Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cấp số nhân (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Tiền lương các năm lập thành cấp số nhân với số hạng đầu $u_1=120$ (triệu đồng), công bội $q=1,1$. Tổng 10 năm: $$S_{10}=u_1\cdot \frac{q^{10}-1}{q-1}=120\cdot \frac{1,1^{10}-1}{0,1}=1200(1,1^{10}-1).$$ Vì $1,1^{10}\approx 2,59374246$, nên $S_{10}\approx 1200\cdot 1,59374246\approx 1912,49$ triệu đồng. Làm tròn đến hàng đơn vị: $S_{10}\approx 1912$ triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Số vi khuẩn sau $t$ giờ là $N(t)=100\cdot 2^{t/3}$. Giải $100\cdot 2^{t/3}=100000\Rightarrow 2^{t/3}=1000\Rightarrow t=3{\log }_{2}1000=3\cdot \frac{\ln 1000}{\ln 2}\approx 3\cdot 9,9658\approx 29,90$. Làm tròn đến hàng đơn vị ta được $t\approx 30$ giờ. Kết quả trùng với đáp án nguồn (30).

Công thức lãi kép: $A=P(1+r{)}^n$.
Ta cần: $200(1+0,065{)}^n>400\iff 1,065^n>2\iff n>{\log }_{1,065}(2)\approx 11,0067$.
Do $n$ nguyên nên $n\ge 12$.

(AI giải đề cho tôi)
Dân số sau $n$ năm: $P(n)=91,7\cdot (1,011{)}^n$ (triệu người). Cần $91,7\cdot (1,011{)}^n=113$, suy ra $(1,011{)}^n=\frac{113}{91,7}\approx 1,2323$. Vậy $n=\frac{\ln 1,2323}{\ln 1,011}\approx \frac{0,2089}{0,01094}\approx 19,1$. Vì dân số đạt mức 113 triệu khi $n\ge 19,1$, tức sau 20 năm (khi đó $91,7\cdot 1,011^{20}\approx 113,0$ triệu), nên năm cần tìm là $2015+20=2035$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Số vi khuẩn tăng gấp đôi mỗi phút nên $N(t)=N(5)\cdot 2^{t-5}=64000\cdot 2^{t-5}$. Cần $64000\cdot 2^{t-5}=2048000\Rightarrow 2^{t-5}=32=2^5\Rightarrow t=10$ phút. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân nên $(3x-3{)}^2=(2x)(5x-5)$. Suy ra $9x^2-18x+9=10x^2-10x\iff x^2+8x-9=0\iff x=1$ hoặc $x=-9$. Vì $x<0$ nên $x=-9$. Khi đó ba số hạng là $-18;-30;-50$, công bội $q=\frac{-30}{-18}=\frac{5}{3}$. Số hạng thứ tư: $u_4=-50\cdot \frac{5}{3}=-\frac{250}{3}$. Chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét tỉ số giữa số sản phẩm hai tháng liên tiếp: tháng 2 so tháng 1: 525/500 = 1,05 (tăng đúng 5%); tháng 3 so tháng 2: 551/525 ≈ 1,0495 ≈ 1,05 (đúng); tháng 4 so tháng 3: 569/551 ≈ 1,0327 (chỉ tăng khoảng 3,3%, sai); tháng 5 so tháng 4: 606/569 ≈ 1,065; tháng 6 so tháng 5: 636/606 ≈ 1,0495 ≈ 1,05 (đúng); tháng 7 so tháng 6: 668/636 ≈ 1,0503 ≈ 1,05 (đúng). Nếu tháng 4 đúng theo quy luật 5% thì giá trị phải là 551 · 1,05 ≈ 578,55 ≈ 579, và khi đó 606/579 ≈ 1,0466 ≈ 1,05 cũng hợp lệ. Vậy tháng bị nhập sai là tháng 4 (giá trị đúng khoảng 579 sản phẩm thay vì 569).

(AI giải đề cho tôi)
Số vi khuẩn tăng gấp đôi mỗi phút nên theo cấp số nhân với công bội $q=2$. Sau 5 phút có $64000$ con. Số phút cần thêm để đạt $2048000$ con: $2048000:64000=32=2^5$, tức cần thêm 5 phút nữa. Vậy tổng thời gian là $5+5=10$ phút. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Số tiền tiết kiệm mỗi tuần lập thành cấp số nhân với số hạng đầu $u_1=100$ (nghìn đồng), công bội $q=2$, gồm 10 số hạng. Tổng: $S_{10}=u_1\frac{q^{10}-1}{q-1}=100\cdot \frac{2^{10}-1}{2-1}=100\cdot 1023=102300$ nghìn đồng. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng 6 số hạng đầu: $S_6=u_1\frac{1-q^6}{1-q}=3\cdot \frac{1-(-2{)}^6}{1-(-2)}=3\cdot \frac{1-64}{3}=-63$.

