Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $y=\frac{x^2+3x+3}{x+1}=x+2+\frac{1}{x+1}$, xác định trên từng khoảng $x\ne -1$. Ta có $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x+1{)}^2}=\frac{x(x+2)}{(x+1{)}^2}$. $y^{\prime }=0$ tại $x=0$ và $x=-2$. Xét dấu: trên $(-\infty ,-1)$, $y^{\prime }>0$ khi $x<-2$ và $y^{\prime }<0$ khi $-2<x<-1$, nên $x=-2$ là điểm cực đại với $y(-2)=0+\frac{1}{-1}=-1$, tức $a=-1$. Trên $(-1,+\infty )$, $y^{\prime }<0$ khi $-1<x<0$ và $y^{\prime }>0$ khi $x>0$, nên $x=0$ là điểm cực tiểu với $y(0)=2+1=3$, tức $b=3$. Vậy $a+7b=-1+7\cdot 3=20$, khớp với đáp án của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $y=\frac{x^2-x+1}{x-1}=x+\frac{1}{x-1}$ với $x\ne 1$. Ta có $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x-1{)}^2}=\frac{x(x-2)}{(x-1{)}^2}$. $y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=2$. Xét dấu: trên $(-\infty ;0)$: $y^{\prime }>0$; trên $(0;1)$: $y^{\prime }<0$; trên $(1;2)$: $y^{\prime }<0$; trên $(2;+\infty )$: $y^{\prime }>0$. Vậy hàm số đạt cực đại tại $x=0$ với $a=y(0)=-1$, đạt cực tiểu tại $x=2$ với $b=y(2)=3$. Suy ra $a+5b=-1+15=14$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, Phần III Câu 1 = 14).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2+6x-9=3(x+3)(x-1)$, nên $f$ đồng biến trên $(-\infty ;-3)$ và $(1;+\infty )$, nghịch biến trên $(-3;1)$. Các điểm cực trị: $A(-3;29)$ vì $f(-3)=-27+27+27+2=29$, và $B(1;-3)$ vì $f(1)=1+3-9+2=-3$.

a) Trên đoạn $[-3;5]$: $f(-3)=29$, $f(1)=-3$, $f(5)=125+75-45+2=157$. Vậy GTLN bằng $157$ → Đúng.

b) $AB=\sqrt{(1-(-3){)}^2+(-3-29{)}^2}=\sqrt{16+1024}=\sqrt{1040}=4\sqrt{65}\ne 2\sqrt{65}$ → Sai.

c) Theo dấu của $f^{\prime }(x)$, hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-3)$ và $(1;+\infty )$ → Đúng.

d) $f(x)=0$ có 3 nghiệm phân biệt ($f(-5)=-3<0$, $f(-4)=22>0$ nên một nghiệm trong $(-5;-4)$; $f(0)=2>0$, $f(1)=-3<0$ nên một nghiệm trong $(0;1)$; $f(1)=-3<0$, $f(2)=4>0$ nên một nghiệm trong $(1;2)$), tất cả đều là nghiệm đơn. Do đó $g(x)=|f(x)|$ có các điểm cực trị tại $x=-3$, $x=1$ (cực trị của $f$) và tại 3 nghiệm đơn của $f$, tổng cộng 5 điểm cực trị → Đúng.

