Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Ba đường conic cơ bản (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Độ dài trục thực $2a=6\Rightarrow a=3$. Tiêu cự $2c=10\Rightarrow c=5$. Khi đó $b^2=c^2-a^2=25-9=16\Rightarrow b=4$. Phương trình chính tắc của hypebol nhận trục thực làm trục $Ox$ là $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$. (Nếu trục thực là trục $Oy$ thì $\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{16}=1$; đáp án chuẩn thường lấy trục thực là $Ox$.)

(AI giải đề cho tôi)
Vì tiêu điểm $F_2(3;0)$ nằm trên trục $Ox$ nên $c=3$, do đó $a^2-b^2=c^2=9$, tức $a^2=b^2+9$. Elip đi qua $M\left(3;\frac{16}{5}\right)$ nên $\frac{9}{a^2}+\frac{256}{25b^2}=1$. Thay $a^2=b^2+9$, đặt $t=b^2>0$: $\frac{9}{t+9}+\frac{256}{25t}=1$. Nhân hai vế với $25t(t+9)$: $225t+256(t+9)=25t(t+9)$, tức $25t^2-256t-2304=0$. Biệt thức $\Delta =256^2+4\cdot 25\cdot 2304=295936=544^2$, nên $t=\frac{256+544}{50}=16$ (nhận nghiệm dương). Vậy $b^2=16$, $a^2=25$. Phương trình chính tắc của $(E)$ là $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$. Kiểm tra: $M(3;16/5)$: $\frac{9}{25}+\frac{256/25}{16}=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1$ đúng; $c^2=25-16=9$ đúng.

Ta có: $a^2=25,b^2=6$.
$\Rightarrow c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{25-6}=\sqrt{19}$.
Suy ra tiêu cự $F_1{F}_2=2c=2\sqrt{19}$.
Gọi M (1 ; y) với y > 0 là điểm thuộc elip thỏa bài toán.
Thế tọa độ M vào phương trình của elip ta được
$$\frac{1^2}{25}+\frac{y^2}{6}=1\iff \frac{y^2}{6}=1-\frac{1}{25}\iff \frac{y^2}{6}=\frac{24}{25}\iff y^2=\frac{144}{25}\iff \{\begin{array}{l}y=\frac{12}{5}(N)\\ y=-\frac{12}{5}(L)\end{array}$$
Suy ra $M\left(1;\frac{12}{5}\right)$
Vì M thuộc elip nên khoảng cách từ M đến $F_1{F}_2$ bằng $\left|y_M\right|$.
$$d\left(M,F_1{F}_2\right)=\left|y_M\right|=\left|\frac{12}{5}\right|=\frac{12}{5}$$
Diện tích tam giác $M{F}_1{F}_2$ là
$$S=\frac{1}{2}\cdot F_1{F}_2\cdot d\left(M,F_1{F}_2\right)=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{19}\cdot \frac{12}{5}=\frac{12\sqrt{19}}{5}\approx 10,46135746$$
Làm tròn kết quả đến hàng phần chục là $S\approx 10,5{\mathrm{m}}^2$.

