Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Ba đường conic cơ bản (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình chính tắc $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ có dạng $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ với $a^2=9,b^2=16$, nên đây là hypebol với $a=3,b=4$, do đó $c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{25}=5$, hai tiêu điểm là $F_1(-5;0),F_2(5;0)$. a) Đúng vì phương trình có dạng hypebol ($x^2$ dương, $y^2$ âm). b) Sai vì hình vẽ trong đề là một elip (đường cong khép kín đi qua $(\pm 3;0)$ và $(0;\pm 2)$), không phải hai nhánh hypebol. c) Đúng vì với mọi điểm $M$ trên hypebol, $||M{F}_1|-|M{F}_2||=2a=6$. d) Sai vì tiêu điểm có hoành độ $\pm c=\pm 5$, không phải $-25$. Kết quả khớp đáp án mã đề 1001: ĐSĐS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ có dạng $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ nên là hypebol.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hình vẽ trong đề là một elip (đường cong khép kín), còn hypebol $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ có hai nhánh riêng biệt với tiệm cận $y=\pm \frac{4}{3}x$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $a=3$, theo định nghĩa hypebol: $||M{F}_1|-|M{F}_2||=2a=6$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{9+16}=5$, nên tiêu điểm là $F_1(-5;0)$, không phải $(-25;0)$.

(AI giải đề cho tôi)
Hypebol $(H):\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ có $a^2=16,b^2=9\Rightarrow a=4,b=3$, $c^2=a^2+b^2=25\Rightarrow c=5$. Hai đỉnh là $(-4;0)$ và $(4;0)$, hai tiêu điểm là $(-5;0)$ và $(5;0)$.
a) Sai: điểm trên trục hoành có hoành độ âm là đỉnh $(-4;0)$; tiêu điểm có hoành độ dương là $(5;0)$; khoảng cách $=4+5=9\ne 1$.
b) Đúng: hai điểm trên trục hoành của hypebol là hai đỉnh $(-4;0)$ và $(4;0)$, khoảng cách $=2a=8$.
c) Đúng: tiêu cự $2c=2\cdot 5=10$.
d) Sai: thay $x=4,y=0$ vào phương trình: $\frac{16}{16}-0=1$, nên $M(4;0)$ nằm trên hypebol.
Kết quả SDDS khớp với bảng đáp án chính thức (mã đề 1002, PHẦN II Câu 4).
a) (AI giải đề cho tôi)
Điểm trên trục hoành có hoành độ âm là đỉnh $(-4;0)$; tiêu điểm có hoành độ dương là $(5;0)$; khoảng cách $=9\ne 1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hai điểm trên trục hoành của hypebol là hai đỉnh $(-4;0)$ và $(4;0)$, khoảng cách $=2a=8$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$c^2=16+9=25\Rightarrow c=5$, tiêu cự $2c=10$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Thay $x=4,y=0$: $\frac{16}{16}-0=1$, nên $M(4;0)$ nằm trên hypebol.

(AI giải đề cho tôi)
Elip $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ có $a^2=25,b^2=9$ với $a>b$ nên tiêu điểm nằm trên trục $Ox$. Ta có $c^2=a^2-b^2=25-9=16\Rightarrow c=4$. Vậy $F_1(-4;0),F_2(4;0)$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Chuẩn hóa: $16x^2-4y^2=144\iff \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{36}=1$, nên $a^2=9,b^2=36$. Hypebol có trục thực là trục $Ox$ nên $c^2=a^2+b^2=45$, $c=3\sqrt{5}$. Vậy $F_1(-3\sqrt{5};0),F_2(3\sqrt{5};0)$, trùng đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tiêu điểm $F_1=(-12;0)$ nằm trên trục $Ox$ nên $c^2=144$. Elip đi qua $M(0;5)$ nên thay vào phương trình chính tắc: $\frac{0}{a^2}+\frac{25}{b^2}=1\Rightarrow b^2=25$. Do đó $a^2=b^2+c^2=25+144=169\Rightarrow a=13$ (vì $a>0$). Kết quả khớp với đáp án nguồn là 13.

(AI giải đề cho tôi)
Tiêu điểm $F_1=(-4;0)$ nên $c=4$. Elip đi qua $M(0;3)$, thay vào phương trình chính tắc: $\frac{0}{a^2}+\frac{9}{b^2}=1\Rightarrow b^2=9\Rightarrow b=3$. Theo hệ thức elip: $a^2=b^2+c^2=9+16=25\Rightarrow a=5$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (5).

(AI giải đề cho tôi)
Nửa elip cao 4 m (b=4), rộng 10 m (2a=10, a=5), tâm O tại chân hầm. c²=a²−b²=25−16=9, c=3. a) Tiêu điểm F₁(−3;0), F₂(3;0): Đúng. b) Tiêu cự 2c=6≠8: Sai. c) Phương trình chính tắc x²/25+y²/16=1: Đúng. d) Điểm cách chân hầm 2 m có x=±3, khi đó y=4√(1−9/25)=4·(4/5)=16/5 m ≠ 17/5 m: Sai. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 0101: ĐSĐS.
a) (AI giải đề cho tôi)
a=5, b=4 nên c²=25−16=9, c=3, tiêu điểm F₁(−3;0), F₂(3;0).
b) (AI giải đề cho tôi)
Tiêu cự 2c=2·3=6, không phải 8.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với a=5, b=4, phương trình chính tắc là x²/25+y²/16=1.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tại x=3: y=4√(1−9/25)=16/5 m, không phải 17/5 m.

