Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị từ đạo hàm và bảng biến thiên (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm số có dạng chữ W: ba điểm cực tiểu là ba nơi đồ thị chạm trục hoành (tại $x=-1$, $x=0$ và điểm bên phải khoảng $x\approx 2$) và hai điểm cực đại là hai đỉnh cao $y=2$ (tại $x\approx -0,5$ và $x=1$). Vì hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$, tại mỗi điểm này hàm số đổi chiều biến thiên (từ giảm sang tăng hoặc từ tăng sang giảm) nên tất cả đều là điểm cực trị. Vậy hàm số có $3+2=5$ điểm cực trị, chọn B.

Ta thấy $x^2\ge 0$ và $(x-3{)}^2\ge 0$ với mọi $x$, tức là $f^{\prime }(x)$ không đổi dấu khi qua $x=0$ và $x=3$.
$f^{\prime }(x)$ chỉ đổi dấu duy nhất một lần khi đi qua nghiệm bội lẻ $x=2$.
Do đó hàm số có đúng 1 điểm cực trị.

Chọn D.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Trần Phú - Hà Tĩnh, Mã đề 101, Trang 5)

Hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$.
Quan sát bảng xét dấu:
- Khi qua $x=-1$, đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương nên $x=-1$ là một điểm cực trị (điểm cực tiểu).
- Khi qua $x=0$, đạo hàm $f^{\prime }(x)$ không đổi dấu (vẫn mang dấu $+$).
- Khi qua $x=3$, đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm nên $x=3$ là một điểm cực trị (điểm cực đại).
Vậy hàm số có tất cả 2 điểm cực trị.

Chọn D.
Ta có $y^{\prime }=x^2+2x-3=(x-1)(x+3)$.
$y^{\prime }=0\iff x=1$ hoặc $x=-3$.
$y^{\prime \prime }=2x+2\Rightarrow y^{\prime \prime }(1)=4>0$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$.

Chọn D.
Phương trình $f^{\prime }(x)=0$ có các nghiệm là $x=0$ (bội 1), $x=-1$ (bội 1), $x=4$ (bội 2).
Đạo hàm chỉ đổi dấu khi đi qua các nghiệm bội lẻ là $x=0$ và $x=-1$.
Tại nghiệm bội chẵn $x=4$, đạo hàm không đổi dấu.
Vậy hàm số có $2$ điểm cực trị.

Xét hàm số $y=x^3-6x^2+9x+1$ có $y^{\prime }=3x^2-12x+9$ và $y^{\prime \prime }=6x-12$.
Ta có $y^{\prime }(1)=3(1{)}^2-12(1)+9=0$ và $y^{\prime \prime }(1)=6(1)-12=-6<0$.
Do đó $x=1$ là điểm cực đại của hàm số $y=x^3-6x^2+9x+1$.

Theo bảng đáp án Mã đề 121 (trang 5): Chọn B. Đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm tại $2$ điểm $x=-1$ và $x=2$, nên hàm số có $2$ điểm cực đại.

Hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi đi qua $3$ điểm $x=-1,x=0,x=1$ (qua $x=2$ đạo hàm không đổi dấu), nên hàm số có $3$ điểm cực trị. Chọn C.

Quan sát bảng biến thiên:
- Khi $x\to \pm \infty$ thì $y\to +\infty$, do đó hàm số không có giá trị lớn nhất trên $\mathbb{R}$. Mệnh đề "Hàm số có giá trị lớn nhất bằng $-3$" là sai (giá trị cực đại của hàm số là $-3$, không phải giá trị lớn nhất).

Ta có $f^{\prime }(x)=x(x-1)(x-2)(x+2)$. Phương trình $f^{\prime }(x)=0$ có bốn nghiệm đơn là $-2,0,1,2$. Bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$: dương trên $(-\infty ;-2)$, âm trên $(-2;0)$, dương trên $(0;1)$, âm trên $(1;2)$, dương trên $(2;+\infty )$. Đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm tại $x=-2$ và $x=1$, do đó hàm số có 2 điểm cực đại. Chọn D.

Ta có: $y^{\prime }=4x^3-4x\Rightarrow y^{\prime }=0\iff \left[\begin{array}{c}x=0,y=-2\\ x=\pm 1,y=-3\end{array}\right]$.



Hàm số có giá trị cực đại bằng $-2$ tại điểm $x=0$.

**Chọn C**

(Theo bảng đáp án chính thức của Trường THPT Bạch Đằng - Mã đề 101, trang 7-8; đề thi gốc không kèm lời giải tự luận chi tiết).

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 9), Câu 3 (Phần II): a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.

a) Ta có đạo hàm $y^{\prime }=(-x^3+3x-1{)}^{\prime }=-3x^2+3$. Khẳng định a đúng.

b) Cho $y^{\prime }=0\iff -3x^2+3=0\iff x^2=1\iff x=\pm 1$.
Trên khoảng $(-1;1)$, ta có $y^{\prime }>0$ nên hàm số đồng biến trên $(-1;1)$. Khẳng định b sai.

c) Hai điểm cực trị có hoành độ $x_1=-1$ và $x_2=1$.
Vì $x_1\cdot x_2=-1<0$ nên hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung $Oy$. Khẳng định c đúng.

d) Trên đoạn $[0;2]$:
- $y(0)=-1$
- $y(1)=1$
- $y(2)=-2^3+3(2)-1=-8+6-1=-3$
Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[0;2]$ là ${\min }_{[0;2]}y=y(2)=-3\ne 3$. Khẳng định d sai.

Hàm số bậc ba $y=x^3+b{x}^2+cx+d$ có hệ số $a=1>0$ và $c<0$ nên $y^{\prime }=3x^2+2bx+c=0$ có hai nghiệm trái dấu, suy ra đồ thị có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung $Oy$ và nhánh cuối đi lên, ứng với Hình $1$.

Xét hàm số $y=x^4+2x^2$, ta có $y^{\prime }=4x^3+4x=4x(x^2+1)$. Phương trình $y^{\prime }=0$ có đúng một nghiệm đơn $x=0$ và đổi dấu qua $x=0$, do đó hàm số có đúng một điểm cực trị. Chọn B.

Ta có $f^{\prime }(x)=x(x+2)(x-1)(x-1)=x(x+2)(x-1{)}^2$. Phương trình $f^{\prime }(x)=0$ có hai nghiệm đơn là $x=0,x=-2$ và một nghiệm kép $x=1$. Do đó hàm số có 2 điểm cực trị. Chọn D.

Hàm số $y=f(x)$ có điểm cực trị khi đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu. Quan sát đồ thị $f^{\prime }(x)$, đồ thị cắt trục hoành và đổi dấu tại đúng 1 điểm. Vậy hàm số có 1 điểm cực trị. Chọn D.

Ta thấy $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm khi $x$ qua các điểm $-3,1,5$ nên hàm số có $3$ điểm cực đại. Chọn D.

a) Đúng. Từ đồ thị, điểm cực đại của đồ thị hàm số là $(0;3)$ nên giá trị cực đại của hàm số bằng $3$.
b) Sai. Trên khoảng $(0;+\infty )$, giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng $-1$ đạt được tại điểm $x=2$ (không phải $x=-1$).
c) Sai. Trên khoảng $(0;2)$, đồ thị đi xuống từ $3$ xuống $-1$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;2)$.
d) Đúng. Phương trình $f(x)-1=0\iff f(x)=1$. Vì $-1<1<3$ nên đường thẳng $y=1$ cắt đồ thị hàm số tại đúng $3$ điểm phân biệt.