Parabol $(P)$ có đường chuẩn là $\Delta :x+\frac{1}{2}=0$ và tiêu điểm $F\left(\frac{1}{2};0\right)$.
Gọi $M\left(x_0;y_0\right)$ là điểm cần tìm. Có $M\in (P)$ nên $y_0^2=2x_0\Rightarrow x_0=\frac{1}{2}{y}_0^2\Rightarrow x_0\ge 0$.
Khoảng cách từ $M$ đến tiêu điểm $F$ bằng 4 nên $MF=d(M;\Delta )=\frac{\left|x_0+\frac{1}{2}\right|}{\sqrt{1^2+0^2}}=4$.
$\Rightarrow x_0=\frac{7}{2}$ hoặc $x_0=\frac{-9}{2}$. Mà $x_0\ge 0$ nên $x_0=\frac{7}{2}\Rightarrow y_0^2=7\Rightarrow y_0=\pm \sqrt{7}$.
Vậy $M\left(\frac{7}{2};\sqrt{7}\right)$ hoặc $M\left(\frac{7}{2};-\sqrt{7}\right)\Rightarrow d\left(M,Oy\right)=\frac{7}{2}=3,5$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ trục tọa độ với gốc tại tâm hình chữ nhật (trục Ox song song chiều dài 18, trục Oy song song chiều rộng 12). Đường tròn trong hình tiếp xúc với các cạnh trên dưới nên bán kính R = 6, tâm trùng tâm hình chữ nhật. Hypebol nhận tâm này làm tâm, hai nhánh đối xứng qua trục Ox, có đỉnh tại hai điểm trái/phải của đường tròn nên a = 6, và đi qua các đỉnh của hình chữ nhật, ví dụ điểm (9; 6). Thay vào phương trình x²/36 − y²/b² = 1: 81/36 − 36/b² = 1 ⇒ 36/b² = 45/36 ⇒ b² = 28,8. Suy ra c² = a² + b² = 36 + 28,8 = 64,8 ⇒ c = √64,8 ≈ 8,05. Tiêu cự 2c = 2√64,8 ≈ 16,1 cm, khớp với đáp án nguồn.

Giả sử phương trình elip $(E)$ là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$.



Đường tròn $(C):x^2+y^2=4$ có tâm $O(0;0)$ và bán kính $R=2$.

Vì $(C)$ tiếp xúc với các cạnh của hình thoi và $A\in Ox$ nên $C\in Ox$ và $B,D\in Oy$.

Các điểm $A,B,C,D\in (E)$ nên $A,B,C,D$ là các đỉnh của $(E)$.

$A,B\in (E)\Rightarrow A(a;0),B(0;b)\Rightarrow OA=a,OB=b$.

Vì $OA=2OB$ nên $a=2b$.

Kẻ $OH\perp AB(H\in AB)$.

Ta có $OH=R=2$.

Tam giác $ABO$ vuông tại $O$ có
$$\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{O{B}^2}\iff \frac{1}{4}=\frac{1}{a^2}+\frac{4}{a^2}\iff a^2=20\Rightarrow b^2=5.$$

Vậy phương trình $(E)$ là $\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{5}=1$.

Giả sử phương trình elip $(E)$ là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$.



Đường tròn $(C):x^2+y^2=4$ có tâm $O(0;0)$ và bán kính $R=2$.

Vì $(C)$ tiếp xúc với các cạnh của hình thoi và $A\in Ox$ nên $C\in Ox$ và $B,D\in Oy$.

Các điểm $A,B,C,D\in (E)$ nên $A,B,C,D$ là các đỉnh của $(E)$.

$A,B\in (E)\Rightarrow A(a;0),B(0;b)\Rightarrow OA=a,OB=b$.

Vì $OA=2OB$ nên $a=2b$.

Kẻ $OH\perp AB(H\in AB)$.

Ta có $OH=R=2$.

Tam giác $ABO$ vuông tại $O$ có
$$\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{O{B}^2}\iff \frac{1}{4}=\frac{1}{a^2}+\frac{4}{a^2}\iff a^2=20\Rightarrow b^2=5.$$

Vậy phương trình $(E)$ là $\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{5}=1$.

