Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đạo hàm cấp hai (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ (trang 3), đồ thị vận tốc đi qua điểm $(0;4)$, phần parabol trên $[0;1]$ có đỉnh $I(2;9)$, trục đối xứng $t=2$, nên $v(t)=a(t-2{)}^2+9$. Thay $(0;4)$: $4=4a+9\Rightarrow a=-\frac{5}{4}$. Vậy $v(t)=-\frac{5}{4}(t-2{)}^2+9$ với $0\le t\le 1$. Gia tốc $a(t)=v^{\prime }(t)=-\frac{5}{2}(t-2)=\frac{5}{2}(2-t)$, hàm giảm theo $t$, nên trên $\left[\frac{1}{4};\frac{1}{2}\right]$ gia tốc lớn nhất tại $t=\frac{1}{4}$: $a_{\max }=\frac{5}{2}\cdot \frac{7}{4}=\frac{35}{8}=4,375\approx 4,38$ (km/h²). Kết quả trùng đáp án nguồn 4,38.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc tức thời là $v(t)=s^{\prime }(t)=-t^2+36t-35$. Vận tốc giảm khi $v^{\prime }(t)<0$, tức $-2t+36<0\iff t>18$. Trong 40 giây đầu, $v(t)$ giảm trên khoảng $(18;40)$, vậy $a=18$, $b=40$. Do đó $P=2b-3a=2\cdot 40-3\cdot 18=80-54=26$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $s=f(t)=t^3-6t^2$, $t\ge 0$.
a) $v(t)=s^{\prime }(t)=3t^2-12t(m/s)$ → Đúng.
b) $a(t)=v^{\prime }(t)=6t-12$, nên $a(5)=18(m/s^2)\ne 8$ → Sai.
c) Với $t>4$: $v(t)=3t(t-4)>0$ và $a(t)=6t-12>0$, cùng dấu nên vật tăng tốc → Đúng.
d) $v(t)=0$ tại $t=0$ và $t=4$; $s(0)=0$, $s(4)=-32$, $s(6)=0$. Quãng đường 6 giây đầu: $|0-(-32)|+|0-(-32)|=32+32=64(m)\ne 32(m)$ → Sai.
Kết quả Đúng–Sai–Đúng–Sai khớp với đáp án chính thức mã đề 0101 (ĐSDS).
a) Theo đáp án mã đề 0101 (trang 9): ý a) Đúng. $v(t)=s^{\prime }(t)=3t^2-12t$.
b) Theo đáp án mã đề 0101 (trang 9): ý b) Sai. $a(t)=v^{\prime }(t)=6t-12$, tại $t=5$ thì $a(5)=18(m/s^2)\ne 8$.
c) Theo đáp án mã đề 0101 (trang 9): ý c) Đúng. Với $t>4$: $v(t)=3t^2-12t>0$ và $a(t)=6t-12>0$ nên vật tăng tốc.
d) Theo đáp án mã đề 0101 (trang 9): ý d) Sai. $v(t)=3t(t-4)=0$ tại $t=0,t=4$; $s(4)=-32$, $s(6)=0$ nên tổng quãng đường là $32+32=64(m)\ne 32(m)$.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc: $v(t)=s^{\prime }(t)=t^3-3t^2+5t+10$. Gia tốc: $a(t)=v^{\prime }(t)=3t^2-6t+5=3(t-1{)}^2+2\ge 2$, đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi $t=1$ (s). Khi đó $v(1)=1-3+5+10=13$ (m/s). Kết quả khớp với đáp án nguồn 13.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc là đạo hàm của quãng đường: $v(t)=s^{\prime }(t)=15t^2-109,2t+203,7$. Gia tốc: $a(t)=v^{\prime }(t)=30t-109,2$. Gia tốc triệt tiêu khi $30t-109,2=0\Rightarrow t=3,64$ (giây). Khi đó $v(3,64)=15\cdot (3,64{)}^2-109,2\cdot 3,64+203,7=198,744-397,488+203,7=4,956\approx 4,96$ (m/s).

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc $v(t)=s^{\prime }(t)=-3t^2+6t+9$, gia tốc $a(t)=s^{\prime \prime }(t)=-6t+6$.

a) $v(t)$ là parabol bậc hai với đỉnh $t=\frac{-6}{2(-3)}=1$, đạt cực đại $v(1)=12$. Khi đó $a(1)=-6(1)+6=0$. Mệnh đề đúng.

b) $v(2)=-3(4)+6(2)+9=-12+12+9=9$ (m/s). Mệnh đề đúng.

c) Vật dừng lại khi $v(t)=0\iff -3t^2+6t+9=0\iff t=3$ (nhận $t>0$). Trên $[0;3]$ có $v(t)\ge 0$ nên vật đi một chiều, quãng đường đi được là $s(3)-s(0)=(-27+27+27+2)-2=29-2=27$ m $\ne 30$ m. Mệnh đề sai.