Kết quả: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng, khớp với bảng đáp án mã đề 0119 (DSDD).
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[-3;5]$, so sánh $f(-3)=29$, $f(1)=-3$, $f(5)=157$, GTLN bằng $157$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$A(-3;29)$, $B(1;-3)$ nên $AB=\sqrt{16+1024}=4\sqrt{65}$, không phải $2\sqrt{65}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=3(x+3)(x-1)>0$ trên $(-\infty ;-3)$ và $(1;+\infty )$, nên $f$ đồng biến trên hai khoảng đó.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=0$ có 3 nghiệm đơn (mỗi nghiệm thuộc một khoảng $(-5;-4)$, $(0;1)$, $(1;2)$); $g(x)=|f(x)|$ có cực trị tại $x=-3$, $x=1$ và tại 3 nghiệm đó, tổng 5 điểm cực trị.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(t)=\frac{5000}{1+5e^{-t}}$. Tốc độ bán hàng $f^{\prime }(t)=\frac{25000e^{-t}}{(1+5e^{-t}{)}^2}$. Đặt $u=e^{-t}>0$, xét $g(u)=\frac{25000u}{(1+5u{)}^2}$. $g^{\prime }(u)=\frac{25000(1-5u)}{(1+5u{)}^3}=0\iff u=\frac{1}{5}$, tức $e^{-t}=\frac{1}{5}\iff t=\ln 5$. Tại đó $f(\ln 5)=\frac{5000}{1+5\cdot \frac{1}{5}}=\frac{5000}{2}=2500$. Vậy tại thời điểm tốc độ bán hàng lớn nhất, doanh số là 2500 sản phẩm, khớp với đáp án nguồn (mã đề 0119, câu 5 = 2500).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=e^{3x}(2x-1)+3(x^2-x-1)e^{3x}=e^{3x}(3x^2-x-4)$. Cho $y^{\prime }=0$: $3x^2-x-4=0\Rightarrow x=-1$ hoặc $x=\frac{4}{3}$. Vì $e^{3x}>0$, xét dấu của $3x^2-x-4$: âm trên $(-1;\frac{4}{3})$, dương ngoài khoảng. Vậy hàm số đạt cực đại tại $x=-1$ với $y_{CĐ}=(1+1-1)e^{-3}=e^{-3}\approx 0,0498\approx 0,05$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 0,05.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+b$. Vì tháng thứ ba ($x=3$) đạt mức thấp nhất 3 điểm nên $f(3)=3$ và $f^{\prime }(3)=0$. Tháng đầu tiên ($x=1$) đạt 19 điểm nên $f(1)=19$.

Từ $f^{\prime }(3)=0$: $27+6a+b=0\Rightarrow 6a+b=-27$.
Từ $f(3)-f(1)=3-19=-16$: $(27+9a+3b+c)-(1+a+b+c)=26+8a+2b=-16\Rightarrow 4a+b=-21$.
Suy ra $2a=-6\Rightarrow a=-3$, $b=-9$, và $c=19-1-a-b=19-1+3+9=30$.

Kiểm tra: $f^{\prime }(x)=3x^2-6x-9=3(x-3)(x+1)$, hàm giảm trên $(-1;3)$ và tăng từ $x=3$ trở đi, phù hợp đề bài; $f(1)=1-3-9+30=19$, $f(3)=27-27-27+30=3$.

Điểm tháng thứ sáu: $f(6)=216+36(-3)+(-9)(6)+30=216-108-54+30=84$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$, $f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+b$. Theo đề: $f(1)=19$; $f(3)=3$ là mức thấp nhất nên $x=3$ là điểm cực tiểu, tức $f^{\prime }(3)=0$; hàm giảm trước $x=3$ và tăng sau $x=3$. Vì $f^{\prime }$ là tam thức bậc hai có nghiệm $x=3$ và đổi dấu từ âm sang dương qua $x=3$, nghiệm còn lại phải nhỏ hơn 3; kết hợp điều kiện hàm giảm tại tháng thứ hai (khoảng $x=2$) và tăng từ $x=3$, ta thử $f^{\prime }(x)=3(x-3)(x+1)=3x^2-6x-9$, tức $a=-3$, $b=-9$. Khi đó từ $f(1)=1-3-9+c=19$ suy ra $c=30$. Vậy $f(x)=x^3-3x^2-9x+30$. Kiểm tra: $f(1)=19$; $f(3)=27-27-27+30=3$; $f^{\prime }(x)=3(x-3)(x+1)<0$ với $x\in (-1;3)$ nên hàm giảm qua tháng thứ hai, đạt cực tiểu tại $x=3$ rồi tăng — khớp hoàn toàn dữ kiện. Do đó $f(6)=216-108-54+30=84$. Điểm ở tháng thứ sáu là 84, khớp với bảng đáp án trang 9 (Câu 18, Mã đề 1001: 84).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(t)=-\frac{3t^2}{1000}+2bt+c$. Vì hồ đạt lượng nước lớn nhất tại ngày thứ 80 (điểm trong khoảng $(0;120)$) nên $f^{\prime }(80)=0\Rightarrow -19,2+160b+c=0$. again $f(80)=5120$: $-512+6400b+80c+1200=5120\Rightarrow 6400b+80c=4432$. Thế $c=19,2-160b$ vào: $6400b+1536-12800b=4432\Rightarrow -6400b=2896\Rightarrow b=-0,4525$, $c=19,2-160(-0,4525)=91,6$.

a) $f(0)=1200$ m³ → đúng.