Ta có $O(0;0)$ là tâm đối xứng của hypebol. Khi đó, khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy tháp là $OB$ và khoảng cách từ tâm đối xứng đến nóc tháp là $OA=\frac{2}{3}OB$. Mà chiều cao của tháp là $120m$ tức là $$\frac{2}{3}OB+OB=120\Rightarrow OB=72\Rightarrow OA=48$$ Gọi $r$ và $R$ lần lượt là bán kính nóc và bán kính đáy của tháp, $(r,R>0)$. Lấy $N$ là điểm trên nóc tháp, thuộc vào hypebol $\Rightarrow N(r;48)$. Và $M$ là điểm trên đáy tháp, thuộc vào hypebol $\Rightarrow M(R;-72)$. Thay tọa độ điểm $N(r;48)$ và $M(R;-72)$ vào phương trình $\frac{x^2}{30}-\frac{y^2}{50}=1$ ta tìm được $r=\sqrt{\frac{7062}{5}}\approx 37,58$ và $R=\sqrt{\frac{15702}{5}}\approx 56,04$. Vậy bán kính đường tròn nóc và bán kính đường tròn đáy của tháp lần lượt là $37,58(m)$ và $56,04(m)$. Lưu ý: Học sinh có thể làm bài theo phương pháp giải khác có kết quả đúng thì vẫn được đánh giá điểm tương đương cho phần nội dung trả lời đó.

Ta có $O(0;0)$ là tâm đối xứng của hypebol. Khi đó, khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy tháp là $OB$ và khoảng cách từ tâm đối xứng đến nóc tháp là $OA=\frac{2}{3}OB$. Mà chiều cao của tháp là $120m$ tức là $$\frac{2}{3}OB+OB=120\Rightarrow OB=72\Rightarrow OA=48$$ Gọi $r$ và $R$ lần lượt là bán kính nóc và bán kính đáy của tháp, $(r,R>0)$. Lấy $N$ là điểm trên nóc tháp, thuộc vào hypebol $\Rightarrow N(r;48)$. Và $M$ là điểm trên đáy tháp, thuộc vào hypebol $\Rightarrow M(R;-72)$. Thay tọa độ điểm $N(r;48)$ và $M(R;-72)$ vào phương trình $\frac{x^2}{30}-\frac{y^2}{50}=1$ ta tìm được $r=\sqrt{\frac{7062}{5}}\approx 37,58$ và $R=\sqrt{\frac{15702}{5}}\approx 56,04$. Vậy bán kính đường tròn nóc và bán kính đường tròn đáy của tháp lần lượt là $37,58(m)$ và $56,04(m)$. Lưu ý: Học sinh có thể làm bài theo phương pháp giải khác có kết quả đúng thì vẫn được đánh giá điểm tương đương cho phần nội dung trả lời đó.

Giải:
Gọi hai điểm có khoảng cách xa nhất của (E) là $A_1;A_2$, O là trung điểm $A_1{A}_2$.
Gắn hệ trục tọa độ oxy sao cho gốc tại O trùng tâm Elip, tiêu điểm $F_2$ và điểm $A_2(3;0)$ thuộc tia ox. Giả sử PTCT của Elip có dạng: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$
$(E)$ qua $A_2(3;0)$ nên $\frac{3^2}{a^2}+\frac{0^2}{b^2}=1\iff a^2=9$
$(E)$ có tiêu điểm $F_2(\sqrt{3};0)$ nên $2c=2\sqrt{3}\Rightarrow c=\sqrt{3}\Rightarrow c^2=3$
$\Rightarrow a^2-b^2=3$
$\Rightarrow b^2=a^2-3=9-3=6$
$\Rightarrow (E):\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{6}=1$ (0,25 điểm).
Gọi điểm $A(\sqrt{3};y_0)$ suy ra $B(\sqrt{3};-y_0)$
$A(\sqrt{3};y_0)\in (E)\Rightarrow \frac{{\sqrt{3}}^2}{9}+\frac{y_0^2}{6}=1\Rightarrow y_0=2$ (0,25 điểm)
$AB=2y_0=4(m)$ (0,25 điểm)
$\Rightarrow S_{\Delta OAB}=\frac{1}{2}O{F}_2.AB=\frac{1}{2}\sqrt{3}.4=2\sqrt{3}\approx 3,46(m^2)$. (0,25 điểm)
Học sinh giải cách khác GK thống nhất chia điểm.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ với gốc tại trung điểm hai chân cổng, hai chân cổng tại $x=\pm 8$ (khoảng cách 16 m), parabol có dạng $y=a(x^2-64)$ với $a<0$. Điểm cách chân cổng 1 m nên $x=7$ (hoặc $-7$), độ cao $y=1,5$: $a(49-64)=1,5\Rightarrow a=-0,1$. Đỉnh cổng tại $x=0$: $y=64\cdot 0,1=6,4$ m. Kết quả trùng với đáp án nguồn 6,4 (m).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục Oxy với gốc tại tâm mặt đất, elip có dạng x²/100 + y²/64 = 1 (a = 10 vì rộng 20m, b = 8 vì cao 8m). Tại điểm cách chân tường 5m, tức cách tâm 10 − 5 = 5m theo phương ngang, thay x = 5: y² = 64(1 − 25/100) = 48, nên y = 4√3 ≈ 6.93m.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ với gốc $O$ tại tâm mặt cắt, trục $Ox$ nằm ngang. Nửa elip có $a=212:2=106$, $b=46$, phương trình: $\frac{x^2}{106^2}+\frac{y^2}{46^2}=1$ với $y\ge 0$. Điểm cách chân tường 6 m có hoành độ $x=106-6=100$. Thay vào: $\frac{100^2}{106^2}+\frac{y^2}{46^2}=1\Rightarrow y=46\sqrt{1-\frac{10000}{11236}}=46\sqrt{\frac{1236}{11236}}\approx 15,256$. Làm tròn: $15,3$ mét, khớp với đáp án đã cho (Mã đề 2022, Câu 4: 15,3).

