Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: BPT mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

Chọn B.
Đặt $t=2^x$ ($t>0$). Khi đó bất phương trình trở thành:
$t^2-3t+2\le 0⟺1\le t\le 2⟺2^0\le 2^x\le 2^1⟺0\le x\le 1.$
Vậy tập nghiệm là $[0;1]$.

Vì cơ số $0<\frac{1}{5}<1$ nghịch biến nên ${\log }_{\frac{1}{5}}a>{\log }_{\frac{1}{5}}b⟺0<a<b$. Do đó mệnh đề B sai.

Ta có $3^x\ge 27\iff 3^x\ge 3^3\iff x\ge 3$. Vậy tập nghiệm là $[3;+\infty )$.

Bất phương trình tương đương $2\le {\log }_{2}x\le 4\iff 4\le x\le 16$. Do đó $a=4,b=16\Rightarrow b+\frac{a}{4}=16+1=17$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 889, trang 7), Câu 23 chọn đáp án A.

Ta có $2^{x-1}\ge 1=2^0⟺x-1\ge 0⟺x\ge 1$.
Tập nghiệm của bất phương trình là $[1;+\infty )$.

Chọn đáp án A.

Bất phương trình tương đương $1-2x\ge 3\iff 2x\le -2\iff x\le -1$. Vậy tập nghiệm là $(-\infty ;-1]$.

Điều kiện xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$: ${\Delta }^{\prime }=1-m^2<0\iff |m|>1$. Thay $x=-1$ và $x=1$ vào bất phương trình được ${\log }_3(2m^2\mp 2m)\le 1+{\log }_{3}4={\log }_{3}12\Rightarrow 2m^2\pm 2m\le 12\Rightarrow m\in \{-2;2\}$. Thử lại với $m=\pm 2$, do ${\log }_2(x^2+2x+3)\ge 1$ và $x^2\pm 4x+7\le 3(x^2+3)\iff 2(x\mp 1{)}^2\ge 0$ luôn đúng nên cả $2$ giá trị nguyên $m\in \{-2;2\}$ đều thỏa mãn.

Vì cơ số $0<\frac{3}{\pi }<1$, bất phương trình tương đương: $0<{\log }_3(x-2)<1⟺3^0<x-2<3^1⟺1<x-2<3⟺3<x<5$. Do đó tập nghiệm là $S=(3;5)$, suy ra $a=3,b=5$ và $b-a=5-3=2$.

Ta có ${\log }_{\frac{1}{2}}(2x-5)\ge 1⟺0<2x-5\le \frac{1}{2}⟺\frac{5}{2}<x\le \frac{11}{4}$.

Chọn B.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Yên Phong số 2 - Bắc Ninh, Mã đề 101, Trang 7-8)

Ta có $16=2^4$. Vì cơ số $2>1$, bất phương trình tương đương với:
$$x^2-3x<4⟺x^2-3x-4<0⟺-1<x<4.$$
Vậy tập nghiệm là $S=(-1;4)$.

Chọn B.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Yên Phong số 2 - Bắc Ninh, Mã đề 101, Trang 7-8)

Gọi $x>0$ là giá trị ban đầu của chiếc Tivi.
Sau mỗi năm, giá trị của Tivi còn lại $100\%-10\%=90\%=0,9$ lần giá trị trước đó.
Sau $n$ năm, giá trị Tivi là $0,9^{n}x$.
Để Tivi mất đi ít nhất 90% giá trị của nó thì giá trị còn lại không vượt quá 10% giá trị ban đầu:
$$0,9^{n}x\le 0,1x⟺0,9^n\le 0,1⟺n\ge {\log }_{0,9}0,1\approx 21,85.$$
Vì $n$ là số nguyên dương nhỏ nhất nên $n=22$.

Ta có $(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})=3-2=1\Rightarrow \sqrt{3}+\sqrt{2}=(\sqrt{3}-\sqrt{2}{)}^{-1}$.
Bất phương trình trở thành:
$(\sqrt{3}-\sqrt{2}{)}^{2m-2}<(\sqrt{3}-\sqrt{2}{)}^{-1}$.
Vì cơ số $0<\sqrt{3}-\sqrt{2}<1$ nên bất đẳng thức đổi chiều giữa các số mũ:
$2m-2>-1\iff 2m>1\iff m>\frac{1}{2}$.
Chọn A.

Chọn B.
Điều kiện: $x>0$. Đặt $t={\log }_{2}x$, bất phương trình trở thành:
$$t^2-5t-6\le 0\iff -1\le t\le 6\iff -1\le {\log }_{2}x\le 6\iff 2^{-1}\le x\le 2^6\iff \frac{1}{2}\le x\le 64.$$
Vậy $S=\left[\frac{1}{2};64\right]$.

