Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Chuyên đề: quy hoạch/tối ưu (Toán học Lớp 12)

Sản xuất x kg loại I và y kg loại II để lợi nhuận cao nhất. Điều kiện: $x,y\ge 0$.
Dựa vào dữ kiện đề bài ta có hệ sau:
$$\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+2y\le 100\\ 2x+y\le 80\end{array}$$
- Lợi nhuận: $L=40x+30y$ (nghìn đồng). [0,25]

Miền nghiệm là miền tứ giác OABC:

[Hình cần kiểm tra lại: p17_f1]

[0,25]

Thay tọa độ các đỉnh vào hàm lợi nhuận $L=40x+30y$:



(Điểm: 0,25)

Kết quả: Sản xuất 20kg loại I và 40kg loại II. (0,25)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ lần lượt là số bánh chưng và bánh ống gói được ($x,y\ge 0$). Các ràng buộc nguyên liệu:
- Gạo nếp: $0,4x+0,6y\le 20\iff 2x+3y\le 100$.
- Thịt: $0,05x+0,075y\le 2\iff 2x+3y\le 80$.
- Đậu xanh: $0,1x+0,15y\le 5\iff 2x+3y\le 100$.

Vì ràng buộc thịt chặt nhất, miền nghiệm thực chất là tam giác với $2x+3y\le 80$, $x\ge 0$, $y\ge 0$. Hàm mục tiêu $P=5x+7y$.

Trên cạnh $2x+3y=80$: $x=\frac{80-3y}{2}$, nên $P=5\cdot \frac{80-3y}{2}+7y=200-0,5y$, giảm theo $y$, lớn nhất tại $y=0$, tức $x=40$: $P=200$.

Kiểm tra các đỉnh: $(40;0)$ cho $P=200$; $(0;80/3)$ cho $P=350/3\approx 116,7$; $(0;0)$ cho $P=0$. Vậy điểm thưởng cao nhất là 200, chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ lần lượt là số đơn vị sản phẩm loại $I$ và loại $II$ cần sản xuất. Hàm mục tiêu: $P=3x+5y$ (triệu đồng). Ràng buộc từ số máy của từng nhóm:
- Nhóm $A$: $2x+2y\le 10\iff x+y\le 5$.
- Nhóm $B$: $2y\le 4\iff y\le 2$.
- Nhóm $C$: $2x+4y\le 12\iff x+2y\le 6$.
- $x\ge 0,y\ge 0$.

Miền ràng buộc có các đỉnh: $(0;0)$, $(5;0)$, giao của $x+y=5$ và $x+2y=6$ là $(4;1)$, giao của $x+2y=6$ và $y=2$ là $(2;2)$, $(0;2)$.

Tính $P=3x+5y$ tại các đỉnh:
- $(0;0)$: $P=0$.
- $(5;0)$: $P=15$.
- $(4;1)$: $P=12+5=19$.
- $(2;2)$: $P=6+10=16$.
- $(0;2)$: $P=10$.

Vậy lãi cao nhất là $19$ triệu đồng, đạt khi sản xuất $4$ đơn vị loại $I$ và $1$ đơn vị loại $II$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ (gam) là lượng thịt bò, $y$ (gam) là lượng thịt lợn, với $0\le x\le 1600$, $0\le y\le 1100$. Ràng buộc dinh dưỡng: $0,8x+0,6y\ge 900$ (protein) và $0,2x+0,4y\ge 400$ (lipit). Hàm chi phí (nghìn đồng): $P=0,045x+0,035y$.

Xét các đỉnh của miền ràng buộc:
- Giao của hai đường thẳng: giải $0,8x+0,6y=900$ và $0,2x+0,4y=400$. Nhân phương trình hai với 2: $0,4x+0,8y=800$. Trừ: $0,4x-0,2y=100\Rightarrow y=2x-500$. Thay vào: $0,8x+1,2x-300=900\Rightarrow x=600$, $y=700$. Chi phí: $P=0,045\cdot 600+0,035\cdot 700=27+24,5=51,5$.
- $(1600,200)$ (do lipit: $320+0,4y\ge 400\Rightarrow y\ge 200$): $P=72+7=79$.
- $(300,1100)$ (do protein: $0,8x+660\ge 900\Rightarrow x\ge 300$): $P=13,5+38,5=52$.
- $(1600,0)$ và $(0,1100)$ không thỏa mãn ràng buộc.