(AI giải đề cho tôi)
Nửa elip có $2a=212\Rightarrow a=106$, $b=46$. Phương trình: $\frac{x^2}{106^2}+\frac{y^2}{46^2}=1$ với $y\ge 0$. Điểm cách chân tường 6 m có hoành độ $x=106-6=100$. Khi đó $y=46\sqrt{1-\frac{100^2}{106^2}}=46\sqrt{1-\frac{10000}{11236}}=46\sqrt{\frac{1236}{11236}}\approx 46\cdot 0,33166\approx 15,26\approx 15,3$ mét. Kết quả khớp đáp án nguồn 15,3.

Phương trình của Elip có dạng $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,(0<b<a).$$

Theo giả thiết, ta có
$$\{\begin{array}{l}2a=20\\ 2b=4\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=10\\ b=2\end{array}.$$ Phương trình của Elip có dạng $$\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{4}=1.$$ (0,25 điểm)

Tại vị trí của điểm trên thuyền cách đầu thuyền $2m$ ứng với điểm $M$ nằm trên Elip có hoành độ bằng $-8$. Khi đó tung độ của điểm $M$ là $1,2$ hoặc $-1,2$.

Kết luận: Vậy chiều ngang của thuyền ở vị trí cách đầu thuyền $2m$ là $2.1,2=2,4m$. (0,25 điểm)

Phương trình của Elip có dạng $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,(0<b<a).$$

Theo giả thiết, ta có
$$\{\begin{array}{l}2a=20\\ 2b=4\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=10\\ b=2\end{array}.$$ Phương trình của Elip có dạng $$\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{4}=1.$$ (0,25 điểm)

Tại vị trí của điểm trên thuyền cách đầu thuyền $2m$ ứng với điểm $M$ nằm trên Elip có hoành độ bằng $-8$. Khi đó tung độ của điểm $M$ là $1,2$ hoặc $-1,2$.

Kết luận: Vậy chiều ngang của thuyền ở vị trí cách đầu thuyền $2m$ là $2.1,2=2,4m$. (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Elip có $a^2=25\Rightarrow a=5$, nên với mọi điểm $P$ thuộc elip: $P{F}_1+P{F}_2=2a=10$. Đặt $M{F}_1=x\Rightarrow M{F}_2=10-x$; đặt $N{F}_2=y\Rightarrow N{F}_1=10-y$. Theo giả thiết $M{F}_1+2N{F}_2=x+2y=9$. Khi đó $M{F}_2+2N{F}_1=(10-x)+2(10-y)=30-(x+2y)=30-9=21$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (21).

