Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: BPT/hệ BPT bậc nhất hai ẩn (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ (kg) là lượng sản phẩm loại I và loại II. Bài toán: $P=50x+40y$ (nghìn đồng) lớn nhất với $2x+4y\le 200$, $30x+15y\le 1200$, $x,y\ge 0$, tức $x+2y\le 100$, $2x+y\le 80$. Miền ràng buộc có các đỉnh: $(0;0)$, $(40;0)$, $(0;50)$, và giao điểm của $x+2y=100$, $2x+y=80$ là $(20;40)$. Tính $P$: tại $(40;0)$: $P=2000$; tại $(0;50)$: $P=2000$; tại $(20;40)$: $P=50\cdot 20+40\cdot 40=1000+1600=2600$ nghìn đồng $=2,6$ triệu đồng. Vậy lợi nhuận lớn nhất là $2,6$ triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, các đỉnh tam giác là $D(-7;6)$, $E(-2;-3)$, $F(5;3)$. Vì $M=-25x+26y$ là hàm bậc nhất nên GTLN trên tam giác đạt tại một đỉnh. Tại $D$: $M=25\cdot 7+26\cdot 6=175+156=331$. Tại $E$: $M=50-78=-28$. Tại $F$: $M=-125+78=-47$. Vậy $\max M=331$ tại $D$.

+) Gọi $x$ là số hecta (ha) đất trồng ngô và $y$ là số hecta đất trồng đậu xanh. ĐK: $x\ge 0$, $y\ge 0$.
Ta có hệ bất phương trình: $\{\begin{array}{l}x+y\le 8\\ 20x+30y\le 180\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x+y\le 8\\ 2x+3y\le 18\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}$ (0,25 đ)
+) Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình này trên hệ trục tọa độ $Oxy$, ta được miền tứ giác $OABC$ (Hình). Tọa độ các đỉnh của tứ giác đó là: $O(0;0)$; $A(0;6)$; $B(6;2)$; $C(8;0)$.
Gọi $F$ là số tiền (đơn vị: triệu đồng) bác An thu được, ta có: $F=40x+50y$.
Ta có: $F(O)=40.0+50.0=0$, $F(A)=40.0+50.6=300$, $F(B)=40.6+50.2=340$. $F(C)=40.8+50.0=320$.
$F$ đạt giá trị lớn nhất bằng 340 tại $B(6;2)$.
Vậy để thu được nhiều tiền nhất, bác An cần trồng 6 ha ngô và 2 ha đậu xanh. (0,25 đ)