Vậy chi phí nhỏ nhất đạt tại $x=600$ gam thịt bò, $y=700$ gam thịt lợn, bằng $51,5$ nghìn đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ (tấn) là lượng gạo loại I, II nhập vào ($x,y\ge 0$). Ràng buộc: $x+y\le 9$ (doanh số) và $20x+30y\le 240\iff 2x+3y\le 24$ (vốn). Lợi nhuận $P=4,5x+5y$. Miền nghiệm có các đỉnh: $(0;0)$, $(9;0)$, giao của $x+y=9$ và $2x+3y=24$: trừ hai phương trình ta được $y=6,x=3$, tức $(3;6)$, và $(0;8)$. Tính $P$: tại $(9;0)$: $40,5$; tại $(3;6)$: $13,5+30=43,5$; tại $(0;8)$: $40$. Vậy lợi nhuận lớn nhất là $43,5$ triệu đồng, đạt khi nhập $3$ tấn gạo loại I và $6$ tấn gạo loại II. Kết quả khớp với đáp án nguồn 43,5.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ (tấn) là lượng gạo loại I, loại II nhập trong tháng ($x,y\ge 0$). Ràng buộc: $20x+30y\le 240\iff 2x+3y\le 24$; $x+y\le 9$. Lợi nhuận $P=4,5x+5y$. Miền nghiệm có các đỉnh: $(0;0)$, $(9;0)$, giao điểm của $2x+3y=24$ và $x+y=9$: giải hệ được $x=3,y=6$; và $(0;8)$. Tính $P$: tại $(9;0)$: $P=40,5$; tại $(3;6)$: $P=4,5\cdot 3+5\cdot 6=13,5+30=43,5$; tại $(0;8)$: $P=40$. Vậy lợi nhuận lớn nhất là $43,5$ triệu đồng khi nhập $3$ tấn gạo loại I và $6$ tấn gạo loại II, khớp với đáp án nguồn 43,5.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ (kg) là lượng sản phẩm $P,Q$ sản xuất. Ràng buộc: $2x+2y\le 10\Rightarrow x+y\le 5$; $2y\le 4\Rightarrow y\le 2$; $2x+4y\le 12\Rightarrow x+2y\le 6$; $x,y\ge 0$. Lợi nhuận $f=3x+5y$. Các đỉnh miền ràng buộc: $(0;0)$, $(5;0)$, giao của $x+y=5$ và $x+2y=6$ là $(4;1)$, $(0;2)$. Tính: $f(5;0)=15$, $f(4;1)=12+5=17$, $f(0;2)=10$. Vậy lợi nhuận cao nhất là $17$ triệu đồng tại $x=4,y=1$ (kiểm tra: nguyên liệu A dùng $10$, B dùng $2\le 4$, C dùng $12$).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ (đơn vị $100m^2$) lần lượt là diện tích trồng dưa vàng và nho, $x,y\ge 0$, $x+y=10$. Ràng buộc công: $30x+40y\le 360\iff 3x+4y\le 36$. Số tiền thu (triệu đồng): $P=8,5x+9,1y$. Vì hệ số của $y$ lớn hơn, ta ưu tiên trồng nho: từ $x+y=10$ và $3x+4y=36$ suy ra $y=6,x=4$ (thỏa mãn). Khi đó $P=8,5\cdot 4+9,1\cdot 6=34+54,6=88,6$ triệu đồng. Kiểm tra các đỉnh khác: $(10;0)$ cho $85$; $(0;9)$ cho $81,9$ (vì $y\le 9$ do $4y\le 36$). Vậy giá trị lớn nhất là $88,6$ triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ lần lượt là số sản phẩm $I$ và $II$ sản xuất trong tháng ($x,y\ge 0$). Ràng buộc: Chiến làm $3x+2y\le 180$ giờ, Bình làm $x+6y\le 220$ giờ. Hàm lãi: $f=500x+400y$ (nghìn đồng). Xét các đỉnh miền ràng buộc: $(0;0)$: $f=0$; $(60;0)$: $f=30000$; giao điểm hai đường thẳng: giải $3x+2y=180$, $x+6y=220$ ta được $x=40$, $y=30$, khi đó $f=500\cdot 40+400\cdot 30=20000+12000=32000$ nghìn đồng; $(0;\frac{110}{3})$: $f\approx 14667$ nghìn đồng. Vậy lãi lớn nhất là $32000$ nghìn đồng $=32$ triệu đồng, đạt khi sản xuất 40 sản phẩm $I$ và 30 sản phẩm $II$.

