Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: BPT mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

Chọn C.
Điều kiện xác định $x\ne 0$. Bất phương trình $\ln x^2\le 0\iff x^2\le 1\iff -1\le x\le 1$. Kết hợp điều kiện ta được $S=[-1;1]\setminus \{0\}$.

Chọn D.
Vì cơ số $0<\frac{5}{7}<1$ nên bất phương trình đổi chiều:
${\left(\frac{5}{7}\right)}^{x^2-x+1}>{\left(\frac{5}{7}\right)}^{2x-1}\iff x^2-x+1<2x-1\iff x^2-3x+2<0\iff 1<x<2$.
Tập nghiệm là $S=(1;2)$, suy ra $a=1,b=2$.
Giá trị của biểu thức $A=2b-a=2(2)-1=3$.

Chọn A.
Biến đổi bất phương trình:
$9^x-2(x+5)3^x+9(2x+1)\ge 0\iff (3^x{)}^2-(2x+10)3^x+(18x+9)\ge 0$.
Phân tích thành nhân tử:
$(3^x{)}^2-9\cdot 3^x-(2x+1)3^x+9(2x+1)\ge 0\iff 3^x(3^x-9)-(2x+1)(3^x-9)\ge 0\iff (3^x-2x-1)(3^x-9)\ge 0$.
Xét hàm số $g(x)=3^x-2x-1$ trên $\mathbb{R}$:
$g^{\prime }(x)=3^x\ln 3-2$; $g^{\prime \prime }(x)=3^x(\ln 3{)}^2>0$ nên $g^{\prime }(x)$ đồng biến.
$g^{\prime }(x)=0$ có nghiệm duy nhất $x_0={\log }_3\left(\frac{2}{\ln 3}\right)$.
Ta nhận thấy $g(0)=3^0-2(0)-1=0$ và $g(1)=3^1-2(1)-1=0$.
Do $g^{\prime \prime }(x)>0$ nên đồ thị hàm số lồi xuống, suy ra:
$g(x)\le 0\iff x\in [0;1]$ và $g(x)\ge 0\iff x\in (-\infty ;0]\cup [1;+\infty )$.
Xét thừa số thứ hai: $h(x)=3^x-9\ge 0\iff 3^x\ge 3^2\iff x\ge 2$.
Bảng xét dấu của tích $P(x)=g(x)\cdot h(x)$:
- Trên $(-\infty ;0)$: $g(x)>0,h(x)<0\Rightarrow P(x)<0$.
- Tại $x=0$: $P(0)=0$.
- Trên $(0;1)$: $g(x)<0,h(x)<0\Rightarrow P(x)>0$.
- Tại $x=1$: $P(1)=0$.
- Trên $(1;2)$: $g(x)>0,h(x)<0\Rightarrow P(x)<0$.
- Tại $x=2$: $P(2)=0$.
- Trên $(2;+\infty )$: $g(x)>0,h(x)>0\Rightarrow P(x)>0$.
Do đó nghiệm của bất phương trình $P(x)\ge 0$ là:
$S=[0;1]\cup [2;+\infty )$.
Suy ra $a=0,b=1,c=2$.
Vậy $a-2b+c=0-2(1)+2=0$.

Điều kiện xác định: $x>0$.
Bất phương trình tương đương: $x\le 2^3=8$.
Kết hợp điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là $(0;8]$.
Chọn D.

Ta có ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x>81={\left(\frac{1}{3}\right)}^{-4}\iff x<-4$. Vậy tập nghiệm là $(-\infty ;-4)$.

Chọn D.
Bất phương trình tương đương: $7^{x+1}>7^{-1}\iff x+1>-1\iff x>-2$. Vậy $S=(-2;+\infty )$.

Chọn D.
Điều kiện: $x^2>0$ và $4x-4>0\iff x>1$.
Bất phương trình tương đương: $x^2>4x-4\iff x^2-4x+4>0\iff (x-2{)}^2>0\iff x\ne 2$.
Kết hợp điều kiện, tập nghiệm là $S=(1;+\infty )\setminus \{2\}$.

Chọn C.
Bất phương trình tương đương với hệ:
$\{\begin{array}{l}{\log }_{2020}x\ge 1\\ {\log }_{\frac{1}{2020}}x\ge 1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x\ge 2020\\ 0<x\le \frac{1}{2020}\end{array}$.
Hệ này vô nghiệm vì không có số thực $x$ nào vừa lớn hơn hoặc bằng 2020 vừa nhỏ hơn hoặc bằng $\frac{1}{2020}$.
Vậy $S=\varnothing$.