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: trồng sắn trên $x$ hecta thu $20x$ triệu, khoai lang trên $y$ hecta thu $25y$ triệu, nên $F=20x+25y$, không phải $F=25x+20y$. b) Đúng: số ngày công là $10x+15y$. c) Đúng: tổng diện tích $x+y\le 4$, số ngày công $10x+15y\le 45$, và $x\ge 0,y\ge 0$. d) Đúng: tối đa $F=20x+25y$ với ràng buộc $x+y\le 4$, $2x+3y\le 9$. Tại $(4;0)$: $F=80$; tại $(0;3)$: $F=75$; tại giao điểm $x+y=4$, $2x+3y=9$ tức $(3;1)$: $F=60+25=85$ triệu đồng — lớn nhất. Khớp đáp án mã đề 102: SĐĐĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Số tiền thu được là $F=20x+25y$ (triệu đồng) vì sắn thu 20 triệu/hecta trên $x$ hecta và khoai lang thu 25 triệu/hecta trên $y$ hecta; biểu thức $F=25x+20y$ trong đề là sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Sắn cần 10 ngày công/hecta trên $x$ hecta và khoai lang cần 15 ngày công/hecta trên $y$ hecta, tổng số ngày công là $10x+15y$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tổng diện tích không quá 4 hecta: $x+y\le 4$; số ngày công không quá 45: $10x+15y\le 45$; diện tích trồng không âm: $x\ge 0,y\ge 0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tối ưu $F=20x+25y$ trên miền $x+y\le 4$, $2x+3y\le 9$, $x,y\ge 0$. Các đỉnh: $(4;0)\to F=80$; $(0;3)\to F=75$; giao điểm của $x+y=4$ và $2x+3y=9$ là $(3;1)\to F=60+25=85$. Giá trị lớn nhất là 85 triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: trồng x hecta ngô thu 40x triệu, y hecta đậu xanh thu 50y triệu nên F = 40x + 50y (triệu đồng), diện tích canh tác x + y (hecta). b) Đúng: số ngày công là 10x + 15y. c) Sai: mảnh đất rộng 8 hecta nên ràng buộc diện tích là x + y ≤ 8 (không phải x + y ≥ 8); hệ đúng là x + y ≤ 8, 10x + 15y ≤ 90, x ≥ 0, y ≥ 0. d) Sai: tối ưu F = 40x + 50y với x + y ≤ 8 và 2x + 3y ≤ 18. Tại (8;0): F = 320; tại (0;6): F = 300; tại giao điểm (6;2): F = 340. Vậy giá trị lớn nhất là 340 triệu đồng (tại x = 6, y = 2), không phải 300 triệu. Khớp đáp án mã đề 101: ĐĐSS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ (2) và (5): F = 40x + 50y (triệu đồng), diện tích canh tác là x + y (hecta).
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ (3) và (5): số ngày công cần trả là 10x + 15y.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đất rộng 8 hecta nên phải có x + y ≤ 8, không phải x + y ≥ 8.
d) (AI giải đề cho tôi)
Fmax = 340 triệu đồng tại (x; y) = (6; 2), không phải 300 triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng biên (vẽ nét đứt) đi qua hai điểm $(-2;0)$ và $(0;3)$, nên có phương trình: $\frac{x}{-2}+\frac{y}{3}=1\iff 3x-2y=-6$, tức $y=\frac{3}{2}x+3$.

Bất phương trình là $ax-2y>b$ với $a,b\in \mathbb{Z}$, vậy $a=3$, $b=-6$.

Kiểm tra miền nghiệm: lấy điểm $O(0;0)$ thuộc phần không gạch sọc (phía dưới đường thẳng, bên phải): $3\cdot 0-2\cdot 0=0>-6$ đúng, phù hợp với hình vẽ (miền không gạch sọc nằm dưới đường thẳng nét đứt).

Vậy $3a+4b=3\cdot 3+4\cdot (-6)=9-24=-15$, khớp với đáp án nguồn $-15$.

Gọi $x,y$ (chiếc) là số áo trắng, áo đen do nhà máy sản xuất $(x,y\in \mathbb{N})$. Số giờ làm việc tối đa của tổ cắt áo trong một ngày của nhà máy là $8.3=24$ giờ. Số giờ làm việc tối đa của tổ hoàn thiện áo trong một ngày của nhà máy là $8.4=32$ giờ. Số giờ cắt áo trắng và đen trong một ngày là $1,5x+y$ (giờ). Số giờ hoàn thiện áo trắng và đen trong một ngày là $x+2y$ (giờ) (0,25 điểm).
Ta có hệ bất phương trình:
$$\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ 1,5x+y\le 24\\ x+2y\le 32\\ 3x-y\ge 0\end{array}$$ (0,25)
[Hình cần kiểm tra lại: p9_f1] (0,25)
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác OABC với $O(0;0),A\left(\frac{32}{7};\frac{96}{7}\right),B(8;12),C(16;0)$.
Số tiền lãi thu được là $F(x;y)=15000x+18000y$ (đồng).
Số tiền lãi lớn nhất $F(8;12)=336000$ (đồng).
Vậy nhà máy cần sản xuất 8 áo trắng và 12 áo đen để tiền lãi thu được là nhiều nhất. (0,25)

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng biên đi qua hai điểm $(2;0)$ và $(0;3)$ (điểm cắt trục), nên phương trình đường thẳng là $\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=1$, tức $3x+2y=6$. Miền không bị gạch sọc nằm phía dưới trái đường thẳng (thử điểm $O(0;0)$: $3\cdot 0+2\cdot 0=0<6$ thuộc miền không gạch sọc), nên bất phương trình là $3x+2y<6$ với $a=3,b=2\in \mathbb{Z}$. Vậy $a-2b=3-2\cdot 2=-1$, trùng với đáp án nguồn.

