Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: BPT mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Do cơ số $2x+2y+3\ge 3>1$, bất phương trình ${\log }_{2x+2y+3}(x^2+y^2+1)\le 1$ tương đương $x^2+y^2+1\le 2x+2y+3$, tức $(x-1{)}^2+(y-1{)}^2\le 3$. Vậy tập hợp các điểm là phần nằm trong góc phần tư thứ nhất của đường tròn tâm $I(1;1)$ bán kính $R=\sqrt{3}$.

Ta có $F=x^2+y^2-10x-8y=(x-5{)}^2+(y-4{)}^2-41$, tức $F+41$ bằng bình phương khoảng cách từ $(x;y)$ đến điểm $A(5;4)$.

**Giá trị nhỏ nhất $m$:** Điểm gần $A$ nhất trong miền là $I+R\cdot \frac{\overrightarrow{IA}}{|IA|}$ với $|IA|=5$. Điểm này có tọa độ $\left(1+\frac{3\sqrt{3}}{5};1+\frac{4\sqrt{3}}{5}\right)$, đều dương nên thuộc miền. Khi đó khoảng cách là $5-\sqrt{3}$, suy ra $m=(5-\sqrt{3}{)}^2-41=28-10\sqrt{3}-41=-13-10\sqrt{3}$.

**Giá trị lớn nhất $M$:** Điểm xa $A$ nhất (không ràng buộc) là $\left(1-\frac{3\sqrt{3}}{5};1-\frac{4\sqrt{3}}{5}\right)$ nhưng có tọa độ âm, không thuộc miền. Đường tròn cắt trục $Oy$ tại $(0;1\pm \sqrt{2})$, chỉ lấy $(0;1+\sqrt{2})$; cắt trục $Ox$ tại $(1+\sqrt{2};0)$. Trên cung tròn trong góc phần tư thứ nhất, khoảng cách đến $A(5;4)$ lớn nhất tại $(0;1+\sqrt{2})$: bình phương khoảng cách $=25+(3-\sqrt{2}{)}^2=36-6\sqrt{2}$ (so sánh với $(1+\sqrt{2};0)$: $34-8\sqrt{2}$ nhỏ hơn). Vậy $M=36-6\sqrt{2}-41=-5-6\sqrt{2}$.

**Tính $T$:**
$$T=|9M+m|=|9(-5-6\sqrt{2})+(-13-10\sqrt{3})|=|-58-54\sqrt{2}-10\sqrt{3}|=58+54\sqrt{2}+10\sqrt{3}.$$

Vậy $T=58+54\sqrt{2}+10\sqrt{3}\approx 151,69$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $3^{x^2+2x}<27=3^3$. Vì cơ số $3>1$ nên $x^2+2x<3$, tức $x^2+2x-3<0$, tương đương $(x+3)(x-1)<0$. Vậy tập nghiệm là $-3<x<1$, tức $(a,b)=(-3;1)$ với $a=-3$, $b=1$. Do đó $S=2a+b=2(-3)+1=-5$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình thứ nhất: $x^2+y^2-4x+2y+4=0\iff (x-2{)}^2+(y+1{)}^2=1$: đường tròn tâm $I(2;-1)$ bán kính $1$, nên $y\in [-2;0]$ và trên đường tròn có $x^2+y^2=4x-2y-4$.

Điều kiện logarit: cơ số $x^2+y^2+2\ge (\sqrt{5}-1{)}^2+2=8-2\sqrt{5}>1$, nên bất đẳng thức ${\log }_{x^2+y^2+2}(4x+4y-6+m^2)\ge 1$ tương đương với
$$4x+4y-6+m^2\ge x^2+y^2+2.$$
Thay $x^2+y^2=4x-2y-4$ vào vế phải, bất đẳng thức trở thành
$$4x+4y-6+m^2\ge 4x-2y-2\iff m^2\ge 4-6y\iff y\ge \frac{4-m^2}{6}.$$(Khi đó dấu bằng cho thấy argument $\ge x^2+y^2+2>0$, nên điều kiện xác định logarit tự thỏa mãn.)