b) $b=-0,4525\ne -0,5$ → sai. (Kiểm tra: nếu $b=-0,5$ thì $f(80)=5424\ne 5120$.)

c) $f^{\prime }(t)=-0,003t^2-0,905t+91,6$ là parabol hướng xuống, nghiệm $t=80$ và $t\approx -381,7$, nên $f^{\prime }(t)>0$ trên $(0;80)$: hàm số tăng trên $(0;80)$, do đó trong 40 ngày đầu lượng nước luôn tăng → đúng.

d) $f(120)=-1728+14400(-0,4525)+120(91,6)+1200=-1728-6516+10992+1200=3948$ m³ $<4000$ m³ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f(0)=1200$ m³.
b) (AI giải đề cho tôi)
Giải hệ $f^{\prime }(80)=0$, $f(80)=5120$ được $b=-0,4525\ne -0,5$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(t)>0$ trên $(0;80)$ nên hàm số tăng, đặc biệt tăng trong 40 ngày đầu.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f(120)=3948$ m³ $<4000$ m³.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên của $f^{\prime }(x)$: $f^{\prime }$ tăng từ $-\infty$ đến $1$ tại $x=-1$, rồi giảm đến $-1$ tại $x=1$, rồi tăng đến $+\infty$. Do đó $f^{\prime }(x)$ có đúng 3 nghiệm: $x_1<-1$, $x_2\in (-1;1)$, $x_3>1$. Dấu của $f^{\prime }$: âm trên $(-\infty ;x_1)$, dương trên $(x_1;x_2)$, âm trên $(x_2;x_3)$, dương trên $(x_3;+\infty )$. Vậy $f$ đạt cực đại tại $x_1$, cực tiểu tại $x_2$ và $x_3$. Hàm số $y=f(x)$ có 2 điểm cực tiểu.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f^{\prime }(x)=x(x-1)(x+2{)}^2(x-3{)}^5$. Các nghiệm của $f^{\prime }(x)=0$ là $x=-2,0,1,3$. Xét dấu $f^{\prime }$:
- Tại $x=-2$: nhân tử $(x+2{)}^2$ có số mũ chẵn nên $f^{\prime }$ không đổi dấu qua $x=-2$ → không phải cực trị.
- Tại $x=0$: nhân tử $x$ có số mũ lẻ (bậc 1), $f^{\prime }$ đổi dấu (dương sang âm) → cực đại.
- Tại $x=1$: nhân tử $(x-1)$ bậc 1, $f^{\prime }$ đổi dấu (âm sang dương) → cực tiểu.
- Tại $x=3$: nhân tử $(x-3{)}^5$ có số mũ lẻ, $f^{\prime }$ đổi dấu (dương sang âm) → cực đại.

