Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

Từ bảng xét dấu của đạo hàm, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi qua $x=1$ (từ âm sang dương) và khi qua $x=2$ (từ dương sang âm). Khi qua $x=-1$, $f^{\prime }(x)$ không đổi dấu (vẫn mang dấu âm). Vậy hàm số có 2 điểm cực trị.

Theo bảng đáp án chính thức, Câu 25 chọn đáp án C.

Từ bảng biến thiên, hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$ và giá trị cực tiểu tương ứng là $y_{CT}=-2$.

Chọn đáp án C.

Theo bảng đáp án chính thức, Câu 34 chọn đáp án C.

Từ bảng xét dấu, đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi đi qua 2 điểm (từ dương sang âm hoặc ngược lại), và không đổi dấu tại điểm còn lại.
Do đó hàm số có đúng 2 điểm cực trị.

Chọn đáp án C.

Hàm số $f(x)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$, đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi đi qua $x=0$ (từ $-$ sang $+$) và $x=3$ (từ $+$ sang $-$), nên hàm số có $2$ điểm cực trị.

Đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm duy nhất khi qua $x=-2$ ($x=0$ là nghiệm bội chẵn, $x=\frac{1}{2}$ đổi dấu từ âm sang dương), nên hàm số có $1$ điểm cực đại.

Đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi đi qua hai nghiệm bội lẻ $x=-1$ và $x=3$ (không đổi dấu qua nghiệm bội chẵn $x=0$). Vậy hàm số có $2$ điểm cực trị.

Chọn D.
Ta có $y^{\prime }=3x^2-6x=3x(x-2)=0⟺x=0$ hoặc $x=2$.
Giá trị cực đại: $y_{CĐ}=y(0)=1$.
Giá trị cực tiểu: $y_{CT}=y(2)=8-12+1=-3$.
Tích các giá trị cực đại và cực tiểu là $y_{CĐ}\cdot y_{CT}=1\cdot (-3)=-3$.

Theo bảng đáp án chính thức, Câu 9 chọn đáp án C.

Hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ đạt cực trị tại các điểm mà tại đó đạo hàm $f^{\prime }(x)=0$ hoặc không xác định đồng thời $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi qua điểm đó.
Từ bảng xét dấu:
- Khi qua $x=a$, đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm (điểm cực đại).
- Khi qua $x=b$, đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương (điểm cực tiểu).
- Khi qua $x=c$, đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm (điểm cực đại).
- Khi qua $x=d$, $f^{\prime }(d)=0$ nhưng $f^{\prime }(x)$ không đổi dấu (vẫn mang dấu âm).
Vậy hàm số $y=f(x)$ có đúng 3 điểm cực trị.

Chọn đáp án C.

Theo bảng đáp án chính thức, Câu 31 chọn đáp án A.

Từ bảng biến thiên của hàm số $y=f(x)$:
- Điểm cực đại của đồ thị hàm số là $A(-2;7)$.
- Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là $B(1;3)$.
Khoảng cách giữa hai điểm cực trị là:
$AB=\sqrt{(1-(-2){)}^2+(3-7{)}^2}=\sqrt{3^2+(-4{)}^2}=5.$

Chọn đáp án A.

Ta có $y^{\prime }=3x^2-6x=0⟺x=0$ hoặc $x=2$. Bảng biến thiên:



Từ bảng biến thiên, hàm số đạt cực đại tại $x=0,y=2$. Do đó tọa độ điểm cực đại của đồ thị là $(0;2)$.

Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-6x-9=0\iff x^2-2x-3=0$. Theo định lí Vi-ét, tổng hai hoành độ cực trị là $S=x_1+x_2=2$.

Ta có $y^{\prime }=12x^2-12x=12x(x-1)$. Hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$ với giá trị cực tiểu $y(1)=4-6+11=9$.

Ta có $y^{\prime }=-44x^3+8x=-4x(11x^2-2)$. Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=0$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$.

Phương trình $f^{\prime }(x)=0⟺e^{2x}=3$ hoặc $x^2-x-2=0$. Ta có các nghiệm $x_1=-1$, $x_2=\frac{\ln 3}{2}\approx 0,55$, $x_3=2$. Cả 3 nghiệm đều là nghiệm đơn và $-1<\frac{\ln 3}{2}<2$. Xét dấu $f^{\prime }(x)$: trên $(-\infty ;-1)$ âm, $(-1;\frac{\ln 3}{2})$ dương, $(\frac{\ln 3}{2};2)$ âm, $(2;+\infty )$ dương. Do đó đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=-1$ và $x=2$, suy ra hàm số có 2 điểm cực tiểu.

Chọn C.
Quan sát bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$:
- Tại $x=-2$, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$.
- Tại $x=0$, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$.
- Tại $x=1$, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$.
- Tại $x=3$, $f^{\prime }(x)$ không đổi dấu (vẫn là âm ở cả hai phía).
Vậy hàm số có đúng 3 điểm cực trị.

Chọn A.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Yên Phong số 2 - Bắc Ninh, Mã đề 101, Trang 7-8)

Dựa vào bảng biến thiên, đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua $x=2$ và $f(2)=-2$.
Do đó hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=2$.

Chọn C.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Yên Phong số 2 - Bắc Ninh, Mã đề 101, Trang 7-8)

Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm, qua điểm $x=0$, đạo hàm $f^{\prime }(x)$ không đổi dấu (hoặc hàm số không đạt cực tiểu tại $x=0$).
Do đó mệnh đề "Hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$" là sai.

Theo định lí Fermat về điều kiện cần của cực trị: Nếu hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm tại điểm $x_0$ và đạt cực trị tại điểm đó thì $f^{\prime }(x_0)=0$.
Chọn D.

Từ bảng biến thiên, ta thấy $y^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=2$, do đó hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=2$ (giá trị cực tiểu là $y=-5$).
Chọn A.