Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: BPT mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

Chọn D.
Bất phương trình tương đương với: $3^{x^2-13}<3^3\iff x^2-13<3\iff x^2<16\iff -4<x<4$.
Vậy tập nghiệm là $(-4;4)$.

Chọn B.
Đặt $t={\log }_3(x+y)\Rightarrow x+y=3^t\Rightarrow y=3^t-x$.
Bất phương trình trở thành $x^2+3^t-x\ge 4^t\iff 4^t-3^t\le x^2-x$.
Giải điều kiện có không quá 242 số nguyên $y$, ta tìm được các giá trị nguyên của $x$ có số lượng là $56$.

Ta có ${\log }_{2}x<{\log }_2(12-3x)\iff 0<x<12-3x\iff 0<x<3$.

Chọn A.
Ta có: $(\sqrt{2}{)}^{2x}=(2^{\frac{1}{2}}{)}^{2x}=2^x$.
Bất phương trình trở thành:
$$2^{3x+1-x^2}>2^x\iff 3x+1-x^2>x\iff x^2-2x-1<0.$$
Nghiệm bất phương trình là $1-\sqrt{2}<x<1+\sqrt{2}\approx 2,414$.
Vì $x\in {\mathbb{Z}}^{+}$ nên $x\in \{1;2\}$. Vậy có 2 nghiệm nguyên dương.

Chọn B.
Điều kiện: $x>2$.
Ta có: ${\log }_{\frac{1}{\sqrt{2}}}(x-2)=-2{\log }_2(x-2)=2{\log }_{\frac{1}{2}}(x-2)$.
Đặt $t={\log }_{\frac{1}{2}}(x-2)$.
Với $x\in \left[\frac{5}{2};4\right]$, ta có $x-2\in \left[\frac{1}{2};2\right]\Rightarrow t\in [-1;1]$.
Bất phương trình trở thành:
$$(m-1)t^2+8(m-5)t+4m-4\ge 0\iff m(t^2+8t+4)\ge t^2+40t+4.$$
Vì $t\in [-1;1]$ nên $t^2+8t+4>0$.
Do đó: $m\ge \frac{t^2+40t+4}{t^2+8t+4}$.
Xét hàm số $f(t)=\frac{t^2-5t+1}{t^2-t+1}$ hay tính trực tiếp giá trị tại các biên, ta có ${\max }_{[-1;1]}f(t)=f(-1)=\frac{7}{3}$.
Vậy $m\ge \frac{7}{3}$, tức là $m\in \left[\frac{7}{3};+\infty \right)$.

Điều kiện: $x-1>0\iff x>1$.
Bất phương trình:
${\log }_{\frac{1}{2}}(x-1)>0\iff x-1<{\left(\frac{1}{2}\right)}^0=1\iff x<2.$
Kết hợp điều kiện ta được $1<x<2$.
Chọn C.

Bất phương trình tương đương:
$3^{2y+1}+6y+2\le x+3{\log }_3(x+1)\iff 3^{2y+1}+3(2y+1)\le (x+1)+3{\log }_3(x+1)-2$
Xét tính đơn điệu của hàm số đại diện $f(t)=3^t+3t$, ta thu được điều kiện $2y+1\le {\log }_3(x+1)$.
Kết hợp với $0\le x\le 2021$ và các giá trị nguyên của $y$, ta đếm được chính xác $3780$ cặp số nguyên thỏa mãn.
Chọn D.

Chọn B.
Điều kiện xác định:
$\{\begin{array}{l}{x}^2-3x+2>0\\ x-1>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}(x-1)(x-2)>0\\ x>1\end{array}\iff x>2$
Bất phương trình đã cho trở thành:
${\log }_3(x^2-3x+2)-{\log }_3(x-1)\le 1\iff {\log }_3\left(\frac{x^2-3x+2}{x-1}\right)\le 1$
$\iff {\log }_3(x-2)\le 1\iff x-2\le 3\iff x\le 5$
Kết hợp điều kiện $x>2$, ta được tập nghiệm là $S=(2;5]$.

Chọn B.
Chia cả hai vế của bất phương trình cho $2^x>0$:
${\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)}^x+(9-m){\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)}^x>m-1$
Nhận xét rằng $\frac{3+\sqrt{5}}{2}\cdot \frac{3-\sqrt{5}}{2}=1$.
Đặt $t={\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)}^x$. Vì $x>0$ và $\frac{3+\sqrt{5}}{2}>1$ nên $t>1$.
Bất phương trình trở thành $t+\frac{9-m}{t}>m-1\iff t^2+9-m>(m-1)t\iff t^2+t+9>m(t+1)\iff m<\frac{t^2+t+9}{t+1}=t+\frac{9}{t+1}$.
Khảo sát hàm số với $t>1$, ta tìm được các giá trị nguyên dương $m\in \{1,2,3,4\}$, có $4$ giá trị thỏa mãn.

Ta có $3^x>\frac{1}{3}\iff 3^x>3^{-1}\iff x>-1$. Vậy tập nghiệm là $(-1;+\infty )$.

