Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: BPT mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình ${\log }_{\frac{1}{2}}(x+1)<{\log }_{\frac{1}{2}}(2x-1)$. Điều kiện: $x+1>0$ và $2x-1>0\Rightarrow x>\frac{1}{2}$. Vì cơ số $\frac{1}{2}\in (0;1)$ nên hàm logarit nghịch biến, do đó bất phương trình tương đương $x+1>2x-1\Rightarrow x<2$. Kết hợp điều kiện: $S=\left(\frac{1}{2};2\right)$. Kết quả trùng với đáp án D trong nguồn.

Chọn C. Bất phương trình tương đương $2^{3x-4}>2^{2x}\iff 3x-4>2x\iff x>4$. Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $(4;+\infty )$.

Chọn D. Ta có ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-3x^2}<3^{2x+1}\iff 3^{3x^2}<3^{2x+1}\iff 3x^2<2x+1\iff \frac{-1}{3}<x<1$. Vậy $S=\left(\frac{-1}{3};1\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
**1.1.** Điều kiện: $\frac{1}{x}>0$, $\frac{1}{x}\ne 1$, tức $x>0$, $x\ne 1$.

Ta có ${\log }_{\frac{1}{x}}0,5=\frac{\ln 0,5}{\ln \frac{1}{x}}=\frac{-\ln 2}{-\ln x}=\frac{\ln 2}{\ln x}$.

Bất phương trình trở thành $-1<\frac{\ln 2}{\ln x}<-0,5$. Vì $\ln 2>0$ nên vế giữa phải âm, do đó $\ln x<0$, tức $0<x<1$.

Nhân các vế với $\ln x<0$ (đổi chiều bất đẳng thức):
- $-1<\frac{\ln 2}{\ln x}\iff \ln 2<-\ln x\iff \ln x<-\ln 2\iff x<\frac{1}{2}$.
- $\frac{\ln 2}{\ln x}<-0,5\iff \ln 2>-0,5\ln x\iff \ln x>-2\ln 2=\ln \frac{1}{4}\iff x>\frac{1}{4}$.

Vậy $\frac{1}{4}<x<\frac{1}{2}$.

**1.2.** Huyết áp bằng 100 mmHg khi $P(t)=100\iff \sin \left(\frac{7\pi }{3}t\right)=0\iff \frac{7\pi }{3}t=k\pi \iff t=\frac{3k}{7}$, $k\in \mathbb{Z}$.

Với $t\in [0;1]$: $0\le \frac{3k}{7}\le 1\iff 0\le k\le \frac{7}{3}$, nên $k=0,1,2$, cho $t=0$; $\frac{3}{7}$; $\frac{6}{7}$.

Vậy trong khoảng từ 0 đến 1 giây, huyết áp bằng 100 mmHg tại **3 thời điểm**: $t=0$ giây, $t=\frac{3}{7}$ giây và $t=\frac{6}{7}$ giây (tại $t=1$ thì $\sin \frac{7\pi }{3}=\sin \frac{\pi }{3}\ne 0$).

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình $2^x>7$. Vì hàm số $y=2^x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$, lấy logarit cơ số 2 hai vế: $2^x>7\iff x>{\log }_{2}7$. Vậy tập nghiệm là $S=({\log }_{2}7;+\infty )$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (C) trong bảng đáp án mã đề 112.

(AI giải đề cho tôi)
Vì cơ số $3>1$, hàm số $3^x$ đồng biến nên $3^x>5\iff x>{\log }_{3}5$. Vậy tập nghiệm là $S=({\log }_{3}5;+\infty )$. Kết quả này trùng với đáp án B trong đề và bảng đáp án (Câu 5, mã đề 111: B).

${\left(\frac{1}{5}\right)}^{2x+3}\ge \frac{1}{5}\iff 2x+3\le 1\iff 2x\le -2\iff x\le -1$. (Thang điểm: 0,25 + 0,25 + 0,25; tổng câu: 0,75)

${\left(\frac{1}{3}\right)}^{2x-1}\ge \frac{1}{3}\iff 2x-1\le 1\iff 2x\le 2\iff x\le 1$. (Thang điểm: 0,25 + 0,25 + 0,25; tổng câu: 0,75)

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x>0$. Bất phương trình ${\log }_{9}x\le \frac{1}{2}$ với cơ số $9>1$ nên $x\le 9^{1/2}=3$. Kết hợp điều kiện $x>0$ ta được $0<x\le 3$, tức tập nghiệm $(0;3]$. Đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1012, câu 1: A).