Chọn hệ trục tọa độ sao cho gốc tọa độ trùng với điểm chính giữa hai cột, trục Oy đi qua điểm chính giữa, hai bên cột lần lượt nằm về hai phía của trục tung (như hình vẽ). Phương trình hyperbol (H) có dạng $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a,b>0)$. [Hình cần kiểm tra lại: p11_f1] Theo bài ra ta có: A₁A₂ = 0,8 m; AB = EH = 1 m. Khoảng cách giữa HE và AB là 6 m. (H) cắt trục hoành tại hai điểm A₁, A₂, ta xác định được tọa độ 2 điểm là: A₁(−0,4; 0) và A₂(0,4; 0). Thay tọa độ A₂ vào phương trình (H) ta được: $\frac{(-0,4{)}^2}{a^2}=1$. Suy ra a = 0,4 (do a > 0). Ta xác định được tọa độ điểm E là E(0,5; 3). (H) đi qua điểm có tọa độ E(0,5; 3) nên: b = 4 (do b > 0). Vậy phương trình (H) là: $\frac{x^2}{0,16}-\frac{y^2}{16}=1$ (0,25). Gọi F là điểm thuộc hyperbol mà cột có độ cao 5 m. Ở độ cao 5 m thì khoảng cách từ vị trí F đó đến trục hoành là 2 m, tương ứng ta có tung độ điểm F là y = 2 suy ra hoành độ của F là x ≈ ± 0,45. Vậy độ rộng cần tìm là: 0,9m (0,25).

Gọi $F_1,F_2$ lần lượt là hai tiêu điểm của mảnh vườn hình elip, $M$ là điểm bất kỳ trên bờ vườn.
Theo đề ra ta có $\{\begin{array}{l}M{F}_1+M{F}_2=2a\\ F_1{F}_2=2c\end{array}$ suy ra $\{\begin{array}{l}2a=34\\ 2c=16\end{array}$ hay $\{\begin{array}{l}a=17\\ c=8\end{array}$
$b=\sqrt{a^2-c^2}=\sqrt{17^2-8^2}=15$.
Diện tích của elip $(E)$ là $S_1=\pi ab=\pi \cdot 17\cdot 15=255\pi$
Phương trình chính tắc của elip $(E)$: $\frac{x^2}{289}+\frac{y^2}{225}=1$ cắt trục $Oy$ tại $B(0;15)$ và $B^{\prime }(0;-15)$, suy ra đường tròn tiếp xúc với elip tại hai điểm $B(0;15)$ và $B^{\prime }(0;-15)$ nên đường tròn có bán kính $R=15$
Diện tích hình tròn là $S_2=\pi R^2=\pi \cdot 15^2=225\pi$
Vậy diện tích phần làm đường đi là
$S=S_1-S_2=255\pi -225\pi =30\pi \approx 94,25(m^2)$

Phương trình chính tắc của $(E):\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$.
Ta có: $2a=140\Rightarrow a=70,2b=100\Rightarrow b=50$.
Suy ra $(E):\frac{x^2}{4900}+\frac{y^2}{2500}=1$.
Chọn $M\left(x_M;y_M\right)$ là đỉnh hình chữ nhật và $x_M>0,y_M>0$.
Ta có: $\frac{x_M^2}{4900}+\frac{y_M^2}{2500}=1$.
Diện tích hình chữ nhật là
$S=4x_M\cdot y_M=7000\cdot 2\cdot \frac{x_M}{70}\cdot \frac{y_M}{50}\le 7000\left(\frac{x_M^2}{4900}+\frac{y_M^2}{2500}\right)=7000\left(m^2\right)$