Gọi $x,y$ (chiếc) là số áo trắng, áo đen do nhà máy sản xuất $(x,y\in \mathbb{N})$. Số giờ làm việc tối đa của tổ cắt áo trong một ngày của nhà máy là $8.3=24$ giờ. Số giờ làm việc tối đa của tổ hoàn thiện áo trong một ngày của nhà máy là $8.4=32$ giờ. Số giờ cắt áo trắng và đen trong một ngày là $1,5x+y$ (giờ). Số giờ hoàn thiện áo trắng và đen trong một ngày là $x+2y$ (giờ) (0,25 điểm).
Ta có hệ bất phương trình:
$$\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ 1,5x+y\le 24\\ x+2y\le 32\\ 3x-y\ge 0\end{array}$$ (0,25)
[Hình cần kiểm tra lại: p9_f1] (0,25)
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác OABC với $O(0;0),A\left(\frac{32}{7};\frac{96}{7}\right),B(8;12),C(16;0)$.
Số tiền lãi thu được là $F(x;y)=15000x+18000y$ (đồng).
Số tiền lãi lớn nhất $F(8;12)=336000$ (đồng).
Vậy nhà máy cần sản xuất 8 áo trắng và 12 áo đen để tiền lãi thu được là nhiều nhất. (0,25)

Đáp số: 12
Gọi $x,y\left(0\le x,y\le 12;x,y\in \mathbb{N}\right)$ lần lượt là số gói thực phẩm $X$ và thực phẩm $Y$ mà bà Hoà cần dùng trong một ngày.
Theo giả thiết ta có hệ phương trình: $$\{\begin{array}{l}0\le x\le 12\\ 0\le y\le 12\\ 20x+20y\ge 240\\ 20x+10y\ge 160\\ 10x+20y\ge 140\end{array}$$
Tổng số tiền cần mua hai loại thực phẩm $X$, $Y$ là: $F(x,y)=20x+25y$ (nghìn đồng).

Miền nghiệm của hệ phương trình là miền ngũ giác $ABCDE$ với $A(2;12)$, $B(12;12)$, $C(12;1)$, $D(10;2)$ và $E(4;8)$.
Khi đó, $F(2;12)=340$; $F(12;12)=540$, $F(12;1)=265$, $F(10;2)=250$ và $F(4;8)=280$.
Do đó giá trị nhỏ nhất của $F$ là $F=F(10,2)=250$ khi $x=10,y=2$.
Vậy tổng số gói thực phẩm $X$ và $Y$ là 12.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ lần lượt là số gói thực phẩm loại $X$ và $Y$ dùng mỗi ngày ($x,y$ nguyên, $0\le x,y\le 12$).

Ràng buộc dinh dưỡng:
- Canxi: $20x+20y\ge 240\iff x+y\ge 12$;
- Sắt: $20x+10y\ge 160\iff 2x+y\ge 16$;
- Vitamin B: $10x+20y\ge 140\iff x+2y\ge 14$.

Chi phí: $P=20000x+25000y=5000(4x+5y)$ (đồng), cần nhỏ nhất.

Vì $P$ tăng theo cả $x$ và $y$, tối ưu nằm trên biên $x+y=12$ (nếu $x+y\ge 13$ thì $P\ge 20000\cdot 13=260000$ đã lớn hơn nghiệm tìm dưới đây). Thay $y=12-x$:
- $2x+y=x+12\ge 16\iff x\ge 4$;
- $x+2y=24-x\ge 14\iff x\le 10$.

Trên đường thẳng này: $P=20000x+25000(12-x)=300000-5000x$, giảm khi $x$ tăng, nên $P$ nhỏ nhất tại $x=10$, $y=2$.

Kiểm tra $(x,y)=(10,2)$: canxi $200+40=240\ge 240$; sắt $200+20=220\ge 160$; vitamin B $100+40=140\ge 140$; mỗi loại không quá 12 gói. Chi phí $=10\cdot 20000+2\cdot 25000=250000$ đồng, nhỏ nhất.