Chọn B.
Điều kiện xác định: $x+1>0\iff x>-1$.
Bất phương trình tương đương: $x+1<2^3=8\iff x<7$.
Kết hợp điều kiện, tập nghiệm là $S=(-1;7)$.

Chọn C.
Bất phương trình tương đương $4x+6y-7\ge x^2+y^2+2\iff (x-2{)}^2+(y-3{)}^2\le 4$.
Tập hợp các điểm $(x;y)$ là hình tròn tâm $I(2;3)$ bán kính $R=2$.
Biểu thức $M=(x-10{)}^2+(y+4{)}^2-116=d^2-116$, với $d$ là khoảng cách từ điểm $K(10;-4)$ đến điểm $(x;y)$ thuộc hình tròn.
Khoảng cách $IK=\sqrt{(10-2{)}^2+(-4-3{)}^2}=\sqrt{64+49}=\sqrt{113}$.
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $d$ là $d_{\max }=\sqrt{113}+2,d_{\min }=\sqrt{113}-2$.
Tính khoảng giá trị của $M$:
$M_{\min }=(\sqrt{113}-2{)}^2-116=113-4\sqrt{113}+4-116=1-4\sqrt{113}\approx -41,52$.
$M_{\max }=(\sqrt{113}+2{)}^2-116=113+4\sqrt{113}+4-116=1+4\sqrt{113}\approx 43,52$.
Các giá trị nguyên của $M$ thuộc $[-41;43]$. Số giá trị nguyên là $43-(-41)+1=85$.

Bất phương trình ${\log }_{\frac{1}{2}}(x-1)>1$.
Vì cơ số $0<\frac{1}{2}<1$ nên bất phương trình tương đương với:
$\{\begin{array}{l}x-1>0\\ x-1<{\left(\frac{1}{2}\right)}^1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x>1\\ x-1<\frac{1}{2}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x>1\\ x<\frac{3}{2}\end{array}\iff 1<x<\frac{3}{2}$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left(1;\frac{3}{2}\right)$.
Chọn A.

Chọn C.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Trần Phú - Hà Tĩnh, Mã đề 101, Trang 5)

Vì cơ số $2>1$, bất phương trình tương đương với:
$$x-1>3⟺x>4.$$
Vậy tập nghiệm là $S=(4;+\infty )$.

Chọn B.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Trần Phú - Hà Tĩnh, Mã đề 101, Trang 5)

Đặt $t={\log }_{2}x$. Với $x\in [2;4)$ thì $t\in [1;2)$.
Bất phương trình trở thành:
$$t^2-(2m+5)t+m^2+5m+4<0.$$
Ta phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử:
$$t^2-(2m+5)t+(m+1)(m+4)<0⟺(t-m-1)(t-m-4)<0.$$
Vì $m+1<m+4$, nghiệm của bất phương trình là:
$$m+1<t<m+4.$$
Để bất phương trình nghiệm đúng với mọi $t\in [1;2)$ thì $[1;2)\subset (m+1;m+4)$, tức là:
$$\{<table><tbody><tr><td>m+1\le 1</td></tr><tr><td>m+4\ge 2</td></tr></tbody></table>⟺\{<table><tbody><tr><td>m\le 0</td></tr><tr><td>m\ge -2</td></tr></tbody></table>⟺-2\le m\le 0.$$
Tuy nhiên tại $t=1$, ta cần $m+1<1⟺m<0$.
Kiểm tra:
- Với $m=0$: khoảng nghiệm $(1;4)$, không chứa $t=1$, loại.
- Với $m=-1$: khoảng nghiệm $(0;3)$, chứa $[1;2)$, nhận.
- Với $m=-2$: khoảng nghiệm $(-1;2)$, chứa $[1;2)$, nhận.
Vậy $m\in \{-2,-1\}$. Có 2 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.

Chọn D.
Ta có ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{x-1}\ge 128\iff 2^{-(x-1)}\ge 2^7\iff -(x-1)\ge 7\iff x-1\le -7\iff x\le -6$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=(-\infty ;-6]$.

Ta có $\frac{13}{17}<\frac{15}{18}$ và $a^{\frac{13}{17}}<a^{\frac{15}{18}}$ nên cơ số $a>1$.
Mặt khác $2+\sqrt{5}<2+\sqrt{8}$ mà ${\log }_b(2+\sqrt{5})>{\log }_b(2+\sqrt{8})$ (đổi chiều bất đẳng thức) nên cơ số $0<b<1$.
Vậy $a>1$ và $0<b<1$.
Chọn C.