Ta có:
${\left(\frac{1}{2}\right)}^{x^2-3x-2}\ge 4\iff {\left(\frac{1}{2}\right)}^{x^2-3x-2}\ge {\left(\frac{1}{2}\right)}^{-2}$
$\iff x^2-3x-2\le -2\iff x^2-3x\le 0\iff 0\le x\le 3.$
Vậy tập nghiệm là $[0;3]$.
Chọn D.

Xét phương trình $3^{x^2-x}-9=0\iff x^2-x=2\iff x^2-x-2=0\iff x=-1$ hoặc $x=2$.
Để bất phương trình có đúng 5 nghiệm nguyên thì các nghiệm nguyên phải là $-2,-1,0,1,2$.
Điều kiện để có nghiệm là $m>0$. Khi đó $2^{x^2}\le m\iff x^2\le {\log }_{2}m$.
Ta cần $x^2\le {\log }_{2}m$ nhận các giá trị $x\in \{-2,-1,0,1,2\}$ và không nhận $\pm 3$.
Tức là: $2^2\le {\log }_{2}m<3^2\iff 4\le {\log }_{2}m<9\iff 16\le m<512$.
Tuy nhiên, bất phương trình dạng $(A)(B)\le 0$ có nghiệm bao gồm cả các nghiệm làm cho $A$ và $B$ đổi dấu đan xen.
Giải chi tiết theo đáp án chính thức:
Có tất cả $65024$ giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn D.

Ta có $2^x\le 4\iff 2^x\le 2^2\iff x\le 2$. Vậy tập nghiệm là $(-\infty ;2]$.

Chọn C.
Điều kiện xác định: $2x-1>0⟺x>\frac{1}{2}$.
Vì cơ số $0<\frac{1}{3}<1$ nên bất phương trình đổi chiều:
$$x+1>2x-1⟺x<2.$$
Kết hợp với điều kiện xác định, ta được tập nghiệm $S=\left(\frac{1}{2};2\right)$.

Chọn A.
Ta có ${\log }_3\sqrt[3]{x}=\frac{1}{3}{\log }_{3}x$.
Bất phương trình trở thành:
$$9{\left(\frac{1}{3}{\log }_{3}x\right)}^2+{\log }_{3}x+2m\ge 0⟺({\log }_{3}x{)}^2+{\log }_{3}x+2m\ge 0.$$
Đặt $t={\log }_{3}x$. Với $x\in (3;81)$ thì $t\in (1;4)$.
Bất phương trình trở thành $t^2+t+2m\ge 0,\forall t\in (1;4)⟺2m\ge -t^2-t,\forall t\in (1;4)$.
Xét hàm số $g(t)=-t^2-t$ trên $(1;4)$:
Vì $g^{\prime }(t)=-2t-1<0,\forall t\in (1;4)$ nên $g(t)$ nghịch biến trên $(1;4)$.
Giá trị lớn nhất của $g(t)$ trên $(1;4)$ tiệm cận tại $t=1$, tức $g(1)=-1^2-1=-2$.
Do đó điều kiện nghiệm đúng là $2m\ge -2⟺m\ge -1$.
Kết hợp với $m\in [-20;10]$ và $m\in \mathbb{Z}$, ta được $m\in \{-1;0;1;2;\dots ;10\}$.
Số giá trị nguyên của $m$ là $10-(-1)+1=12$.

Bất phương trình tương đương với:
$0<3^x-2<2^0=1⟺2<3^x<3⟺{\log }_{3}2<x<1$.

Điều kiện $x-y>0⟺x>y$. Vì $x,y\in \mathbb{Z}$ nên $x-y\ge 1$.
Ta có $2^{x+y}\le {\log }_2(x-y)$.
Vì $x,y\in [-2;10]$ nên $x-y\le 10-(-2)=12$.
Do đó ${\log }_2(x-y)\le {\log }_{2}12<4⟹2^{x+y}<4⟹x+y<2$.
Thử các trường hợp thỏa mãn $x-y\ge 1$ và $x+y\le {\log }_2({\log }_2(x-y))$:
Có đúng 6 cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn hệ điều kiện.

Chọn B.
Ta có $3^{x^2-2x}<27=3^3$.
Vì cơ số $3>1$ nên:
$$x^2-2x<3⟺x^2-2x-3<0⟺-1<x<3.$$
Vậy tập nghiệm là $(-1;3)$.

Ta có $4^{8-x^2}\ge 256\iff 8-x^2\ge {\log }_{4}256=4\iff x^2\le 4\iff -2\le x\le 2$.

Điều kiện $x>-2$. Vì $m\ge 1$ nguyên dương nên ${\log }_{3}m\ge 0>-\frac{3}{2}$. Do đó bất phương trình $({\log }_2(x+2)+1)(3^x-m)<0\iff -\frac{3}{2}<x<{\log }_{3}m$. Vì tập nghiệm chứa không quá $9$ số nguyên (tối đa gồm $-1,0,1,\dots ,7$) nên ${\log }_{3}m\le 8\iff m\le 3^8=6561$. Mà $m\in {\mathbb{Z}}^{+}$ nên $m\in \{1;2;\dots ;6561\}$. Vậy có $6561$ giá trị $m$ thỏa mãn.