+(-3)\cdot 5=-21$. Độ dài: $|{\vec{u}}_{d_1}|=\sqrt{14}$, $|{\vec{u}}_{d_2}|=\sqrt{42}$. Vậy $\cos (d_1,d_2)=\frac{21}{\sqrt{14}\sqrt{42}}=\frac{21}{\sqrt{588}}=\frac{21}{14\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, suy ra góc giữa hai đường thẳng bằng $30^{\circ }$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Điểm thuộc đường $b$ có dạng $(1+4k;2+2k;6)$, điểm thuộc đường $a$ có dạng $(1;2;3t)$. Tại giao điểm: $1+4k=1\Rightarrow k=0$; $2+2k=2\Rightarrow k=0$ (hai phương trình cho cùng giá trị $k=0$, thỏa mãn). Khi đó $z=6$, nên $3t=6\Rightarrow t=2$. Vậy giao điểm là $M(1;2;6)$, tức $a=1,b=2,c=6$ và $S=a+b+c=1+2+6=9$. Hình minh họa máy khoan ở trang 17 chỉ mang tính minh họa, không ảnh hưởng đến lời giải.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: từ phương trình tham số của Δ, vectơ chỉ phương là u=(1;-2;2). b) Đúng: MN = N−M = (−3;2;−4), phương trình chính tắc (x−1)/(−3)=(y−1)/2=(z−2)/(−4), nhân tử số và mẫu với −1 được (x−1)/3=(y−1)/(−2)=(z−2)/4. c) Đúng: hai vectơ chỉ phương (1;−2;2) và (−3;2;−4) không cùng phương; giải hệ phương trình tham số: từ 2+t=1−3s và 1−2t=1+2s được s=−1/2, t=1/2, nhưng thay vào phương trình thứ ba: −3+2(1/2)=−2 ≠ 2−4(−1/2)=4, nên hai đường thẳng không cắt, không song song → chéo nhau. d) Sai: cos góc = |1·(−3)+(−2)·2+2·(−4)|/(√9·√29) = 15/(3√29) = 5/√29 = 5√29/29 ≈ 0,928, khác 5√21/7 (giá trị này lớn hơn 1, vô lý).
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình tham số của Δ, vectơ chỉ phương u=(1;-2;2).
b) (AI giải đề cho tôi)
MN=(-3;2;-4), VTPT (3;-2;4) cùng phương nên phương trình đã cho đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hai vectơ chỉ phương không cùng phương; hệ phương trình tham số vô nghiệm (s=-1/2, t=1/2 không thỏa phương trình z), nên Δ và MN chéo nhau.
d) (AI giải đề cho tôi)
cos = 15/(3√29) = 5√29/29 ≈ 0,928 ≠ 5√21/7 (giá trị >1 vô lý).

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: Từ phương trình tham số của Δ, đường thẳng đi qua điểm (2;1;-1) và có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u_{\Delta }}=(3;2;1)$.
b) Sai: Giải hệ $2+3t=-1+s$ và $1+2t=2-s$ ta được $t=-\frac{2}{5}$, $s=\frac{9}{5}$. Thay vào phương trình z: $-1+t=-1-\frac{2}{5}=-\frac{7}{5}$ còn $3+2s=3+\frac{18}{5}=\frac{33}{5}$, không bằng nhau nên hai đường thẳng chéo nhau, không cắt nhau.
c) Đúng: $\overrightarrow{u_{\Delta }}=(3;2;1)$, $\overrightarrow{u_{{\Delta }^{\prime }}}=(1;-1;2)$ nên $\cos (\Delta ,{\Delta }^{\prime })=\frac{|3\cdot 1+2\cdot (-1)+1\cdot 2|}{\sqrt{14}\cdot \sqrt{6}}=\frac{3}{\sqrt{84}}=\frac{3}{2\sqrt{21}}=\frac{\sqrt{21}}{14}$.
d) Đúng: d đi qua $A(-3;2;2)$ và song song với Δ nên nhận vecto chỉ phương $(3;2;1)$, phương trình $\frac{x+3}{3}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-2}{1}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình tham số của Δ, đường thẳng đi qua điểm (2;1;-1) và có vecto chỉ phương (3;2;1).
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Giải 2+3t=-1+s và 1+2t=2-s được t=-2/5, s=9/5. Kiểm tra z: -1+t=-7/5 còn 3+2s=3+18/5=33/5, không bằng nhau nên Δ, Δ' chéo nhau, không cắt nhau.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
cos(Δ,Δ')=|u·u'|/(|u||u'|)=|3-2+2|/(√14·√6)=3/(2√21)=√21/14.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
d đi qua A(-3;2;2) và song song với Δ nên nhận vecto chỉ phương (3;2;1), phương trình (x+3)/3=(y-2)/2=(z-2)/1.

