Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cấp số cộng (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi công sai là $d$. Ta có $v_3-v_6=(v_1+2d)-(v_1+5d)=-3d=-15$, suy ra $d=5$. Từ $v_1+v_2=v_1+(v_1+d)=2v_1+d=11$ suy ra $2v_1=6$, tức $v_1=3$. Khi đó $v_{25}=v_1+24d=3+24\cdot 5=123$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (123).

(AI giải đề cho tôi)
Số ghế các hàng lập thành cấp số cộng với số hạng đầu $u_1=20$, công sai $d=5$, số hàng $n=60$. Tổng số ghế: $$S_{60}=\frac{60}{2}\left[2\cdot 20+(60-1)\cdot 5\right]=30\left(40+295\right)=30\cdot 335=10050.$$ Vậy góc khán đài A có $10050$ ghế.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi ba cạnh là $a-d,a,a+d$ với $d>0$, cạnh huyền là $a+d$. Theo định lý Pythagoras: $(a-d{)}^2+a^2=(a+d{)}^2\Rightarrow a^2-2ad+d^2+a^2=a^2+2ad+d^2\Rightarrow a^2-4ad=0\Rightarrow a=4d$. Chu vi: $(a-d)+a+(a+d)=3a=3\Rightarrow a=1$, suy ra $d=\frac{a}{4}=\frac{1}{4}$. Vậy cạnh huyền $=a+d=1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$. Kiểm tra: các cạnh $\frac{3}{4},1,\frac{5}{4}$ thỏa ${\left(\frac{3}{4}\right)}^2+1^2=\frac{9}{16}+1=\frac{25}{16}={\left(\frac{5}{4}\right)}^2$ và chu vi bằng 3. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_{10}+u_{27}=(u_1+9d)+(u_1+26d)=2u_1+35d=101$. Tổng 36 số hạng đầu: $S_{36}=\frac{36(u_1+u_{36})}{2}=18(2u_1+35d)=18\cdot 101=1818$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi số tiền 5 thành viên nhận được theo thứ tự tăng dần là các số hạng của cấp số cộng: $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ với công sai $d>0$. Theo đề bài: người cao nhất nhận $a_5=100$ (triệu đồng) và tổng $S_5=300$ (triệu đồng).

Công thức tổng: $S_5=\frac{5(a_1+a_5)}{2}=300$, suy ra $a_1+a_5=120$, do đó $a_1=120-100=20$.

Kiểm tra: công sai $d=\frac{a_5-a_1}{4}=\frac{100-20}{4}=20$, dãy là $20,40,60,80,100$, tổng bằng $300$ triệu đồng (đúng).

Vậy người có lợi nhuận thấp nhất nhận được $20$ triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
a) $u_5=3\cdot 5-4=11\ne 15$ → sai. b) $d=-5$, $u_{15}=3+14\cdot (-5)=-67$ → đúng. c) $86=2+3(n-1)\Rightarrow n=29$ → đúng. d) $u_1=S_1=1$, $d=3$; $T=S_{100}-S_{14}=(15000-50)-(294-7)=14950-287=14663>14000$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$u_5=3\cdot 5-4=11\ne 15$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$d=-2-3=-5$, $u_{15}=3+14(-5)=-67$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$86=2+3(n-1)\Rightarrow n-1=28\Rightarrow n=29$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$u_1=S_1=1$, $2d=3\Rightarrow d=3$. $T=S_{100}-S_{14}=14950-287=14663>14000$.