(AI giải đề cho tôi)
Ràng buộc: $x+y\le 8$, $20x+30y\le 180\iff 2x+3y\le 18$, $x,y\ge 0$. Lợi nhuận $P=40x+50y$ (triệu đồng). Xét các đỉnh miền ràng buộc: $(0;0)$: $P=0$; $(8;0)$: $P=320$; $(0;6)$: $P=300$; giao điểm $x+y=8$ và $2x+3y=18$ suy ra $x=6,y=2$: $P=40\cdot 6+50\cdot 2=340$ (lớn nhất). Vậy $x=6,y=2$ và $25x+3y=150+6=156$, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ (ha) là diện tích trồng ngô, $y$ (ha) là diện tích trồng đậu xanh ($x,y\ge 0$). Ràng buộc: $x+y\le 8$ (diện tích) và $20x+30y\le 180$ (ngày công). Lãi cần lớn nhất: $P=40x+50y$ (triệu đồng). Xét các đỉnh miền ràng buộc: $(0;0)$: $P=0$; $(8;0)$: $P=320$; $(0;6)$: $P=300$; giao của $x+y=8$ và $20x+30y=180$: thay $y=8-x$ ta được $20x+30(8-x)=180\Rightarrow -10x=-60\Rightarrow x=6,y=2$, khi đó $P=40\cdot 6+50\cdot 2=340$. Vậy lãi lớn nhất là $340$ triệu đồng (trồng 6 ha ngô, 2 ha đậu xanh), khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ (ha) là diện tích trồng ngô, $y$ (ha) là diện tích trồng đậu xanh ($x,y\ge 0$). Ràng buộc: $x+y\le 8$ (diện tích) và $20x+30y\le 180$ tức $2x+3y\le 18$ (ngày công). Hàm lợi nhuận: $P=40x+50y$ (triệu đồng). Xét các đỉnh miền ràng buộc: giao của $x+y=8$ và $2x+3y=18$ cho $x=6,y=2$ với $P=40\cdot 6+50\cdot 2=340$; đỉnh $(0,6)$ cho $P=300$; đỉnh $(8,0)$ cho $P=320$. Vậy lợi nhuận lớn nhất là $340$ triệu đồng, đạt khi trồng 6 ha ngô và 2 ha đậu xanh. Kết quả trùng với đáp án nguồn (340).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ là số gói thực phẩm loại $X$ và $Y$ dùng mỗi ngày ($0\le x,y\le 12$, $x,y\in \mathbb{Z}$). Ràng buộc:
- Canxi: $20x+20y\ge 240\iff x+y\ge 12$;
- Sắt: $20x+10y\ge 160\iff 2x+y\ge 16$;
- Vitamin B: $10x+20y\ge 140\iff x+2y\ge 14$.

Chi phí: $P=20x+25y$ (nghìn đồng), cần nhỏ nhất.

Xét các đỉnh của miền ràng buộc:
- Giao $x+y=12$ và $x+2y=14$: $y=2,x=10$. Kiểm tra $2x+y=22\ge 16$ ✓. Chi phí $P=200+50=250$.
- Giao $x+y=12$ và $2x+y=16$: $x=4,y=8$. Kiểm tra $x+2y=20\ge 14$ ✓. Chi phí $P=80+200=280$.
- Giao $2x+y=16$ và $x+2y=14$: $x=6,y=4$, nhưng $x+y=10<12$ ✗ (loại).
- Điểm $(12,1)$: thỏa mọi ràng buộc ($x+2y=14$), chi phí $P=240+25=265$.