Vậy hàm số có 3 điểm cực trị (tại $x=0,1,3$), khớp với đáp số 3 của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Xét dấu $f^{\prime }(x)=x(x-1)(x+2{)}^2(x-3{)}^5$. Nghiệm $x=-2$ có bậc chẵn nên $f^{\prime }$ không đổi dấu qua $-2$ (không phải cực trị). Trên $(-\infty ;-2)$ và $(-2;0)$: $f^{\prime }<0$; trên $(0;1)$: $f^{\prime }>0$; trên $(1;3)$: $f^{\prime }<0$; trên $(3;+\infty )$: $f^{\prime }>0$. Vậy $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ tại $x=0$ và tại $x=3$: hai điểm cực tiểu; đổi dấu từ $+$ sang $-$ tại $x=1$: một điểm cực đại. Hàm số có 2 điểm cực tiểu, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm nghịch biến trên $(-\infty ;0)$, đồng biến trên $(0;2)$, nghịch biến trên $(2;+\infty )$, với $f(0)=1$, $f(2)=5$, và $y\to -\infty$ khi $x\to +\infty$ nên $a<0$.
a) Sai: vì $y\to -\infty$ khi $x\to +\infty$ nên $a<0$, do đó khẳng định $a>0$ là sai.
b) Đúng: trên $(-\infty ;0)$ hàm giảm liên tục từ $+\infty$ xuống $f(0)=1$, nên $2f(x)$ nhận mọi giá trị trong $(2;+\infty )$. Vì $2<e\approx 2,718$, phương trình $2f(x)-e=0$ luôn có đúng một nghiệm âm.
c) Đúng: $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi đi qua $x=2$, nên hàm đạt cực đại tại $x=2$ với $f(2)=5$.
d) Sai: trên $(1;5)$, hàm đồng biến trên $(1;2)$ và nghịch biến trên $(2;5)$, nên không đồng biến trên toàn khoảng $(1;5)$.
Kết quả S-Đ-Đ-S khớp đáp án mã 1020 (SDDS).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Vì $y\to -\infty$ khi $x\to +\infty$ nên $a<0$, do đó $a>0$ là sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Trên $(-\infty ;0)$ hàm giảm từ $+\infty$ đến $1$, nên $2f(x)$ nhận mọi giá trị trong $(2;+\infty )$; vì $2<e$ nên phương trình $2f(x)-e=0$ luôn có một nghiệm âm.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }$ đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua $x=2$, nên hàm đạt cực đại tại $x=2$ với $f(2)=5$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Trên $(1;5)$, hàm đồng biến trên $(1;2)$ và nghịch biến trên $(2;5)$, nên không đồng biến trên toàn khoảng $(1;5)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: điểm $(0;1)$ là điểm cực tiểu, đồ thị đi qua $(-1;2)$ và $(-2;1)$. Suy ra $d=f(0)=1$, $f^{\prime }(0)=0\Rightarrow c=0$. Với $f(-1)=-a+b+1=2\Rightarrow -a+b=1$ và $f(-2)=-8a+4b+1=1\Rightarrow b=2a$, giải được $a=1,b=2$, tức $f(x)=x^3+2x^2+1$. Kiểm tra: $f^{\prime }(x)=3x^2+4x=x(3x+4)$, cực đại tại $x=-\frac{4}{3}$ với $f\left(-\frac{4}{3}\right)=\frac{59}{27}\approx 2,19$ (khớp đỉnh hơi lệch trái so với điểm $(-1;2)$ đánh dấu), cực tiểu tại $x=0$.
a) Sai — hàm số đồng biến trên $\left(-\infty ;-\frac{4}{3}\right)$ và $(0;+\infty )$, nghịch biến trên $\left(-\frac{4}{3};0\right)$, nên không đồng biến trên toàn khoảng $(-\infty ;-1)$.
b) Đúng — $a=1>0,b=2>0,c=0,d=1>0$: có ba số dương là $a,b,d$.
c) Sai — hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$, không phải $x=1$.
d) Đúng — $f(0)=d=1$, đồ thị cắt $Oy$ tại $(0;1)$.
Kết quả a) S, b) D, c) S, d) D khớp với đáp án mã đề 1020 (SDSD).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$f(x)=x^3+2x^2+1$, $f^{\prime }(x)=3x^2+4x=x(3x+4)$. Hàm số đồng biến trên $\left(-\infty ;-\frac{4}{3}\right)$, nghịch biến trên $\left(-\frac{4}{3};0\right)$. Vì $-\frac{4}{3}<-1$ nên trên khoảng $(-\infty ;-1)$ hàm số không đồng biến toàn phần (đoạn $\left(-\frac{4}{3};-1\right)$ nghịch biến).
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: $d=f(0)=1$, $f^{\prime }(0)=0\Rightarrow c=0$; qua $(-1;2)$ và $(-2;1)$ giải được $a=1,b=2$. Vậy $a>0,b>0,d>0,c=0$: có ba số dương.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=x(3x+4)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ tại $x=0$, nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$, không phải tại $x=1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$f(0)=d=1$, nên đồ thị cắt trục $Oy$ tại điểm $(0;1)$ (đúng là điểm cực tiểu trên hình vẽ).

Đáp án: 2,7. Có $y^{\prime }=m{x}^2-2(m-1)x+3(m-2)$. Hàm số đạt cực trị tại $x_1,x_2$ thỏa mãn $x_1+2x_2=1$ suy ra $x_2=\frac{2-m}{m}$. Do $x_2=\frac{2-m}{m}$ là nghiệm của phương trình $m{x}^2-2(m-1)x+3(m-2)=0$ nên $$m{\left(\frac{2-m}{m}\right)}^2-2(m-1)\left(\frac{2-m}{m}\right)+3(m-2)=0\iff \{\begin{array}{l}m=2\\ m=\frac{2}{3}\end{array}.$$ Thử lại thấy $\{\begin{array}{l}m=2\\ m=\frac{2}{3}\end{array}$ đều thỏa mãn yêu cầu bài toán. Vậy $a+b=\frac{8}{3}\approx 2,7$.