a) Đúng. $\{\begin{array}{l}{u}_2+u_5=35\\ u_3+u_{10}=53\end{array}\iff \{\begin{array}{l}2u_1+5d=35\\ 2u_1+11d=53\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{u}_1=10\\ d=3\end{array}$.
b) Đúng. $\frac{3}{u_1{u}_2}+\frac{3}{u_2{u}_3}+\frac{3}{u_3{u}_4}+....+\frac{3}{u_{24}.u_{25}}\Rightarrow \frac{1}{10}-\frac{1}{13}+\frac{1}{13}-\frac{1}{16}+...+\frac{1}{79}-\frac{1}{82}=\frac{1}{10}-\frac{1}{82}=\frac{18}{205}$.
c) Sai. Ta có: $u_{100}=10+99.3=307$.
d) Sai. $\{\begin{array}{l}{u}_2+u_5=35\\ u_3+u_{10}=53\end{array}\iff \{\begin{array}{l}2u_1+5d=35\\ 2u_1+11d=53\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{u}_1=10\\ d=3\end{array}$.
a) Đúng. $\{\begin{array}{l}{u}_2+u_5=35\\ u_3+u_{10}=53\end{array}\iff \{\begin{array}{l}2u_1+5d=35\\ 2u_1+11d=53\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{u}_1=10\\ d=3\end{array}$.
b) Đúng. $\frac{3}{u_1{u}_2}+\frac{3}{u_2{u}_3}+\frac{3}{u_3{u}_4}+....+\frac{3}{u_{24}.u_{25}}\Rightarrow \frac{1}{10}-\frac{1}{13}+\frac{1}{13}-\frac{1}{16}+...+\frac{1}{79}-\frac{1}{82}=\frac{1}{10}-\frac{1}{82}=\frac{18}{205}$.
c) Sai. Ta có: $u_{100}=10+99.3=307$.
d) Sai. $\{\begin{array}{l}{u}_2+u_5=35\\ u_3+u_{10}=53\end{array}\iff \{\begin{array}{l}2u_1+5d=35\\ 2u_1+11d=53\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{u}_1=10\\ d=3\end{array}$.

(AI giải đề cho tôi)
Giá xe giảm theo cấp số cộng với số hạng đầu $u_1=680$ (triệu đồng) và công sai $d=-55$. Sau 5 năm sử dụng, giá còn lại là số hạng thứ 6: $u_6=u_1+5d=680+5\cdot (-55)=680-275=405$ (triệu đồng). Kết quả khớp với đáp án nguồn 405.

(AI giải đề cho tôi)
Số ghế các hàng lập cấp số cộng với $u_1=27$, công sai $d=2$. Tổng $n$ hàng: $S_n=\frac{n}{2}[2\cdot 27+(n-1)\cdot 2]=n^2+26n$. Giải $n^2+26n=1275\Rightarrow n^2+26n-1275=0$, biệt thức $\Delta =26^2+4\cdot 1275=5776=76^2$, nên $n=\frac{-26+76}{2}=25$ (nhận $n>0$). Hàng cuối cùng có $u_{25}=27+24\cdot 2=75$ ghế. Kết quả khớp với đáp án nguồn (75).

(AI giải đề cho tôi)
Số ghế các hàng lập thành cấp số cộng với $u_1=27$, công sai $d=2$. Gọi số hàng là $n$, tổng số ghế: $S_n=\frac{n[2\cdot 27+(n-1)\cdot 2]}{2}=n(n+26)=1275$. Giải $n^2+26n-1275=0$ được $n=25$ (nhận) hoặc $n=-51$ (loại). Số ghế hàng cuối cùng: $u_{25}=27+24\cdot 2=75$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (75).

(AI giải đề cho tôi)
(Lời giải do AI cung cấp, không có trong nguồn; đáp án D đối chiếu với bảng đáp án chính thức mã đề 102, trang 9.) Vì $x$, $-4$, $y$, $8$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp bằng nhau (công sai $d$): $-4-x=y-(-4)=8-y=d$. Từ $-4-y=y-8$ suy ra $2y=4\Rightarrow y=2$. Khi đó $d=8-y=6$, nên $x=-4-d=-10$. Kiểm tra: dãy $-10$, $-4$, $2$, $8$ có công sai $6$ đúng. Vậy $x=-10;y=2$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi số hàng là $n$. Tổng số cây là $1+2+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}=1275$, suy ra $n(n+1)=2550$, tức $n^2+n-2550=0$. Giải được $n=50$ (nhận) hoặc $n=-51$ (loại). Vậy khu vườn có 50 hàng cây. Kiểm tra: $\frac{50\cdot 51}{2}=1275$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cây là $1+2+3+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}=1275$, suy ra $n(n+1)=2550$, tức $n^2+n-2550=0$. Giải phương trình: $n=\frac{-1+\sqrt{1+10200}}{2}=\frac{-1+101}{2}=50$ (nhận nghiệm dương). Vậy khu vườn có 50 hàng cây.

(AI giải đề cho tôi)
Số ghế các hàng lập thành cấp số cộng với $u_1=15$, công sai $d=3$, số hàng $n=15$. Hàng cuối: $u_{15}=15+14\cdot 3=57$. Tổng số ghế: $S_{15}=\frac{15(15+57)}{2}=\frac{15\cdot 72}{2}=540$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (540).