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình ${\log }_{4}x<\frac{1}{2}$ có điều kiện $x>0$. Vì cơ số $4>1$ nên ${\log }_{4}x<\frac{1}{2}={\log }_{4}2\iff x<2$. Kết hợp với điều kiện $x>0$ ta được $0<x<2$, tức tập nghiệm là $(0;2)$. Đáp án A, trùng với đáp án mã đề 1011 (Câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\frac{1}{9}=3^{-2}$, nên bất phương trình $3^{x+2}\ge \frac{1}{9}$ trở thành $3^{x+2}\ge 3^{-2}$. Vì cơ số $3>1$, hàm số đồng biến nên $x+2\ge -2\iff x\ge -4$. Vậy $S=[-4;+\infty )$, khớp với đáp án D trong bảng đáp án (mã đề 1102, câu 3: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $3^{x+2}\ge \frac{1}{9}=3^{-2}$. Vì cơ số $3>1$ nên $x+2\ge -2\iff x\ge -4$. Vậy $S=[-4;+\infty )$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 2, mã đề 1101: A).

a) ĐK: $x<2$ …
BPT $\iff 2-x\le 8\to x\ge -6$. Vậy nghiệm của bất phương trình là $-6\le x<2$. (0,25 + 0,25 điểm)

b) $65+93\log d=160\iff \log d=\frac{95}{93}$
$\iff d=10^{\frac{95}{93}}\approx 10,5$. KL:... HS bám máy tính : 0,25 toàn bài. (0,25 + 0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình $2^{x+1}\le 4=2^2$. Vì hàm số $y=2^t$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên $2^{x+1}\le 2^2\iff x+1\le 2\iff x\le 1$. Vậy tập nghiệm là $S=(-\infty ;1]$, khớp với đáp án C trong đề và bảng đáp án (Mã đề 112, câu 5: C).

a) Giải: ĐK: $x<1$
BPT $\iff x\ge -2$. Vậy nghiệm của bất phương trình là $-2\le x<1$. (0,25 + 0,25 điểm)

b) $65+93\log d=150\iff \log d=\frac{85}{93}$
$\iff d=10^{\frac{85}{93}}\approx 8,2$. HS bấm máy tính : 0,25 toàn bài. (0,25 + 0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình $3^{x+1}\ge 9=3^2$. Vì hàm số $y=3^t$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên $3^{x+1}\ge 3^2\iff x+1\ge 2\iff x\ge 1$. Vậy tập nghiệm là $S=[1;+\infty )$. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (Mã đề 111, Câu 3: D).

Ta có: $2^x>4\iff 2^x>2^2\iff x>2$. Vậy tập nghiệm là $(2;+\infty )$.
Chọn đáp án (B).

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x+1>0\iff x>-1$. Ta có ${\log }_{\frac{1}{9}}16={\log }_{3^{-2}}16=-\frac{1}{2}{\log }_{3}16=-{\log }_{3}4$. Bất phương trình trở thành ${\log }_3(x+1)-{\log }_{3}4\le 1\iff {\log }_3\frac{x+1}{4}\le 1\iff \frac{x+1}{4}\le 3\iff x\le 11$. Kết hợp điều kiện: $-1<x\le 11$, các số nguyên là $0,1,2,\dots ,11$, tổng cộng 12 số. Kết quả trùng với đáp án nguồn (12).

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x-2>0\iff x>2$. Ta có ${\log }_{\frac{1}{4}}25={\log }_{2^{-2}}25=\frac{{\log }_{2}25}{-2}=-{\log }_{2}5$. Bất phương trình trở thành ${\log }_2(x-2)-{\log }_{2}5\le 1\iff {\log }_2\frac{x-2}{5}\le 1\iff \frac{x-2}{5}\le 2\iff x-2\le 10\iff x\le 12$. Kết hợp điều kiện: $2<x\le 12$, các số nguyên $x\in \{3,4,\dots ,12\}$, gồm $10$ số. Kết quả khớp đáp án nguồn (10).

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x-1>0\iff x>1$. Bất phương trình $\log (x-1)\le 2\iff x-1\le 10^2=100\iff x\le 101$. Vậy $S=(1;101]$, tức $a=1$, $b=101$, nên $a-b=1-101=-100$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (đề 102, Phần III Câu 1: $-100$).