Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: BPT mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x-2>0\iff x>2$. Bất phương trình $\log (x-2)\le 3\iff x-2\le 10^3=1000\iff x\le 1002$. Vậy $S=(2;1002]$, tức $a=2$, $b=1002$, nên $a+b=1004$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (1004).

(AI giải đề cho tôi)
Vì cơ số $0,5\in (0;1)$ nên hàm số nghịch biến, bất phương trình tương đương $2x^2-x+1\le 2x+6$, tức $2x^2-3x-5\le 0$. Phương trình $2x^2-3x-5=0$ có nghiệm $x=-1$ và $x=\frac{5}{2}$, nên tập nghiệm $[-1;\frac{5}{2}]$, do đó $a=-1,b=\frac{5}{2}$ và $T=3(-1)+2\cdot \frac{5}{2}=-3+5=2$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (2).

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình $4^x>2^{x+1}$ tương đương $2^{2x}>2^{x+1}$. Vì cơ số $2>1$ nên $2x>x+1$, suy ra $x>1$. Vậy $S=(1;+\infty )$, khớp với đáp án A trong bảng đáp án (mã đề 102, câu 2: A).

(AI giải đề cho tôi)
Vì cơ số $0<0,7<1$ nên hàm số nghịch biến, bất phương trình tương đương $3x^2-x+1\le x+6$, tức $3x^2-2x-5\le 0$. Phân tích $3x^2-2x-5=(3x-5)(x+1)$, suy ra nghiệm $-1\le x\le \frac{5}{3}$. Vậy $a=-1$, $b=\frac{5}{3}$ và $T=2a+3b=2(-1)+3\cdot \frac{5}{3}=-2+5=3$. Kết quả khớp với đáp án nguồn là 3.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình $4^x<2^{x+1}$ tương đương $2^{2x}<2^{x+1}$. Vì cơ số $2>1$ nên $2x<x+1$, suy ra $x<1$. Vậy $S=(-\infty ;1)$, khớp với đáp án B trong đề và bảng đáp án (Câu 2, Mã đề 101: B).

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x-2>0\iff x>2$. Vì cơ số $\frac{1}{6}\in (0;1)$ nên hàm log nghịch biến: ${\log }_{\frac{1}{6}}(x-2)>-1\iff x-2<{\left(\frac{1}{6}\right)}^{-1}=6\iff x<8$. Kết hợp điều kiện: $2<x<8$, tập nghiệm $S=(2;8)$. Khớp với đáp án B trong đề.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x-2>0\iff x>2$. Vì cơ số $\frac{1}{6}\in (0;1)$, bất phương trình ${\log }_{\frac{1}{6}}(x-2)>-1$ tương đương $x-2<{\left(\frac{1}{6}\right)}^{-1}=6$, tức $x<8$. Kết hợp điều kiện: $2<x<8$. Vậy tập nghiệm là $(2;8)$, khớp đáp án B trong đề và bảng đáp án (đề 0101, câu 12: B).

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x-1>0\iff x>1$. Bất phương trình ${\log }_3(x-1)<2\iff x-1<9\iff x<10$. Vậy tập nghiệm là $1<x<10$, các nghiệm nguyên là $x\in \{2,3,4,5,6,7,8,9\}$, gồm $8$ nghiệm. Kết quả trùng với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x-1>0\iff x>1$. Bất phương trình ${\log }_3(x-1)<2\iff x-1<9\iff x<10$. Vậy $1<x<10$, các nghiệm nguyên là $x\in \{2,3,4,5,6,7,8,9\}$, tổng cộng 8 nghiệm. Khớp với đáp án nguồn C.

Vì cơ số $0<\frac{3}{4}<1$ nên bất phương trình đảo chiều:
$x^2-3x+2<x-1\iff x^2-4x+3<0\iff 1<x<3$.
Suy ra tập nghiệm $S=(1;3)\Rightarrow a=1,b=3$. Vậy $b-a=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x<8={\left(\frac{1}{2}\right)}^{-3}$. Vì cơ số $0<\frac{1}{2}<1$ nên hàm số nghịch biến, do đó $x>-3$. Vậy tập nghiệm $S=(-3;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì cơ số $\sqrt{3}-\sqrt{2}\in (0;1)$, so sánh hai lũy thừa đảo chiều số mũ: $x^2+1\le 3x-1\iff x^2-3x+2\le 0\iff 1\le x\le 2$. Tập nghiệm có các giá trị nguyên $x=1,x=2$, tức 2 giá trị nguyên. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $N(t)=100e^{0.02t}$ với $0<t\le 30$, nên $N^{\prime }(t)=100\cdot 0.02e^{0.02t}=2e^{0.02t}$ (triệu người/năm).

Tốc độ gia tăng dân số lớn hơn 3 triệu người/năm khi:
$$N^{\prime }(t)>3\iff 2e^{0.02t}>3\iff e^{0.02t}>\frac{3}{2}\iff 0.02t>\ln \frac{3}{2}\iff t>50\ln \frac{3}{2}.$$

Vì $\ln \frac{3}{2}\approx 0.405465$, nên $t>50\cdot 0.405465\approx 20.27$ năm, và giá trị này thỏa mãn điều kiện $0<t\le 30$.