d) $s^{\prime }(3)=v(3)=-27+18+9=0$. Mệnh đề đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$v(t)=-3t^2+6t+9$ đạt cực đại tại $t=1$; $a(1)=s^{\prime \prime }(1)=-6(1)+6=0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$v(2)=-3(4)+6(2)+9=9$ m/s.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vật dừng khi $v(t)=0\iff t=3$. Vì $v(t)\ge 0$ trên $[0;3]$, quãng đường là $s(3)-s(0)=29-2=27$ m, không phải 30 m.
d) (AI giải đề cho tôi)
$s^{\prime }(3)=v(3)=-27+18+9=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Gia tốc của tàu là $a(t)=v^{\prime }(t)=0,003906t^2-0,18058t$. Gia tốc tăng khi $a^{\prime }(t)=v^{\prime \prime }(t)>0$, tức $0,007812t-0,18058>0\iff t>\frac{0,18058}{0,007812}\approx 23,12$. Trên đoạn $[0;126]$, gia tốc của tàu giảm trên $(0;23,12)$ và tăng trên $(23,12;126)$. Vậy khoảng thời gian gia tốc tăng tính từ lúc cất cánh là $(a,b)=(23,12;126)$, suy ra $T=a+b\approx 23,12+126=149,12$ (s).

(AI giải đề cho tôi)
Với $y(t)=t^3-12t+3$: vận tốc $v(t)=y^{\prime }(t)=3t^2-12$, gia tốc $a(t)=v^{\prime }(t)=y^{\prime \prime }(t)=6t$. a) Sai vì gia tốc là $a=y^{\prime \prime }$, không phải $a=y^{\prime }$. b) Đúng. c) $v(1)=3-12=-9<0$ nên hạt chuyển động xuống dưới, sai. d) $v=0\iff t=2$; $y(0)=3$, $y(2)=-13$, $y(3)=-6$; quãng đường $=|-13-3|+|-6-(-13)|=16+7=23$ m, đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Gia tốc là đạo hàm của vận tốc: $a(t)=v^{\prime }(t)=y^{\prime \prime }(t)=6t$, không phải $a=y^{\prime }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$v(t)=y^{\prime }(t)=3t^2-12$ (m/s).
c) (AI giải đề cho tôi)
$v(1)=3(1{)}^2-12=-9<0$ nên tại $t=1$ hạt chuyển động xuống dưới (ngược chiều dương).
d) (AI giải đề cho tôi)
$v(t)=0\iff t=2$. Trên $[0,2]$ hạt đi xuống: $|y(2)-y(0)|=|-13-3|=16$ m; trên $[2,3]$ đi lên: $|y(3)-y(2)|=|-6+13|=7$ m. Tổng quãng đường $=16+7=23$ m.

(AI giải đề cho tôi)
v(t)=s'(t)=-t^2+8t+9=-(t-9)(t+1). a) v(3)=-9+24+9=24 m/s ≠ 1 → sai. b) Vật đứng yên khi v=0 với t≥0: t=9; s(9)=-243+324+81=162 m → đúng. c) a(t)=v'(t)=-2t+8, a(3)=2 m/s^2 → đúng. d) Tăng tốc khi v·a>0: v>0 trên [0;9), a>0 khi t<4, nên trên [0;4) cả hai dương → vật tăng tốc khi t∈[0;4] → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
v(t)=-t^2+8t+9 nên v(3)=-9+24+9=24 m/s, không phải 1 m/s.
b) (AI giải đề cho tôi)
v(t)=-(t-9)(t+1)=0 tại t=9 (t≥0). s(9)=-1/3·729+4·81+81=-243+324+81=162 m.
c) (AI giải đề cho tôi)
a(t)=v'(t)=-2t+8, a(3)=-6+8=2 m/s^2.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tăng tốc khi v và a cùng dấu. Trên [0;9) có v>0; a(t)=-2t+8>0 khi t<4. Vậy vật tăng tốc khi t∈[0;4).

Ta có $f^{\prime }(t)=500\left(2t-m{e}^{-t}\right)$. Đạo hàm cấp hai $f^{\prime \prime }(t)=500\left(2+m{e}^{-t}\right)$

Tốc độ bán hàng luôn tăng trong khoảng thời gian 10 năm đầu phát hành sản phẩm $\iff f^{\prime }(t)$ là hàm số đồng biến trên $[0;10]\iff f^{\prime \prime }(t)\ge 0,\forall t\in [0;10]$

$\iff 500\left(2+m{e}^{-t}\right)\ge 0,\forall t\in [0;10]\iff 2+m{e}^{-t}\ge 0,\forall t\in [0;10]$

$\iff m{e}^{-t}\ge -2,\forall t\in [0;10]\iff m\ge -2e^t,\forall t\in [0;10]$

$\iff m\ge -2e^0=-2$ (do hàm số $y=-2e^t$ nghịch biến trên $[0;10]$).

