Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đặc trưng trung tâm mẫu ghép nhóm (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu số ghép nhóm: thay mỗi nhóm bằng giá trị đại diện (trung điểm). Các trung điểm lần lượt là $6,5;9,5;12,5;15,5;18,5$ với tần số $30;55;45;30;20$. Cỡ mẫu $n=30+55+45+30+20=180$. Mức thu nhập trung bình: $$\bar{x}=\frac{6,5\cdot 30+9,5\cdot 55+12,5\cdot 45+15,5\cdot 30+18,5\cdot 20}{180}=\frac{195+522,5+562,5+465+370}{180}=\frac{2115}{180}=11,75.$$ Vậy mức thu nhập trung bình là $11,75$ triệu đồng, khớp với đáp án A (bảng đáp án nguồn mã đề 202 câu 7 là A, trùng khớp).

Thu nhập trung bình của người lao động công ty là $$\overline{x}=\frac{6,5.30+9,5.55+12,5.45+15,5.30+18,5.20}{30+55+45+30+20}\approx 11,75.$$

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số nhân viên: $n=17+38+27+21+7=110$. Số nhân viên thuộc nhóm $25\%$ lương thấp nhất là $110\cdot 25\%=27,5$, tức cần xét tới vị trí thứ $27,5$. Nhóm $[6;10)$ có $17$ người nên cần thêm $27,5-17=10,5$ người trong nhóm $[10;15)$ có $38$ người. Mốc lương phân vị thứ nhất: $T_{25}=6+\frac{27,5-17}{38}\cdot (15-10)=6+\frac{52,5}{38}\approx 7,38$ triệu đồng. Ước lượng số nhân viên có mức lương thấp hơn $T_{25}$ (thuộc nhóm $[6;10)$, phân bố đều): $17\cdot \frac{7,38-6}{10-6}\approx 17\cdot 0,345\approx 5,9$ người. Vậy ước lượng số nhân viên được hỗ trợ không ít hơn $a=5$ người là hợp lí. Chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số nhân viên: $17+38+27+21+7=110$ người. Số nhân viên thuộc nhóm $25\%$ có mức lương thấp nhất là $25\%\cdot 110=27,5$ người. Xét tích lũy: nhóm $[6;10)$ có 17 người, đến hết nhóm $[10;15)$ có $17+38=55$ người. Vì $17<27,5<55$ nên nhóm $25\%$ nhân viên có mức lương thấp nhất nằm hoàn toàn trong phạm vi hai nhóm đầu $[6;10)\cup [10;15)$, tức là nằm trong tổng số $48$ nhân viên có mức lương dưới $20$ triệu đồng. Do đó ước lượng số nhân viên được hỗ trợ không ít hơn $25\%\cdot 48=12$ người là hợp lí (đây là giá trị lớn nhất trong các phương án vẫn đảm bảo ước lượng 'không ít hơn' được thỏa mãn). Vậy $a=12$, chọn đáp án D, phù hợp với đáp án chính thức của đề (MD 121, Câu 19: D).

(AI giải đề cho tôi)
Giá trị đại diện của nhóm $[162;166)$ là trung điểm của nhóm: $\frac{162+166}{2}=164$. Vậy chọn C, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=3+12+15+24+2=56$. Tứ phân vị thứ ba ở vị trí $\frac{3n}{4}=42$. Tần số tích lũy: 3, 15, 30, 54, 56, nên $Q_3$ thuộc nhóm $[18,5;21,5)$ với $N=24$, $C=18,5$, $F=30$, $h=3$. Do đó $Q_3=18,5+\frac{42-30}{24}\cdot 3=18,5+1,5=20$ (phút), trùng với đáp án nguồn 20.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng: nhóm $[60;80)$ có 10 học sinh và nhóm $[80;100)$ có 6 học sinh, nên thời gian từ 60 phút đến dưới 100 phút có $10+6=16$ học sinh, không phải 6. Do đó khẳng định A sai. Các khẳng định còn lại đúng: mẫu có 5 nhóm (B đúng), nhóm nhiều học sinh nhất là $[40;60)$ với 12 học sinh (C đúng), độ dài mỗi nhóm là 20 (D đúng). Khớp với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=3+12+15+24+2=56$, nên $\frac{n}{4}=14$. Tần số tích lũy: nhóm $[9,5;12,5)$ có 3; nhóm $[12,5;15,5)$ có 15 ≥ 14, vậy tứ phân vị thứ nhất thuộc nhóm $[12,5;15,5)$. Áp dụng công thức: $Q_1=12,5+\frac{14-3}{12}\cdot (15,5-12,5)=12,5+\frac{11\cdot 3}{12}=12,5+2,75=15,25\approx 15,3$ (phút). Kết quả trùng với đáp án nguồn 15,3.