Vậy tổng số gói cần dùng mỗi ngày là $x+y=10+2=12$ gói, trùng với đáp án nguồn (12).

Đáp án: 290.
Gọi $x$ là số hecta (ha) đất trồng ngô và $y$ là số hecta đất trồng đậu xanh ($x\ge 0$; $y\ge 0$).
+ Diện tích canh tác không vượt quá 6 ha nên $x+y\le 6$.
+ Số ngày công lao động không vượt quá 80 ngày nên số ngày công cần trả tiền là $10x+20y\le 80$.
Từ đó, hệ điều kiện ràng buộc: $\{\begin{array}{l}x+y\le 6\\ 10x+20y\le 80\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}$
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình này trên hệ trục tọa độ $Oxy$ ta được miền tứ giác $OABC$ (Hình). Tọa độ các đỉnh của tứ giác đó là: $O(0;0),A(0;4),B(4;2),C(6;0)$.

Gọi $F$ là số tiền (đơn vị: triệu đồng) bác An thu được, ta có: $F(x;y)=45x+55y$
$F(0;0)=0$
$F(0;4)=4\cdot 55=220$
$F(4;2)=4\cdot 45+2\cdot 55=290$
$F(6;0)=6\cdot 45=270$
$F$ đạt giá trị lớn nhất bằng 290 tại điểm B.
Vậy bác An thu được nhiều tiền nhất là 290 triệu đồng.

Đáp án: 260.
Gọi $x$ là số hecta (ha) đất trồng ngô và $y$ là số hecta đất trồng đậu xanh $(x\ge 0;y\ge 0)$.
+ Diện tích canh tác không vượt quá 6 ha nên $x+y\le 6$.
+ Số ngày công lao động không vượt quá 80 ngày nên số ngày công cần trả tiền là $10x+20y\le 80$.
Từ đó, hệ điều kiện ràng buộc: $\{\begin{array}{l}x+y\le 6\\ 10x+20y\le 80\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}$
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình này trên hệ trục tọa độ $Oxy$ ta được miền tứ giác $OABC$ (Hình). Tọa độ các đỉnh của tứ giác đó là: $O(0;0),A(0;4),B(4;2),C(6;0)$.
[Hình cần kiểm tra lại: p13_f1]
Gọi $F$ là số tiền (đơn vị: triệu đồng) bác An thu được, ta có: $F(x;y)=40x+50y$
$F(0;0)=0$
$F(4;0)=4.50=200$
$F(4;2)=4.40+2.50=260$
$F(6;0)=6.40=240$
$F$ đạt giá trị lớn nhất bằng 260 tại điểm B.
Vậy bác An thu được nhiều tiền nhất là 260 triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ (tấn) là lượng sản phẩm I và II sản xuất. Ràng buộc: $x+y\le 5$ (nguyên liệu A), $y\le 2$ (nguyên liệu B), $x+2y\le 6$ (nguyên liệu C), $x,y\ge 0$. Lợi nhuận $P=3x+5y$. Các đỉnh miền ràng buộc: $(0,0)$, $(5,0)$, giao của $x+y=5$ và $x+2y=6$ là $(4,1)$, $(0,2)$. Tính $P$: $P(5,0)=15$; $P(4,1)=12+5=17$; $P(0,2)=10$. Vậy lợi nhuận lớn nhất là $17$ triệu đồng tại $x=4,y=1$.