(AI giải đề cho tôi)
Đường đi của tàu A có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_A}=(-33;25)$, của tàu B là $\overrightarrow{u_B}=(-30;-40)$. Tính $\cos (\overrightarrow{u_A},\overrightarrow{u_B})=\frac{(-33)(-30)+25(-40)}{\sqrt{33^2+25^2}\sqrt{30^2+40^2}}=\frac{990-1000}{\sqrt{1714}\cdot 50}=\frac{-10}{50\sqrt{1714}}\approx -0,004832$. Suy ra góc giữa hai vectơ $\approx 90,277^{\circ }$, góc giữa hai đường thẳng là $180^{\circ }-90,277^{\circ }\approx 89,7^{\circ }$. Khớp với đáp án nguồn 89,7.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng có các vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=(2;1;-1)$ và $\overrightarrow{u_2}=(3;3;9)$. Cosin của góc giữa hai đường thẳng là $\cos \phi =\frac{|\overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{u_2}|}{|\overrightarrow{u_1}||\overrightarrow{u_2}|}=\frac{|2\cdot 3+1\cdot 3+(-1)\cdot 9|}{\sqrt{4+1+1}\cdot \sqrt{9+9+81}}=\frac{|6+3-9|}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{99}}=\frac{0}{\sqrt{594}}=0$. Vậy hai đường thẳng vuông góc, chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
$(d_1)$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=(-2;1;-1)$, đi qua điểm $P_1(2;2;-1)$; $(d_2)$ có $\overrightarrow{u_2}=(2;1;1)$, đi qua $P_2(2;1;1)$. Vì $\frac{-2}{2}\ne \frac{1}{1}$ nên $\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}$ không cùng phương, hai đường không song song hay trùng nhau. Giả sử chúng cắt nhau: $2-2t=2+2s\Rightarrow t=-s$; $2+t=1+s\Rightarrow t=s-1$. Suy ra $-s=s-1\Rightarrow s=\frac{1}{2},t=-\frac{1}{2}$. Kiểm tra phương trình $z$: với $(d_1)$: $z=-1-(-\frac{1}{2})=-\frac{1}{2}$; với $(d_2)$: $z=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$. Vì $-\frac{1}{2}\ne \frac{3}{2}$ nên hệ vô nghiệm, hai đường không cắt nhau. Vậy hai đường thẳng chéo nhau, đáp án B (khớp với đáp án mã 102: Câu 3 = B).

(AI giải đề cho tôi)
$(d_1)$ đi qua $P(2;2;-1)$ với VTCP $\overrightarrow{u_1}=(-2;1;-1)$; $(d_2)$ đi qua $Q(2;1;-1)$ với VTCP $\overrightarrow{u_2}=(2;1;1)$. Vì $\frac{-2}{2}\ne \frac{1}{1}$ nên hai đường không song song. Giao điểm: cho $x_{d_1}=x_{d_2}$: $2-2t=2+2s\Rightarrow t=-s$; $y$: $2+t=1+s\Rightarrow t=s-1$. Suy ra $-s=s-1\Rightarrow s=\frac{1}{2},t=-\frac{1}{2}$. Kiểm tra $z$: $-1-t=-\frac{1}{2}$ và $-1+s=-\frac{1}{2}$, thỏa mãn. Vậy hai đường thẳng cắt nhau tại điểm $\left(3;\frac{3}{2};-\frac{1}{2}\right)$. Đáp án D, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng có vectơ chỉ phương lần lượt $\overrightarrow{u_1}=(2;1;-2)$ và $\overrightarrow{u_2}=(-2;-1;2)=-\overrightarrow{u_1}$, nên ${\Delta }_1\parallel {\Delta }_2$ hoặc trùng nhau. Lấy điểm $A_1(1;0;-2)\in {\Delta }_1$ và $A_2(-2;1;0)\in {\Delta }_2$, ta có $\overrightarrow{A_1{A}_2}=(-3;1;2)$. Kiểm tra: $\frac{-3}{2}\ne \frac{1}{1}$, tức $\overrightarrow{A_1{A}_2}$ không cùng phương với $\overrightarrow{u_1}$, nên $A_1\notin {\Delta }_2$. Vậy hai đường thẳng song song (không trùng nhau). Đáp án C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1033, câu 3: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=(2;1;-2)$ và $\overrightarrow{u_2}=(-2;-1;2)=-\overrightarrow{u_1}$, nên chúng song song hoặc trùng nhau. Điểm $P(1;0;-2)\in {\Delta }_1$. Thay vào ${\Delta }_2$: $\frac{1+2}{-2}=-\frac{3}{2}\ne \frac{0-1}{-1}=1$, nên $P\notin {\Delta }_2$. Vậy hai đường thẳng song song (không trùng nhau). Khớp với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ có điểm đi qua $(1;0;-1)$ và vectơ chỉ phương ${\vec{u}}_d=(1;1;2)$; đường thẳng $d^{\prime }$ đi qua $(2;1;1)$ với vectơ chỉ phương ${\vec{u}}_{d^{\prime }}=(1;1;-1)$.
a) Với $t=0$: $d$ đi qua $(1;0;-1)$, đúng là điểm $A(1;0;-1)$ nên A thuộc $d$ → Đúng.
b) Từ phương trình tham số của $d$, vectơ chỉ phương là $\vec{u}=(1;1;2)$ → Đúng.
c) ${\vec{u}}_d\cdot {\vec{u}}_{d^{\prime }}=1+1-2=0$ nên $d\perp d^{\prime }$. Mệnh đề 'd' không vuông góc với d' → Sai.
d) Giải hệ: $1+t=2+s$, $t=1+s$, $-1+2t=1-s$ cho $s=0,t=1$, hai đường cắt nhau tại $(2;1;1)$, nên không chéo nhau → Sai.
Kết quả: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai, khớp đáp án nguồn.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $t=0$, $d$ đi qua $(1;0;-1)$ nên điểm $A(1;0;-1)$ thuộc $d$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình tham số của $d$, vectơ chỉ phương là $\vec{u}=(1;1;2)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\vec{u}}_d\cdot {\vec{u}}_{d^{\prime }}=(1;1;2)\cdot (1;1;-1)=1+1-2=0$ nên $d\perp d^{\prime }$; do đó mệnh đề 'không vuông góc' là sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giải hệ phương trình hai đường thẳng được $s=0,t=1$, chúng cắt nhau tại điểm $(2;1;1)$ nên không chéo nhau.