Vậy chi phí nhỏ nhất $250$ nghìn đồng tại $x=10,y=2$. Tổng số gói là $x+y=10+2=12$ (khớp đáp án nguồn: 12).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ (tấn) là lượng sản phẩm I và II sản xuất. Ràng buộc: $2x+2y\le 10\Rightarrow x+y\le 5$; $2y\le 4\Rightarrow y\le 2$; $2x+4y\le 12\Rightarrow x+2y\le 6$; $x,y\ge 0$. Hàm lợi nhuận $P=3x+5y$ (triệu đồng). Các đỉnh miền ràng buộc: $(0,0),(5,0),(4,1),(2,2),(0,2)$, trong đó $(4,1)$ là giao của $x+y=5$ và $x+2y=6$; $(2,2)$ là giao của $y=2$ và $x+2y=6$. Tính $P$: tại $(5,0)$: $15$; tại $(4,1)$: $17$; tại $(2,2)$: $16$; tại $(0,2)$: $10$. Vậy lợi nhuận lớn nhất là $17$ triệu đồng tại $x=4,y=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ (đơn vị: $100m^2$) lần lượt là diện tích trồng hoa thược dược và hoa cẩm tú cầu ($x,y\ge 0$). Ràng buộc: tổng diện tích $x+y\le 50$ (vì đất $5000m^2=50\times 100m^2$); tổng giờ công $3,2x+4,8y\le 24\times 8=192$. Hàm mục tiêu: $T=300x+400y$ (nghìn đồng). Xét hiệu suất trên mỗi giờ công: hoa thược dược cho $\frac{300}{3,2}=93,75$ nghìn đồng/giờ công; hoa cẩm tú cầu cho $\frac{400}{4,8}\approx 83,33$ nghìn đồng/giờ công. Vì hoa thược dược có hiệu suất cao hơn, nên ưu tiên trồng hoa thược dược. Với $y=0$: từ $x\le 50$ và $3,2x\le 192\Rightarrow x\le 60$, chọn $x=50$. Khi đó $T=300\times 50=15000$ nghìn đồng $=15$ triệu đồng (sử dụng $50\times 3,2=160$ giờ công $=20$ ngày công $\le 24$ ngày công, thỏa mãn). Vậy số tiền nhiều nhất bác Minh thu được là $15$ triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Ràng buộc: $20x+10y\ge 120\iff 2x+y\ge 12$; $0,6x+1,5y\ge 9\iff 2x+5y\ge 30$; $0\le x\le 10$, $0\le y\le 9$. Chi phí $C=4x+3y$. Giao hai đường thẳng $2x+y=12$ và $2x+5y=30$: trừ hai phương trình được $4y=18\Rightarrow y=4,5$, $x=3,75$ (thỏa mọi ràng buộc). Các đỉnh khác của miền ràng buộc: $(10;2)$ cho $C=46$; $(3,75;4,5)$ cho $C=4\cdot 3,75+3\cdot 4,5=15+13,5=28,5$ (triệu đồng) là nhỏ nhất. Vậy $x+y=3,75+4,5=8,25$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ là số sản phẩm loại $I$, $II$ sản xuất trong tháng ($x,y\ge 0$). Ràng buộc: An làm $3x+2y\le 180$ giờ, Bình làm $x+6y\le 220$ giờ. Lãi: $P=0,5x+0,4y$ (triệu đồng). Miền nghiệm có các đỉnh $(0;0)$, $(60;0)$, giao điểm hai đường thẳng và $(0;\frac{110}{3})$. Giải hệ $3x+2y=180$, $x+6y=220$: nhân phương trình thứ hai với 3 ta được $3x+18y=660$, trừ đi $3x+2y=180$ suy ra $16y=480\Rightarrow y=30$, $x=40$. Tại $(40;30)$: $P=0,5\cdot 40+0,4\cdot 30=20+12=32$ triệu đồng. Kiểm tra các đỉnh khác: $(60;0)$ cho $30$; $(0;110/3)$ cho $\approx 14,67$. Vậy lãi lớn nhất là $32$ triệu đồng, khớp đáp án nguồn (mã đề 1103, câu 4 = 32).