Gọi $u_1,u_2,\dots ,u_n,(n\in {\mathbb{N}}^{\ast })$ lần lượt là số tiền ngày thứ nhất, ngày thứ hai, $\dots$, ngày thứ $n$ bạn An bỏ vào heo đất, dãy trên là một cấp số cộng với số hàng đầu $u_1=5000$ đ, công sai $d=1000$.
Theo giả thiết ta có:
$$S_n=243000\iff 5000n+\frac{n(n-1)}{2}\cdot 1000=243000$$
$$\dots \dots \iff n^2+9n-486=0\iff \{\begin{array}{l}n=18(n)\\ n=-27(l)\end{array}$$
Vậy bạn An phải thực hiện kế hoạch trong 18 ngày. (Thang điểm 0.2 / 0.2 / 0.1)

Gọi $u_1,u_2,\dots ,u_n,(n\in {\mathbb{N}}^{\ast })$ lần lượt là số tiền ngày thứ nhất, ngày thứ hai, $\dots$, ngày thứ $n$ bạn An bỏ vào heo đất, thì dãy trên là một cấp số cộng với số hạng đầu $u_1=5000$ đ, công sai $d=1000$.
Theo giả thiết ta có:
$$S_n=290000\iff 5000n+\frac{n(n-1)}{2}\cdot 1000=290000$$
$\dots \dots \iff n^2+9n-580=0\iff \left[\begin{array}{c}n=20(tm)\\ n=-29(l)\end{array}\right]$
Vậy bạn An phải thực hiện kế hoạch trong 20 ngày. (Thang điểm 0.2 / 0.2 / 0.1)

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_1=-3$, $d=4$ nên $u_n=-3+4(n-1)=4n-7$. a) Vì $d=4>0$ nên dãy số tăng → Đúng. b) $u_3=4\cdot 3-7=5\ne -5$ → Sai. c) Giải $4n-7=393\Rightarrow n=100$, vậy 393 là số hạng thứ 100 chứ không phải thứ 93 → Sai. d) $S_{100}=\frac{100}{2}(u_1+u_{100})=50(-3+393)=50\cdot 390=19500$ → Đúng. Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Đ, b) S, c) S, d) Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Công sai $d=4>0$ nên $(u_n)$ là dãy số tăng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_3=u_1+2d=-3+8=5\ne -5$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$u_n=4n-7=393\Rightarrow n=100$, vậy 393 là số hạng thứ 100, không phải thứ 93.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S_{100}=\frac{100}{2}(u_1+u_{100})=50(-3+393)=19500$.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_1=-3$, $d=4$ nên $u_n=u_1+(n-1)d=-3+4(n-1)=4n-7$. a) Vì $d=4>0$ nên dãy $(u_n)$ là dãy số tăng → Đúng. b) $u_3=4\cdot 3-7=5\ne -5$ → Sai. c) Giải $4n-7=393\Rightarrow n=100$, vậy 393 là số hạng thứ 100 chứ không phải thứ 93 → Sai. d) $S_{100}=\frac{100(u_1+u_{100})}{2}=\frac{100(-3+393)}{2}=19500$ → Đúng. Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Đ, b) S, c) S, d) Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì công sai $d=4>0$ nên $u_{n+1}-u_n=4>0$ với mọi $n$, do đó dãy $(u_n)$ là dãy số tăng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_3=u_1+2d=-3+8=5\ne -5$, nên số hạng thứ ba bằng 5 chứ không phải $-5$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$u_n=4n-7$; giải $4n-7=393\Rightarrow n=100$. Vậy 393 là số hạng thứ 100, không phải thứ 93.
d) (AI giải đề cho tôi)
$u_{100}=4\cdot 100-7=393$; $S_{100}=\frac{100(-3+393)}{2}=\frac{100\cdot 390}{2}=19500$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàng thứ $k$ trồng $2k+3$ cây. Tổng sau $n$ hàng là $S_n=\frac{n(5+2n+3)}{2}=n(n+4)$. Giải $n(n+4)=396\Rightarrow n^2+4n-396=0\Rightarrow n=\frac{-4+\sqrt{1600}}{2}=18$ (nhận nghiệm dương). Vậy số hàng cây là 18.

(AI giải đề cho tôi)
Số cây ở hàng thứ $n$ là $u_n=2n+1$ (cấp số cộng với $u_1=3$, công sai $d=2$). Tổng số cây sau $n$ hàng: $S_n=\frac{n(3+2n+1)}{2}=n(n+2)$. Giải $n(n+2)=440\Rightarrow n^2+2n-440=0\Rightarrow n=20$ (nhận) hoặc $n=-22$ (loại). Vậy có 20 hàng cây. Kiểm tra: $20\times 22=440$.