Vậy số cặp $(x,y)$ thỏa mãn bằng số điểm trên đường tròn có tung độ $y\ge t$ với $t=\frac{4-m^2}{6}$. Vì tập này là một cung tròn (vô số điểm) trừ khi nó rỗng hoặc gồm đúng một điểm:
- Nếu $t\le -2$ (tức $m^2\le -8$: vô nghiệm) hoặc $t>0$ ($m^2<4$... thực tế $t>0\iff m^2>4$): xét kỹ — nếu $t>0$ thì không có điểm nào; nếu $-2<t<0$ (tức $-8<m^2<4$, cụ thể $0\le m^2<4$) thì có vô số điểm; nếu $t\le -2$ thì cũng vô số điểm (toàn bộ đường tròn) — trường hợp này không xảy ra vì $m^2\ge 0$.
- Duy nhất một điểm khi và chỉ khi $t=0$, tức $m^2=4$, khi đó chỉ có điểm $y=0$, suy ra $(x-2{)}^2=0$, tức $(x,y)=(2;0)$.

Kiểm tra: tại $(2;0)$, cơ số $=4+0+2=6>1$, argument $=8+0-6+4=6>0$, ${\log }_{6}6=1\ge 1$ ✓.

Vậy $m=\pm 2$, tức $m\in \{-2;2\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{36}{25}={\left(\frac{6}{5}\right)}^2={\left(\frac{5}{6}\right)}^{-2}$ và cơ số $\frac{5}{6}<1$, bất phương trình ${\left(\frac{5}{6}\right)}^{x^2-3x-12}\ge {\left(\frac{5}{6}\right)}^{-2}$ tương đương $x^2-3x-12\le -2$, tức $x^2-3x-10\le 0\iff (x-5)(x+2)\le 0\iff -2\le x\le 5$. Các nghiệm nguyên: $-2,-1,0,1,2,3,4,5$ gồm 8 giá trị. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện log: do $x^2+y^2\ge 16$ nên $(x,y)\ne (0,0)$, cơ số $x^2+2y^2+1>1$. Khi đó ${\log }_{x^2+2y^2+1}(y^2+8x+1)\ge 1⟺y^2+8x+1\ge x^2+2y^2+1⟺x^2+y^2\le 8x$, tức $(x-4{)}^2+y^2\le 16$. Kết hợp $x^2+y^2\ge 16$ với $x,y$ nguyên không âm, liệt kê được các điểm: $(4,0),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(5,0),(5,1),(5,2),(5,3),(6,0),(6,1),(6,2),(6,3),(7,0),(7,1),(7,2),(8,0)$. (Lưu ý điểm $(3,3)$ cũng thuộc $(x-4{)}^2+y^2\le 16$ và $x^2+y^2=18\ge 16$, nhưng thay vào phương trình $mx+y-1-3m=0$ được $3m+3-1-3m=2\ne 0$, nên $(3,3)$ không cho giá trị $m$ nào.) Phương trình $mx+y-1-3m=0⟺m(x-3)=1-y$ là họ đường thẳng qua điểm cố định $P(3,1)$, không thuộc tập điểm trên. Với mỗi điểm $(x,y)$ có $m=\frac{y-1}{3-x}$: $(4,0)\to 1$; $(4,1)\to 0$; $(4,2)\to -1$; $(4,3)\to -2$; $(4,4)\to -3$; $(5,0)\to \frac{1}{2}$; $(5,1)\to 0$; $(5,2)\to -\frac{1}{2}$; $(5,3)\to -1$; $(6,0)\to \frac{1}{3}$; $(6,1)\to 0$; $(6,2)\to -\frac{1}{3}$; $(6,3)\to -\frac{2}{3}$; $(7,0)\to \frac{1}{4}$; $(7,1)\to 0$; $(7,2)\to -\frac{1}{4}$; $(8,0)\to \frac{1}{5}$. Trong đó $m=0$ xuất hiện 4 lần (các điểm có $y=1$) và $m=-1$ xuất hiện 2 lần, nên các giá trị này bị loại. Số giá trị $m$ còn lại, mỗi giá trị ứng với đúng một cặp $(x,y)$: $1,-2,-3,\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{3},-\frac{1}{3},-\frac{2}{3},\frac{1}{4},-\frac{1}{4},\frac{1}{5}$ — tổng cộng 11 giá trị. Vậy có 11 giá trị của $m$, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 221, Phần III Câu 2 = 11).