(AI giải đề cho tôi)
Giá trị đại diện của nhóm $[158;162)$ là trung điểm của nhóm: $\frac{158+162}{2}=160$. Đáp án C, trùng với đáp án nguồn.

Chọn D

Cỡ mẫu là $n=82$.

Gọi $x_1,x_2,\dots ,x_{82}$ là các giá trị điểm trung bình môn Toán của học sinh lớp 12A theo thứ tự tăng dần.

Vì cỡ mẫu chẵn nên ta có trung vị là $\frac{x_{41}+x_{42}}{2}$.

Mà hai giá trị $x_{41},x_{42}$ thuộc nhóm $[8;8,5)$ nên nhóm này chứa trung vị.

Vậy ta có giá trị trung vị là $M_e=8+\frac{\frac{82}{2}-(8+10+16)}{24}\cdot (8,5-8)=8,14583\approx 8,15$.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=20$, tứ phân vị thứ nhất ở vị trí $\frac{n}{4}=5$. Tần số tích lũy: nhóm $[5;7)$ có 2, nhóm $[7;9)$ có $2+7=9\ge 5$, nên $Q_1$ thuộc nhóm $[7;9)$. Với $n_1=2$, $n_2=7$, $c_p=2$, $h=2$: $$Q_1=7+\frac{5-2}{7}\cdot 2=7+\frac{6}{7}\approx 7,86.$$ Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số hộ $n=160$. Các giá trị đại diện: $4,5;7,5;10,5;13,5;16,5$.

a) $\bar{x}=\frac{24\cdot 4,5+57\cdot 7,5+42\cdot 10,5+29\cdot 13,5+8\cdot 16,5}{160}=\frac{1500}{160}=9,375$ → đúng.

b) Lớp chứa mốt là $[6;9)$ (tần số 57 lớn nhất): $M_o=6+3\cdot \frac{57-24}{(57-24)+(57-42)}=6+3\cdot \frac{33}{48}=8,0625$ → đúng.

c) $\sum n_i{x}_i^2=24\cdot 20,25+57\cdot 56,25+42\cdot 110,25+29\cdot 182,25+8\cdot 272,25=15786$. Phương sai $s^2=\frac{15786}{160}-9,375^2\approx 10,77$, $s_A\approx 3,28>2,75=s_B$, nên mức dùng nước ở khu $A$ phân tán hơn khu $B$, không đồng đều hơn → sai.

d) Tần số tích lũy: $24;81;123;152;160$. $Q_1$ thuộc lớp $[6;9)$: $Q_1=6+3\cdot \frac{40-24}{57}\approx 6,84$. $Q_3$ thuộc lớp $[9;12)$: $Q_3=9+3\cdot \frac{120-81}{42}\approx 11,79$. Khoảng tứ phân vị $\approx 11,79-6,84\approx 4,94\ne 5,94$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\bar{x}=\frac{24\cdot 4,5+57\cdot 7,5+42\cdot 10,5+29\cdot 13,5+8\cdot 16,5}{160}=\frac{1500}{160}=9,375$ → đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Lớp chứa mốt $[6;9)$ có tần số lớn nhất 57: $M_o=6+3\cdot \frac{57-24}{(57-24)+(57-42)}=6+\frac{99}{48}=8,0625$ → đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\sum n_i{x}_i^2=15786$, $s^2=\frac{15786}{160}-9,375^2\approx 10,77$, $s_A\approx 3,28>2,75=s_B$, nên khu $A$ phân tán hơn khu $B$, không đồng đều hơn → sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Tần số tích lũy: $24;81;123;152;160$. $Q_1=6+3\cdot \frac{40-24}{57}\approx 6,84$ (lớp $[6;9)$); $Q_3=9+3\cdot \frac{120-81}{42}\approx 11,79$ (lớp $[9;12)$); $IQR\approx 4,94\ne 5,94$ → sai.