a) Sai. Tiền lãi cao nhất là 6480 nghìn đồng hay 6480000 đồng.
b) Sai. Gọi số lượng mũ kiểu thứ nhất và kiểu thứ hai mà phân xưởng cần sản xuất trong một ngày lần lượt là $x,y(x,y\ge 0,x,y\in \mathbb{Z})$. Thời gian để làm ra một chiếc mũ kiểu thứ hai là: $\frac{1}{60}$ (giờ). Thời gian để làm ra một chiếc mũ kiểu thứ nhất là: $2\cdot \frac{1}{60}=\frac{1}{30}$ (giờ). Thời gian để làm ra $x$ chiếc mũ kiểu thứ nhất và $y$ chiếc mũ kiểu thứ hai là: $\frac{1}{30}x+\frac{1}{60}y=\frac{2x+y}{60}$ (giờ). Tổng số tiền lãi thu được khi bán $x$ chiếc mũ kiểu thứ nhất và $y$ chiếc mũ kiểu thứ hai là: $T=24x+15y$ (nghìn đồng). Bài toán đưa về: Tìm các số nguyên $x,y$ là nghiệm của hệ bất phương trình: $\{\begin{array}{l}0\le x\le 200\\ 0\le y\le 240\\ 2x+y\le 480\end{array}(II)$ sao cho $T=24x+15y$ đạt giá trị lớn nhất. Miền nghiệm của hệ bất phương trình $(II)$ là miền ngũ giác $OABCD$ với $O(0;0),A(0;240)$, $B(120;240),C(200;80),D(200;0)$. Ta có biểu thức $T=24x+15y$ có giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của ngũ giác $OABCD$. Tính giá trị của biểu thức $T=24x+15y$ tại cặp số $(x;y)$ là tọa độ các đỉnh của ngũ giác $OABCD$ rồi so sánh các giá trị đó. Ta được $T$ đạt giá trị lớn nhất bằng 6480 khi $x=120,y=240$ ứng với tọa độ đỉnh $B$; không phải tại $(200;80)$.
c) Đúng. Thời gian để làm ra $x$ chiếc mũ kiểu thứ nhất và $y$ chiếc mũ kiểu thứ hai là $\frac{1}{30}x+\frac{1}{60}y=\frac{2x+y}{60}$ (giờ).
d) Sai. Theo giả thiết: $0\le x\le 200$, $0\le y\le 240$ và $2x+y\le 480$; hệ trong phát biểu d) đảo các giới hạn $x$, $y$.
a) Tiền lãi cao nhất là 6480 nghìn đồng hay 6480000 đồng, không phải 648000 đồng.
b) $T=24x+15y$ đạt giá trị lớn nhất bằng 6480 khi $x=120$, $y=240$ (đỉnh $B(120;240)$ của ngũ giác miền nghiệm), không phải tại $(200;80)$.
c) Thời gian để làm ra một chiếc mũ kiểu thứ hai là $\frac{1}{60}$ (giờ); thời gian để làm ra một chiếc mũ kiểu thứ nhất là $2\cdot \frac{1}{60}=\frac{1}{30}$ (giờ). Thời gian để làm ra $x$ chiếc mũ kiểu thứ nhất và $y$ chiếc mũ kiểu thứ hai là $\frac{1}{30}x+\frac{1}{60}y=\frac{2x+y}{60}$ (giờ).
d) Theo giả thiết: $0\le x\le 200$, $0\le y\le 240$ (thị trường tiêu thụ tối đa 200 chiếc mũ kiểu thứ nhất và 240 chiếc mũ kiểu thứ hai) và $2x+y\le 480$. Hệ trong phát biểu d) đảo các giới hạn $x$, $y$.

Gọi $x\ge 0$, $y\ge 0$ (tấn) là sản lượng cần sản xuất của sản phẩm $A$ và sản phẩm $B$ ta có: $x+6y$ là thời gian hoạt động của máy $I$; $2x+3y$ là thời gian hoạt động của máy $II$. $3x+2y$ là thời gian hoạt động của máy $III$; Số tiền lãi của nhà máy: $T=3x+9y$ (triệu đồng). Bài toán trở thành: Tìm $x\ge 0$, $y\ge 0$ thỏa mãn $\{\begin{array}{l}x+6y\le 30\\ 2x+3y\le 23\\ 3x+2y\le 27\end{array}$ (*) để $T=3x+9y$ đạt giá trị lớn nhất. Miền nghiệm của hệ (*) là phần miền ngũ giác không bị gạch chéo. Tìm giao điểm của các cặp đường thẳng ta được các đỉnh có tọa độ hữu hạn của miền nghiệm là: $O(0;0)$; $A(7;3)$; $B(9;0)$; $C(0;5)$; $D\left(\frac{16}{3};\frac{37}{9}\right)$. Thay tọa độ các điểm này vào biểu thức $T$ ta được: $T$ đạt giá trị lớn nhất tại điểm D, tức là khi $x=\frac{16}{3}$; $y=\frac{37}{9}$. Vậy nhà máy cần sản xuất $\frac{16}{3}$ tấn sản phẩm $A$ và $\frac{37}{9}$ tấn sản phẩm $B$ để tiền lãi được nhiều nhất và số tiền lãi nhiều nhất là 53 (triệu đồng).

(AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm là tam giác với các đỉnh là giao điểm của các đường thẳng: $2x+3y=6$ với $x=0$ cho $A(0;2)$; $2x-3y=1$ với $x=0$ cho $B(0;-\frac{1}{3})$; hai đường $2x+3y=6$ và $2x-3y=1$ cắt nhau tại $C(\frac{7}{4};\frac{5}{6})$ (cộng hai phương trình: $4x=7$). Diện tích tam giác: đáy $AB=2-(-\frac{1}{3})=\frac{7}{3}$, chiều cao (khoảng cách từ $C$ đến trục $Oy$) $=\frac{7}{4}$, nên $S=\frac{1}{2}\cdot \frac{7}{3}\cdot \frac{7}{4}=\frac{49}{24}$. Vậy $m=49$, $n=24$, $m+n=73$, khớp đáp án nguồn.

a) Sai. Theo giả thiết, $x$ và $y$ phải thoả mãn: $0\le x\le 200$, $0\le y\le 240$; $\frac{2x+y}{60}\le 8$ hay $2x+y\le 480$. Vậy hệ đúng phải có $2x+y\le 480$.
b) Đúng. Gọi số lượng mũ kiểu thứ nhất và kiểu thứ hai mà phân xưởng cần sản xuất trong một ngày lần lượt là $x,y(x,y\ge 0,x,y\in \mathbb{Z})$. Thời gian để làm ra một chiếc mũ kiểu thứ hai là: $\frac{1}{60}$ (giờ). Thời gian để làm ra một chiếc mũ kiểu thứ nhất là: $2\cdot \frac{1}{60}=\frac{1}{30}$ (giờ). Thời gian để làm ra $x$ chiếc mũ kiểu thứ nhất và $y$ chiếc mũ kiểu thứ hai là: $\frac{1}{30}x+\frac{1}{60}y=\frac{2x+y}{60}$ (giờ). Tổng số tiền lãi thu được khi bán $x$ chiếc mũ kiểu thứ nhất và $y$ chiếc mũ kiểu thứ hai là: $T=24x+15y$ (nghìn đồng). Bài toán đưa về: Tìm các số nguyên $x,y$ là nghiệm của hệ bất phương trình: $\{\begin{array}{l}0\le x\le 200\\ 0\le y\le 240\\ 2x+y\le 480\end{array}(II)$ sao cho $T=24x+15y$ đạt giá trị lớn nhất. Miền nghiệm của hệ bất phương trình $(II)$ là miền ngũ giác $OABCD$ với $O(0;0),A(0;240)$, $B(120;240),C(200;80),D(200;0)$. Ta có biểu thức $T=24x+15y$ có giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của ngũ giác $OABCD$. Tính giá trị của biểu thức $T=24x+15y$ tại cặp số $(x;y)$ là tọa độ các đỉnh của ngũ giác $OABCD$ rồi so sánh các giá trị đó. Ta được $T$ đạt giá trị lớn nhất bằng 6480 khi $x=120,y=240$ ứng với tọa độ đỉnh $B$.
c) Đúng. Vậy để thu được tiền lãi là cao nhất thì trong một ngày, phân xưởng cần sản xuất 120 chiếc mũ kiểu thứ nhất và 240 chiếc mũ kiểu thứ hai. Khi đó tiền lãi thu được là 6480 nghìn đồng hay 6480000 đồng.
d) Sai. Thời gian để làm ra $x$ chiếc mũ kiểu thứ nhất và $y$ chiếc mũ kiểu thứ hai là $\frac{1}{30}x+\frac{1}{60}y=\frac{2x+y}{60}$ (giờ).
a) Theo giả thiết, $x$ và $y$ phải thoả mãn các điều kiện: $0\le x\le 200$, $0\le y\le 240$; $\frac{2x+y}{60}\le 8$ hay $2x+y\le 480$. Vậy hệ bất phương trình đúng phải có $2x+y\le 480$, không phải $2x+y\ge 480$.
b) Miền nghiệm của hệ bất phương trình $(II)$ là miền ngũ giác $OABCD$ với $O(0;0)$, $A(0;240)$, $B(120;240)$, $C(200;80)$, $D(200;0)$. Biểu thức $T=24x+15y$ có giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của ngũ giác $OABCD$. Tính giá trị của $T$ tại tọa độ các đỉnh rồi so sánh, ta được $T$ đạt giá trị lớn nhất bằng 6480 khi $x=120$, $y=240$ ứng với tọa độ đỉnh $B$.
c) Để thu được tiền lãi là cao nhất thì trong một ngày, phân xưởng cần sản xuất 120 chiếc mũ kiểu thứ nhất và 240 chiếc mũ kiểu thứ hai. Khi đó tiền lãi thu được là 6480 nghìn đồng hay 6480000 đồng.
d) Thời gian để làm ra một chiếc mũ kiểu thứ hai là: $\frac{1}{60}$ (giờ). Thời gian để làm ra một chiếc mũ kiểu thứ nhất là: $2\cdot \frac{1}{60}=\frac{1}{30}$ (giờ). Thời gian để làm ra $x$ chiếc mũ kiểu thứ nhất và $y$ chiếc mũ kiểu thứ hai là: $\frac{1}{30}x+\frac{1}{60}y=\frac{2x+y}{60}$ (giờ), không phải $\frac{2x-y}{60}$.