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ lần lượt là số sản phẩm loại $I$ và $II$ sản xuất trong tháng ($x,y\ge 0$, nguyên). Ràng buộc giờ làm: An: $3x+2y\le 180$; Bình: $x+6y\le 220$. Hàm lãi (triệu đồng): $P=0,5x+0,4y$. Miền nghiệm có các đỉnh: $(0;0)$, $(60;0)$, giao điểm của $3x+2y=180$ và $x+6y=220$: giải hệ được $y=30$, $x=40$ (thỏa mãn), và $(0;\frac{110}{3})$. Tính $P$: tại $(60;0)$: $P=30$; tại $(40;30)$: $P=20+12=32$; tại $(0;\frac{110}{3})$: $P\approx 14,67$. Vậy lãi lớn nhất là $32$ triệu đồng, đạt tại $x=40$, $y=30$ (An làm $3\cdot 40+2\cdot 30=180$ giờ, Bình làm $40+6\cdot 30=220$ giờ, đều đúng giới hạn). Kết quả khớp với đáp án nguồn 32.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ là số xe loại $A$ và $B$ cần thuê ($0\le x\le 10$, $0\le y\le 9$, $x,y\in \mathbb{Z}$). Ràng buộc: chở người $20x+10y\ge 140\iff 2x+y\ge 14$; chở hàng $0,6x+1,5y\ge 9\iff 2x+5y\ge 30$ (đề dùng từ "trên 140 người" và "trên 9 tấn", nhưng đáp án chính thức của đề cho kết quả ứng với trường hợp ràng buộc không nghiêm ngặt $\ge$). Chi phí $C=4x+3y$ (triệu đồng). Xét các đỉnh miền ràng buộc: giao điểm $2x+y=14$ và $2x+5y=30$ cho $y=4$, $x=5$ (thỏa mãn), khi đó $C=4\cdot 5+3\cdot 4=32$. Các đỉnh khác: $x=3,y=9$ cho $C=39$; $x=10,y=3$ cho $C=49$. Theo đáp án chính thức của đề (mã đề 0105, câu 18), chi phí nhỏ nhất là $32$ triệu đồng khi thuê $5$ xe loại $A$ và $4$ xe loại $B$ (kiểm tra: $5$ xe A chở $100$ người, $3$ tấn; $4$ xe B chở $40$ người, $6$ tấn — đạt đúng $140$ người và $9$ tấn). Lưu ý: nếu hiểu ràng buộc là nghiêm ngặt (trên 140 người và trên 9 tấn) thì phương án $(5,4)$ không khả thi và chi phí nhỏ nhất sẽ khác; đáp án chính thức của đề vẫn là $32$. Đáp số: $32$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ (tấn) là lượng nguyên liệu loại I, II cần mua ($0\le x\le 12$, $0\le y\le 8$). Chi phí $P=5x+4y$ (triệu đồng). Ràng buộc: $25x+10y\ge 190\iff 5x+2y\ge 38$ và $0,5x+2,5y\ge 13\iff x+5y\ge 26$. Giao hai đường thẳng $5x+2y=38$, $x+5y=26$: giải hệ được $x=6$, $y=4$ (thỏa giới hạn). Khi đó $P=5\cdot 6+4\cdot 4=46$. Kiểm tra các đỉnh khác: $(12;2,8)$ cho $P=71,2$; $(4,4;8)$ cho $P=54$; $(12;8)$ cho $P=92$. Vậy chi phí ít nhất là $46$ triệu đồng, đạt tại $x=6$ tấn loại I và $y=4$ tấn loại II (chiết xuất đúng $190$ kg chất A và $13$ kg chất B). Kết quả khớp đáp án nguồn 46.