(AI giải đề cho tôi)
Nhóm chứa mốt là $[15;20)$ vì có tần số lớn nhất ($n_2=47$). Với $n_1=35,n_2=47,n_3=25$, độ dài nhóm $h=5$: $Mo=15+5\cdot \frac{47-35}{(47-35)+(47-25)}=15+5\cdot \frac{12}{34}=15+\frac{60}{34}\approx 16,76$. Vậy mốt gần nhất với $16,76$, khớp đáp án D của đề.

Cỡ mẫu là $n=6+12+13+10+3=44$.

Tứ phân vị thứ hai $Q_2$ là giá trị của $\frac{x_{22}+x_{23}}{2}$ thuộc nhóm $[6;7)$.

Tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ là giá trị của $\frac{x_{11}+x_{12}}{2}$ thuộc nhóm $[5;6)$.

Tứ phân vị thứ ba $Q_3$ là giá trị của $\frac{x_{33}+x_{34}}{2}$ thuộc nhóm $[7;8)$.

Do $x_{33};x_{34}$ thuộc nhóm $[7;8)$ nên nhóm này chứa $Q_3$.

Do đó, $p=4;a_4=7;m_4=10;m_1+m_2+m_3=6+12+13=31;a_5-a_4=1$ và ta có

$$Q_3=a_4+\frac{\frac{132}{4}-\left(m_1+m_2+m_3\right)}{m_4}.\left(a_5-a_4\right)=7+\frac{33-31}{10}.1=7,2.$$

Vậy tứ phân vị thứ ba $Q_3=7,2$ nên 75\% học sinh khối 11 ngủ nhiều nhất là 7,2 giờ.

Chọn C. Cỡ của mẫu số liệu là tổng số học sinh được thống kê: $4+10+16+8+2=40$.

(AI giải đề cho tôi)
25% của 160 học viên là 40 học viên có điểm cao nhất. Tính từ thấp lên cao: nhóm [40;50) có 10, [50;60) có 30 (tích lũy 40), [60;70) có 65 (tích lũy 105), [70;80) có 40 (tích lũy 145), [80;90) có 15. Ngưỡng cần tìm là phân vị thứ 75, tức vị trí thứ $0,75\cdot 160=120$ (tính từ thấp lên), nằm trong nhóm $[70;80)$. Áp dụng công thức nội suy: $x=70+\frac{120-105}{40}\cdot 10=70+3,75=73,75\approx 73,8$. Vậy học viên cần đạt ít nhất khoảng 73,8 điểm để nhận quà, khớp với đáp án nguồn 73.8.

(AI giải đề cho tôi)
Nhóm có tần số lớn nhất là $[13;17)$ với $n_1=9$ ngày (tần số nhóm trước $n_0=6$, nhóm sau $n_2=5$). Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm: $Mo=13+\frac{9-6}{(9-6)+(9-5)}\cdot 4=13+\frac{3}{7}\cdot 4=13+\frac{12}{7}\approx 14,71$ triệu đồng. Vậy chọn D, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=30$, nên trung vị là trung bình của giá trị thứ 15 và 16. Tần số tích lũy: $[2;4)$ có 4; $[4;6)$ có $4+8=12$; $[6;8)$ có $12+11=23$. Vì $12<15,16\le 23$ nên cả hai giá trị thứ 15 và 16 nằm trong nhóm $[6;8)$, do đó $Q_2\in [6;8)$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 611, câu 1: C).

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=30$, trung vị là trung bình của giá trị thứ 15 và 16. Tần số tích lũy: $[2;4)$ có 4, $[4;6)$ có $4+8=12$, $[6;8)$ có $12+11=23$. Vì $12<15,16\le 23$ nên cả hai giá trị thứ 15 và 16 nằm trong nhóm $[6;8)$, do đó $Q_2\in [6;8)$. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 124, câu 2: C).

(AI giải đề cho tôi)
Nhóm chứa mốt là nhóm có tần số lớn nhất. Tần số lớn nhất là 10, ứng với nhóm $[165;170)$. Vậy đáp án C.