Gọi $x\ge 0$, $y\ge 0$ (tấn) là sản lượng cần sản xuất của sản phẩm $A$ và sản phẩm $B$ ta có: $x+6y$ là thời gian hoạt động của máy $I$; $2x+3y$ là thời gian hoạt động của máy $II$. $3x+2y$ là thời gian hoạt động của máy $III$; Số tiền lãi của nhà máy: $T=4x+3y$ (triệu đồng). Bài toán trở thành: Tìm $x\ge 0$, $y\ge 0$ thỏa mãn $\{\begin{array}{l}x+6y\le 36\\ 2x+3y\le 23\\ 3x+2y\le 27\end{array}$ (*) để $T=4x+3y$ đạt giá trị lớn nhất. Miền nghiệm của hệ (*) là phần miền ngũ giác không bị gạch chéo. Tìm giao điểm của các cặp đường thẳng ta được các đỉnh có tọa độ hữu hạn của miền nghiệm là: $$O(0;0);A(7;3);B(9;0);C(0;6);D\left(\frac{10}{3};\frac{49}{9}\right)$$ Thay tọa độ các điểm này vào biểu thức $T$ ta được: $T$ đạt giá trị lớn nhất tại điểm $A$, tức là khi $x=7;y=3$. Vậy $2x+y=17$.

(AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm là tam giác với các đỉnh: giao của $x=0$ và $5x-4y=10$ là $A(0;-\frac{5}{2})$; giao của $x=0$ và $4x+5y=10$ là $B(0;2)$; giao của $5x-4y=10$ và $4x+5y=10$: cộng theo hệ $25x-20y=50$, $16x+20y=40$ được $41x=90\Rightarrow x=\frac{90}{41}$, $y=\frac{10}{41}$, tức $C\left(\frac{90}{41};\frac{10}{41}\right)$. Diện tích tam giác $ABC$: đáy $AB=2-(-\frac{5}{2})=\frac{9}{2}$ trên trục $Oy$, chiều cao là hoành độ của $C$ là $\frac{90}{41}$. Vậy $S=\frac{1}{2}\cdot \frac{9}{2}\cdot \frac{90}{41}=\frac{405}{82}$, tối giản với $m=405,n=82$. Do đó $m-2n=405-164=241$, khớp đáp án nguồn.