(AI giải đề cho tôi)
Viết $y=\frac{x^2+x+4}{x+1}=x+\frac{4}{x+1}$ với $x\ne -1$. Ta có $y^{\prime }=1-\frac{4}{(x+1{)}^2}=0\iff (x+1{)}^2=4\iff x=1$ hoặc $x=-3$. Xét dấu $y^{\prime }$: $y^{\prime }>0$ trên $(-\infty ;-3)$ và $(1;+\infty )$; $y^{\prime }<0$ trên $(-3;-1)$ và $(-1;1)$. Vậy hàm số đạt cực đại tại $x=-3$ với $m=y(-3)=\frac{9-3+4}{-2}=-5$, và đạt cực tiểu tại $x=1$ với $n=y(1)=\frac{1+1+4}{2}=3$. Do đó $P=m^2+n^2=(-5{)}^2+3^2=25+9=34$.

a) Tập xác định: $D=\mathbb{R}$
Sự biến thiên: $y^{\prime }=3x^2-6x=0\iff \{\begin{array}{l}x=0\\ x=2\end{array}$ và ${\lim }_{x\to -\infty }y=-\infty$; ${\lim }_{x\to +\infty }y=+\infty$
Bảng biến thiên:
[Hình cần kiểm tra lại: p4_f1]
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;2)$ và đồng biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;0)$ và $(2;+\infty )$.
Hàm số đạt cực đại tại $x=0;y_{CD}=1$ và đạt cực tiểu tại $x=2;y_{CT}=-3$.

b) Hàm số đã cho xác định trên $\mathbb{R}$.
Ta có: $f^{\prime }(x)=-4x^3+16x$.
Từ đó: $f^{\prime }(x)=0\iff \{\begin{array}{l}x=0\in [0;3]\\ x=-2\notin [0;3]\\ x=2\in [0;3]\end{array}$
Ta có: $f(0)=-7,f(2)=9,f(3)=-16$.
Vậy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lần lượt là $-16$ và $9$.

$$h(t)=24t+5t^2-\frac{t^3}{3}$$
$$h^{\prime }(t)=24+10t-t^2$$
$$h^{\prime }(t)=0\iff 24+10t-t^2=0\iff \{\begin{array}{l}t=-2\text{(loại)}\\ t=12\text{(t/m)}\end{array}$$

BBT:

[Hình cần kiểm tra lại: p7_f2]

Vậy để mực nước lên cao nhất thì phải mất 12 giờ. Vậy phải thông báo cho dân di dời vào 15 giờ chiều cùng ngày.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $g(x)=f(x)+x$ nên $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)+1$, do đó $g^{\prime }(x)=0\iff f^{\prime }(x)=-1$. Từ đồ thị của $f^{\prime }(x)$: trên khoảng $(-\infty ;0)$, $f^{\prime }(x)\ge 0$ (đồ thị chạm trục hoành tại $x=-3$ rồi đạt cực đại bằng 2), nên không có nghiệm của $f^{\prime }(x)=-1$ ở đó. Trên khoảng $(0;3)$, đồ thị $f^{\prime }(x)$ đi xuống dưới trục (có giá trị nhỏ hơn $-1$) rồi đi lên cắt trục tại $x=3$, nên phương trình $f^{\prime }(x)=-1$ có đúng 2 nghiệm trong khoảng này. Tại hai nghiệm đó, $g^{\prime }(x)$ đổi dấu (vì $f^{\prime }$ đơn điệu qua các mức $-1$), nên $g$ có 2 điểm cực trị. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 002, câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $g(x)=f(x)+x$ nên $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)+1$, do đó $g^{\prime }(x)=0\iff f^{\prime }(x)=-1$. Dựa vào đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$: đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm (khoảng $x=-3$, $x=0$, $x=3$), có điểm cực đại với giá trị $2$ và điểm cực tiểu với giá trị nhỏ hơn $-1$. Vậy đường thẳng $y=-1$ cắt đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ tại đúng $2$ điểm phân biệt, và tại cả hai điểm này $f^{\prime }(x)$ đổi dấu (một điểm $f^{\prime }$ đi từ $+$ xuống $-$, một điểm đi từ $-$ lên $+$). Do đó $g^{\prime }(x)$ đổi dấu qua đúng $2$ điểm, tức hàm $g(x)$ có $2$ điểm cực trị. Kết quả khớp với đáp án nguồn: D.