(AI giải đề cho tôi)
Tiêu cự $2c=6\Rightarrow c=3$. Elip đi qua $A(5;0)$ nên trục lớn nằm trên trục hoành với $a=5$, suy ra $b^2=a^2-c^2=25-9=16$. Vậy phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$, tương ứng phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình chính tắc $(E):\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{36}=1$ ta có $a^2=64\Rightarrow a=8$. Theo tính chất tổng quát của elip, với mọi điểm $M$ thuộc $(E)$, tổng khoảng cách từ $M$ đến hai tiêu điểm không đổi: $M{F}_1+M{F}_2=2a=2\cdot 8=16$. Vậy đáp án C, trùng với đáp án nguồn (Câu 7, mã đề 1003: C).

(AI giải đề cho tôi)
Elip $(E):\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{36}=1$ có $a^2=64\Rightarrow a=8$. Theo tính chất tổng khoảng cách, với mọi điểm $M$ thuộc elip: $M{F}_1+M{F}_2=2a=2\cdot 8=16$. Vậy đáp án B, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Parabol $y^2=8x$ có $2p=8\Rightarrow p=4$. a) Tiêu điểm $F(2;0)$ — đúng. b) Đường chuẩn $x=-\frac{p}{2}=-2$, không phải $x=4$ — sai. c) Thay $(1;2\sqrt{2})$: $(2\sqrt{2}{)}^2=8=8\cdot 1$ — đúng. d) Khoảng cách từ điểm $(x_0;y_0)\in (P)$ tới tiêu điểm bằng $x_0+\frac{p}{2}=x_0+2=5\Rightarrow x_0=3$, khi đó $y_0^2=24$, $y_0=\pm 2\sqrt{6}$, không phải $(2;4)$ (điểm $(2;4)$ có khoảng cách tới $F$ là $\sqrt{(2-2{)}^2+4^2}=4\ne 5$) — sai. Kết quả khớp đáp án nguồn: a Đúng, b Sai, c Đúng, d Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^2=8x\Rightarrow 2p=8,p=4$, tiêu điểm $F\left(\frac{p}{2};0\right)=F(2;0)$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đường chuẩn là $x=-\frac{p}{2}=-2$, không phải $x=4$. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Thay $x=1,y=2\sqrt{2}$: $(2\sqrt{2}{)}^2=8=8\cdot 1$, thỏa mãn phương trình. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với điểm $(x_0;y_0)\in (P)$, khoảng cách tới tiêu điểm là $x_0+2=5\Rightarrow x_0=3$, $y_0=\pm 2\sqrt{6}$. Điểm $(2;4)$ có khoảng cách tới $F(2;0)$ bằng $4\ne 5$. Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Hypebol $(H):\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1$ có $a^2=4,b^2=3$ nên $c^2=a^2+b^2=7\Rightarrow c=\sqrt{7}$. Tiêu điểm nằm trên trục $Ox$: $F_1=(-\sqrt{7};0),F_2=(\sqrt{7};0)$. Khớp với đáp án B trong đề và bảng đáp án (Câu 12, Mã đề 101: B).

(AI giải đề cho tôi)
Elip có trục lớn $2a=10\Rightarrow a=5$ (m), trục nhỏ $2b=6\Rightarrow b=3$ (m). Diện tích elip: $S_E=\pi ab=15\pi \approx 47,12m^2$. Đường tròn (hồ cá) có đường kính bằng trục nhỏ nên bán kính $r=3$ (m), diện tích $S_C=\pi r^2=9\pi \approx 28,27m^2$. Diện tích phần trồng cỏ: $S_E-S_C=15\pi -9\pi =6\pi \approx 18,85m^2$. Kết quả trùng với đáp án nguồn 18,85.

Phương trình hoành độ giao điểm: $x^2-7x+12=-x+4⟺x^2-6x+8=0⟺x=2$ hoặc $x=4$. Với $x=2⟹y=2$; với $x=4⟹y=0$. Giao điểm là $(2;2)$ và $(4;0)$.

Mỗi elip có bán trục lớn $a=6\text{ cm}$ và bán trục bé $b=4\text{ cm}$. Bốn nửa elip ghép thành $2$ hình elip có tổng diện tích $2\pi ab=48\pi {\text{ (cm}}^2\text{)}$. Diện tích bề mặt hoa văn là $20^2-48\pi =400-48\pi {\text{ (cm}}^2\text{)}$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 9), Câu 5 chọn đáp án D.

Phương trình chính tắc của elip là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1⟹a^2=25,b^2=9$.

Ta có $c^2=a^2-b^2=25-9=16⟹c=4$.

Tiêu cự của elip là $2c=2\cdot 4=8$.

Ta có $a^2=7,b^2=9\Rightarrow c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{7+9}=4$. Vậy tiêu cự của hypebol là $2c=8$.

Ta có $a=3,b=4,c=\sqrt{a^2+b^2}=5$.
a) Đúng vì hypebol chính tắc có hai trục đối xứng là $Ox$ và $Oy$.
b) Sai vì hai tiêu điểm của $(H)$ là $F_1(-5;0)$ và $F_2(5;0)$.
c) Sai vì độ dài trục ảo là $2b=8\ne 6$.
d) Đúng vì hai đỉnh của $(H)$ là $A_1(-3;0)$ và $A_2(3;0)$.

Độ dài trục thực $2a=16\Rightarrow a=8$. Vì điểm $N(-10;y_N)$ có hoành độ âm nên $F_{1}N<F_{2}N$. Theo định nghĩa hypebol, $|F_{1}N-F_{2}N|=2a=16$, kết hợp $F_{1}N<F_{2}N$ suy ra $F_{1}N-F_{2}N=-16$. Chọn B.