Chọn A.
Tập xác định $D=\mathbb{R}$.
Ta có $\sqrt{x^2+1}-x=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}$, suy ra ${\log }_{2021}\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)=-{\log }_{2021}\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)$.
Do đó $f(-x)=-f(x)$, hay $f(x)$ là hàm số lẻ trên $\mathbb{R}$.
Mặt khác $f^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}\ln 2021}+2021x^{2020}+2003x^{2002}>0,\forall x\in \mathbb{R}$ nên hàm số $f(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Bất phương trình biến đổi thành:
$f(2^{-x})\le -f(-x-3)\iff f(2^{-x})\le f(x+3)\iff 2^{-x}\le x+3$.
Xét hàm số $g(x)=x+3-2^{-x}$ trên $\mathbb{R}$:
$g^{\prime }(x)=1+2^{-x}\ln 2>0$ nên $g(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Nhận thấy $g(-1)=-1+3-2^1=0$.
Vậy bất phương trình $g(x)\ge 0\iff x\ge -1$, tập nghiệm là $[-1;+\infty )$.

Ta có $2^{x^2-2x}>8=2^3\iff x^2-2x>3\iff x^2-2x-3>0\iff x<-1$ hoặc $x>3$.
Tập nghiệm là $(-\infty ;-1)\cup (3;+\infty )$.
Chọn D.

Vì cơ số $0<\frac{\pi }{4}<1$, bất phương trình tương đương với:
$\{\begin{array}{l}2x-5>0\\ x+1<2x-5\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x>\frac{5}{2}\\ x>6\end{array}\iff x>6$.
Tập nghiệm là $(6;+\infty )$.
Chọn A.

Chọn B.
Bất phương trình tương đương:
$$x^2+2x-8\ge {\left(\frac{1}{2}\right)}^{-4}=16\iff x^2+2x-24\ge 0\iff [<table><tbody><tr><td>x\le -6</td></tr><tr><td>x\ge 4</td></tr></tbody></table>$$

Chọn B.
Với $x\in (1;20)$ và $y\in \left(\frac{1}{3};1\right)$, ta có $x>1$ và $0<y<1$, nên ${\log }_{x}y<0$.
Bất phương trình:
$${\log }_{x}y>\frac{1}{{\log }_{x}y}\iff {\log }_{x}y-\frac{1}{{\log }_{x}y}>0\iff \frac{({\log }_{x}y{)}^2-1}{{\log }_{x}y}>0.$$
Vì ${\log }_{x}y<0$ nên bất phương trình tương đương:
$$({\log }_{x}y{)}^2-1<0\iff -1<{\log }_{x}y<1\iff -1<{\log }_{x}y<0.$$
Vì $x>1$, ta có:
$$-1<{\log }_{x}y\iff \frac{1}{x}<y.$$
Để điều này thỏa mãn với mọi $y\in \left(\frac{1}{3};1\right)$ thì:
$$\frac{1}{x}\le \frac{1}{3}\iff x\ge 3.$$
Kết hợp $x\in (1;20)$ và $x$ nguyên, ta được $x\in \{3;4;5;\dots ;19\}$.
Số giá trị nguyên thỏa mãn là $19-3+1=17$.

Ta có $2^{x^2-3x}\le 16=2^4⟺x^2-3x-4\le 0⟺-1\le x\le 4$. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $[-1;4]$.

Ta có ${\log }_3(x-4)\ge 2\iff x-4\ge 3^2\iff x\ge 13$. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=[13;+\infty )$.

Điều kiện: $x>\frac{3}{4}$. Khi đó bất phương trình tương đương $(4x-3{)}^2\le 18x+27\iff 16x^2-42x-18\le 0\iff -\frac{3}{8}\le x\le 3$. Kết hợp điều kiện được $S=\left(\frac{3}{4};3\right]$.

Chọn C.
Bất phương trình tương đương với:
$0<x-1<{\left(\frac{1}{2}\right)}^0=1\iff 1<x<2$.
Vậy tập nghiệm là $(1;2)$.

Chọn D.
Đặt $t=3^x>0$, bất phương trình trở thành $3t^2-10t+3\le 0\iff (3t-1)(t-3)\le 0\iff \frac{1}{3}\le t\le 3$.
Do đó $3^{-1}\le 3^x\le 3^1\iff -1\le x\le 1$.
Vậy $[a;b]=[-1;1]\Rightarrow P=b-a=1-(-1)=2$.

Ta có $5^{12-x^2}\ge 125=5^3⟺12-x^2\ge 3⟺x^2\le 9⟺-3\le x\le 3$. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $[-3;3]$.

Nhân cả hai vế với lượng liên hợp dương $\sqrt{1+{\ln }^{2}a}-\ln a>0$, bất phương trình tương đương $\sqrt{1+(a-3{)}^2}+a-3\le \sqrt{1+(-\ln a{)}^2}+(-\ln a)$. Xét hàm số $f(t)=\sqrt{1+t^2}+t$ có $f^{\prime }(t)=\frac{t+\sqrt{1+t^2}}{\sqrt{1+t^2}}>0,\forall t\in \mathbb{R}$, nên $f(t)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$. Do đó $f(a-3)\le f(-\ln a)⟺a-3\le -\ln a⟺a+\ln a-3\le 0$. Vì $g(a)=a+\ln a-3$ đồng biến trên $(0;+\infty )$ và $g(2)=\ln 2-1<0<g(3)=\ln 3$, nên với $a\in {\mathbb{Z}}^{+}$ chỉ có $a\in \{1;2\}$ thỏa mãn (có $2$ giá trị).