(AI giải đề cho tôi)
Giá trị ô tô sau mỗi năm còn lại bằng 93% năm trước, nên sau 13 năm giá trị là $652\cdot (0,93{)}^{13}$. Tính $(0,93{)}^{13}\approx 0,3893$, suy ra $652\cdot 0,3893\approx 253,8$ triệu đồng. Làm tròn đến hàng đơn vị: 254 triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_2=u_{1}q=6$ và $u_5=u_1{q}^4=-48$. Chia hai phương trình: $q^3=\frac{u_5}{u_2}=\frac{-48}{6}=-8$, suy ra $q=-2$. Khi đó $u_1=\frac{u_2}{q}=\frac{6}{-2}=-3$. Tổng 10 số hạng đầu: $S_{10}=u_1\frac{1-q^{10}}{1-q}=-3\cdot \frac{1-(-2{)}^{10}}{1-(-2)}=-3\cdot \frac{1-1024}{3}=-3\cdot \frac{-1023}{3}=1023$. Vậy $u_1=-3$, $q=-2$, $S_{10}=1023$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét tỉ số giữa hai tháng liên tiếp: tháng 1→2: 525/500 = 1,05; tháng 2→3: 551/525 ≈ 1,0495; tháng 3→4: 569/551 ≈ 1,0327; tháng 4→5: 606/569 ≈ 1,0650; tháng 5→6: 636/606 ≈ 1,0495; tháng 6→7: 668/636 ≈ 1,0503. Các tỉ số đều xấp xỉ 1,05 (tăng 5%) trừ cặp tháng 3→4 và 4→5 lệch hẳn, chứng tỏ số liệu tháng 4 bị nhập sai. Thật vậy, nếu tăng trưởng đúng 5% thì tháng 4 phải là 551 × 1,05 ≈ 578,55 ≈ 579 (hoặc từ tháng 5 suy ra 606/1,05 ≈ 577,14 ≈ 577), đều khác xa giá trị 569 đã nhập. Vậy tháng bị nhập sai là tháng 4.

(AI giải đề cho tôi)
Số lá sen ngày thứ $n$ là cấp số nhân với công bội $q=3$. Nếu ngày đầu có 1 lá thì ngày thứ 15 có $1\cdot 3^{14}$ lá (hồ đầy). Nếu ngày đầu có 9 lá, số lá ngày thứ $n$ là $9\cdot 3^{n-1}=3^{n+1}$. Cần $3^{n+1}=3^{14}\Rightarrow n=13$. Vậy tới ngày thứ 13 hồ đầy lá sen, khớp đáp án 13.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng lượng thuốc theo ngày lập thành cấp số nhân với $u_1=50$, công bội $q=\frac{1}{2}$. Sau 3 tuần = 21 ngày, tổng lượng thuốc là $S_{21}=50\cdot \frac{1-(1/2{)}^{21}}{1-1/2}=100\left(1-\frac{1}{2097152}\right)\approx 99,99995$. Làm tròn đến hàng đơn vị ta được $100$ mg, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Sau 30 phút có $30/2=15$ lần tăng gấp đôi. Số lợi khuẩn sau 30 phút là $2\cdot 2^{15}=2^{16}=65536$. Vậy đáp án B, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Doanh thu tháng 7 đến tháng 12 lập thành cấp số nhân với số hạng đầu $u_1=6\cdot 1,1=6,6$ tỷ đồng, công bội $q=1,1$, gồm 6 số hạng. Tổng 6 tháng cuối năm: $$S=6,6\cdot \frac{1,1^6-1}{1,1-1}=66(1,1^6-1).$$ Với $1,1^6=1,771561$ ta được $S=66\cdot 0,771561\approx 50,923$ tỷ đồng. Doanh thu cả năm: $$30+50,923\approx 80,923\approx 80,9$$ tỷ đồng. Kết quả trùng với đáp án nguồn 80,9.

(AI giải đề cho tôi)
Ba số $1+x$; $9+x$; $33+x$ lập thành cấp số nhân khi $(9+x{)}^2=(1+x)(33+x)$. Khai triển: $81+18x+x^2=33+34x+x^2$, suy ra $48=16x$, tức $x=3$. Thử lại: các số là $4;12;36$ với công bội $q=3$, thỏa mãn. Kết quả khớp với đáp án nguồn là 3.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân có $u_6=96$, $u_3=12$. Ta có $u_6=u_3\cdot q^3\Rightarrow q^3=\frac{96}{12}=8\Rightarrow q=2$. Suy ra $u_{10}=u_6\cdot q^4=96\cdot 2^4=96\cdot 16=1536$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 1536.

(AI giải đề cho tôi)
Sau mỗi giờ nhiệt độ giảm 20% nên nhiệt độ còn lại bằng 80% nhiệt độ trước đó. Sau 6 giờ: $T=23\cdot (0,8{)}^6=23\cdot 0,262144=6,029312\approx 6$ (độ C). Khớp với đáp án nguồn là 6.