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $3x-2>0\iff x>\frac{2}{3}$. Vì cơ số $0,5\in (0;1)$ nên ${\log }_{0,5}(3x-2)>0\iff 3x-2<1\iff x<1$. Kết hợp điều kiện: $\frac{2}{3}<x<1$, tập nghiệm là $\left(\frac{2}{3};1\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình ${\log }_{0,5}(2x-1)\ge -1$. Điều kiện: $2x-1>0\iff x>\frac{1}{2}$. Vì cơ số $0,5<1$ nên hàm logarit nghịch biến, do đó $2x-1\le (0,5{)}^{-1}=2\iff x\le \frac{3}{2}$. Kết hợp điều kiện: $S=\left(\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right]$. Khớp với đáp án nguồn C.

Vì $3^{2018x+2019}>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ và tập giá trị của hàm số $f(x)=3^{2018x+2019}$ là $(0;+\infty )$, nên bất phương trình $3^{2018x+2019}<m$ có nghiệm khi và chỉ khi $m>0$.

Vì cơ số $2>1$ nên bất phương trình tương đương với:
$x^2<6-x⟺x^2+x-6<0⟺-3<x<2$.
Vậy tập nghiệm là $(-3;2)$. Chọn A.

Ta có ${\log }_{\frac{1}{2}}(3^x-1)>-1\iff 0<3^x-1<{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-1}\iff 0<3^x-1<2\iff 1<3^x<3\iff 0<x<1$. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $(0;1)$. Chọn C.

Điều kiện xác định:
$\{\begin{array}{l}3x-2>0\\ 6-5x>0\end{array}⟺\frac{2}{3}<x<\frac{6}{5}$.
Bất phương trình đã cho tương đương với:
$3x-2>6-5x⟺8x>8⟺x>1$.
Kết hợp với điều kiện xác định, ta được tập nghiệm $S=\left(1;\frac{6}{5}\right)$.
Do đó $a=1$ và $b=\frac{6}{5}$.
Tổng $S=a+b=1+\frac{6}{5}=\frac{11}{5}$. Chọn C.

Ta có ${\log }_{\frac{1}{2}}(x-2)\ge 0\iff 0<x-2\le 1\iff 2<x\le 3$. Tập nghiệm là $(2;3]$. Chọn đáp án D.

Ta có ${\log }_{\frac{1}{2}}(x+1)>-1⟺0<x+1<2⟺-1<x<1$. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $(-1;1)$.

Ta có $\frac{1}{4}={\left(\frac{1}{2}\right)}^2$.
Bất phương trình tương đương:
${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-x^2+3x}<{\left(\frac{1}{2}\right)}^2$.
Vì cơ số $0<\frac{1}{2}<1$ nên:
$-x^2+3x>2\iff x^2-3x+2<0\iff 1<x<2$.
Vậy tập nghiệm là $S=(1;2)$.

Ta có $T_S=65$, $D_0=195-65=130⟹T(t)=65+130e^{-kt}$. Vì $T(30)=150⟹e^{-30k}=\frac{85}{130}=\frac{17}{26}$. Để $T(t)\le 91⟺130e^{-kt}\le 26⟺e^{-kt}\le \frac{1}{5}⟺t\ge 30\cdot \frac{\ln 5}{\ln (26/17)}\approx 113,57$, làm tròn đến hàng đơn vị là $114$ phút.

Vì cơ số $a=\sqrt{2}-1\approx 0,414$ thỏa mãn $0<a<1$ nên hàm số $y=a^x$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
Do đó $a^m<a^n\iff m>n$.

Điều kiện: $3x>0\iff x>0$.
Bất phương trình $\ln 3x<\ln (2x+6)\iff 3x<2x+6\iff x<6$.
Kết hợp điều kiện: $0<x<6$. Vậy tập nghiệm là $(0;6)$.

Theo bảng đáp án chính thức của nhà trường, chọn B: số tập con của $S$ là 4.

Ta có ${\left(\frac{2}{5}\right)}^{1-3x}\ge \frac{25}{4}\iff {\left(\frac{2}{5}\right)}^{1-3x}\ge {\left(\frac{2}{5}\right)}^{-2}\iff 1-3x\le -2\iff x\ge 1$. Vậy $S=[1;+\infty )$. Chọn đáp án A.

Ta có $\frac{1}{9}=3^{-2}$. Bất phương trình tương đương với:
$3^{x+2}\ge 3^{-2}⟺x+2\ge -2⟺x\ge -4.$
Vậy tập nghiệm là $S=[-4;+\infty )$.