Kết luận: Sau hơn $50\ln \frac{3}{2}\approx 20.27$ năm (tức từ khoảng năm 2046 trở đi) thì tốc độ gia tăng dân số nước $X$ lớn hơn 3 triệu người/năm.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $2x-3>0\iff x>\frac{3}{2}$. Vì cơ số $\frac{1}{5}\in (0;1)$ nên hàm log nghịch biến: ${\log }_{\frac{1}{5}}(2x-3)<-1\iff 2x-3>{\left(\frac{1}{5}\right)}^{-1}=5\iff x>4$. Kết hợp điều kiện, tập nghiệm là $(4;+\infty )$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình ${\log }_{\frac{1}{3}}(3x-1)\ge {\log }_{\frac{1}{3}}(2x+1)$. Điều kiện: $3x-1>0\iff x>\frac{1}{3}$ (khi đó $2x+1>0$ tự thỏa). Vì cơ số $\frac{1}{3}\in (0;1)$ nên hàm log nghịch biến, do đó $3x-1\le 2x+1\iff x\le 2$. Kết hợp điều kiện: $\frac{1}{3}<x\le 2$, tức tập nghiệm $\left(\frac{1}{3};2\right]$. Kết quả trùng với đáp án in đậm trong đề gốc: C.

Ta có điều kiện là: $x^2+y^2+2>0$ (luôn đúng) và $xy+1>0$

Xét: ${\log }_2\left(x^2+y^2+2\right)\le 1+{\log }_2(xy+1)$
$\iff {\log }_2\left(x^2+y^2+2\right)\le {\log }_2(2)+{\log }_2(xy+1)$
$\iff {\log }_2\left(x^2+y^2+2\right)\le {\log }_2(2xy+1)$
$\iff (x-y{)}^2\le 0$

Do $(x-y{)}^2\ge 0$ với mọi $x,y$ nên đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y$

Ta có: $\{\begin{array}{l}x=y\\ x+y=m\end{array}$

Suy ra $x=\frac{m}{2}$; $y=\frac{m}{2}$. Xét điều kiện $xy+1>0\iff \frac{m^2}{4}+1>0$ (đúng)

Vì vậy điều kiện của m là $m\in \mathbb{R}$

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $2x-1>0\iff x>\frac{1}{2}$. Bất phương trình ${\log }_2(2x-1)\le 1\iff 2x-1\le 2\iff x\le \frac{3}{2}$. Kết hợp điều kiện: $\frac{1}{2}<x\le \frac{3}{2}$, tức tập nghiệm $\left(\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right]$. Khớp với đáp án C trong bảng đáp án (mã đề 1102).

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $2x-1>0\iff x>\frac{1}{2}$. Bất phương trình ${\log }_2(2x-1)\le 1\iff 2x-1\le 2\iff x\le \frac{3}{2}$. Kết hợp điều kiện: $\frac{1}{2}<x\le \frac{3}{2}$, tức tập nghiệm $\left(\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right]$. Khớp với đáp án B trong đề.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 1a) Điều kiện: $3x+10\ge 0⟺x\ge -\frac{10}{3}$.

Đặt $t=\sqrt{3x+10}\ge 0$, suy ra $x=\frac{t^2-10}{3}$. Phương trình trở thành
$${\left(\frac{t^2-10}{3}\right)}^2+\frac{t^2-10}{3}+t=10.$$
Nhân hai vế với $9$:
$$(t^2-10{)}^2+3(t^2-10)+9t=90⟺t^4-17t^2+9t-20=0.$$
Phân tích: $t^4-17t^2+9t-20=(t-4)(t^3+4t^2-t+5)=0$.

Xét $g(t)=t^3+4t^2-t+5$ với $t\ge 0$: $g^{\prime }(t)=3t^2+8t-1$ có nghiệm dương $t_0=\frac{-8+\sqrt{76}}{6}\approx 0,12$; trên $[0;t_0]$ hàm giảm và $g(t_0)\approx 4,94>0$, trên $[t_0;+\infty )$ hàm tăng nên $g(t)>0$ với mọi $t\ge 0$. Vậy phương trình vô nghiệm trên nhánh này.

Do đó $t=4\Rightarrow \sqrt{3x+10}=4⟺3x+10=16⟺x=2$. Thử lại: $2^2+2+\sqrt{16}=4+2+4=10$ (thỏa mãn).

Kết luận: $S=\{2\}$.

Bài 1b) Điều kiện: $x>0$ (khi đó $5x>0$ tự thỏa).

Với $x>0$: ${\log }_9{x}^2=\frac{{\log }_3{x}^2}{{\log }_{3}9}=\frac{2{\log }_{3}x}{2}={\log }_{3}x$ và ${\log }_{3}5x={\log }_{3}5+{\log }_{3}x$.

Bất phương trình trở thành
$${\log }_{3}x+{\log }_{3}x+5\le {\log }_{3}5+{\log }_{3}x+9$$
$$⟺{\log }_{3}x\le 4+{\log }_{3}5={\log }_3(81\cdot 5)={\log }_{3}405$$
$$⟺x\le 405.$$

Kết hợp điều kiện $x>0$: tập nghiệm của bất phương trình là $S=(0;405]$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $2x-1>0\Rightarrow x>\frac{1}{2}$. Vì cơ số $27>1$, bất phương trình tương đương $2x-1<27^{1/3}=3\Rightarrow x<2$. Kết hợp điều kiện: $\frac{1}{2}<x<2$. Vậy tập nghiệm là $\left(\frac{1}{2};2\right)$, tương ứng phương án C.