Vậy giá trị nhỏ nhất của $m$ là $-2$.

Ta có $y^{\prime }=\sin x+x\cos x$. Đạo hàm cấp hai: $y^{\prime \prime }=\cos x+\cos x-x\sin x=2\cos x-x\sin x$. Do đó phương trình $y^{\prime \prime }+y=1⟺(2\cos x-x\sin x)+x\sin x=1⟺2\cos x=1⟺\cos x=\frac{1}{2}⟺x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Xét các nghiệm trên đoạn $\left[-\frac{\pi }{2};2\pi \right]$: các nghiệm thỏa mãn là $x=-\frac{\pi }{3}$, $x=\frac{\pi }{3}$, $x=\frac{5\pi }{3}$. Vậy có đúng $3$ nghiệm.

Ta có:
$y^{\prime }=[\cos (\ln x)+\sin (\ln x)]+x\left[-\frac{1}{x}\sin (\ln x)+\frac{1}{x}\cos (\ln x)\right]=2\cos (\ln x).$

Đạo hàm cấp hai:
$y^{\prime \prime }=-\frac{2}{x}\sin (\ln x).$

Thay vào hệ thức:
$x^2{y}^{\prime \prime }-x{y}^{\prime }+2y=x^2\left(-\frac{2}{x}\sin (\ln x)\right)-x(2\cos (\ln x))+2x[\cos (\ln x)+\sin (\ln x)]$
$=-2x\sin (\ln x)-2x\cos (\ln x)+2x\cos (\ln x)+2x\sin (\ln x)=0.$

Vậy khẳng định đúng là $x^2{y}^{\prime \prime }-x{y}^{\prime }+2y=0$.

a) Tàu khởi hành lúc $8$ giờ $00$ phút và đến nơi lúc $8$ giờ $24$ phút nên tổng thời gian di chuyển là $24$ phút. Đúng.
b) Gọi $t_1,t_2$ (phút) lần lượt là thời gian giai đoạn 1 và giai đoạn 2. Ta có $t_1+t_2=24$, và vận tốc lúc dừng tại ga cuối bằng $0$ nên $a_1{t}_1+a_2{t}_2=0\iff 0,06t_1-0,3t_2=0\iff t_1=5t_2$. Giải hệ được $t_1=20$ phút, $t_2=4$ phút. Sai.
c) Vận tốc lớn nhất tàu đạt được là $v_{\max }=a_1{t}_1=0,06\cdot 20=1,2\text{ km/phuˊt}\ne 1,1\text{ km/phuˊt}$. Sai.
d) Tổng quãng đường tàu đi được là $S=\frac{1}{2}{v}_{\max }(t_1+t_2)=\frac{1}{2}\cdot 1,2\cdot 24=14,4\text{ km}<15\text{ km}$. Đúng.
Đáp án bảng mã đề 0101 (trang 5): a) Đ, b) S, c) S, d) Đ.

a) Sai. Vận tốc $v(t)=3t^2-6t+8$. Vận tốc của chất điểm tại thời điểm $t=3\text{ s}$ bằng $v(3)=17\text{ m/s}$.
b) Đúng. Chất điểm di chuyển được $13\text{ m}\iff t^3-3t^2+8t+1=13\iff t=2\text{ (s)}$. Vận tốc khi đó bằng $v(2)=8\text{ m/s}$.
c) Đúng. Vận tốc $v(t)=3t^2-6t+8=3(t-1{)}^2+5\ge 5$. Vận tốc nhỏ nhất bằng $5\text{ m/s}$ tại thời điểm $t=1\text{ (s)}$.
d) Sai. Gia tốc $a(t)=6t-6$. Gia tốc tại thời điểm $t=1\text{ (s)}$ bằng $a(1)=0$.

Vận tốc ban đầu: $72\text{ km/h}=20\text{ m/s}$.
a) Sai: Trong 1 giây đầu sau khi quan sát thấy chướng ngại vật, ô tô chuyển động đều với vận tốc $20\text{ m/s}$. Từ giây thứ nhất trở đi ($t\ge 1$), vận tốc là $v(t)=20-4(t-1)=-4t+24\text{ m/s}$.
b) Đúng: Thời gian từ lúc hãm phanh đến lúc dừng lại là $\frac{20}{4}=5$ giây. Tổng thời gian kể từ khi phát hiện chướng ngại vật đến khi dừng lại là $1+5=6$ giây.
c) Đúng: Quãng đường đi trong 1 giây đầu là $s_1=20\times 1=20\text{ m}$. Quãng đường từ khi hãm phanh đến khi dừng lại là $s_2=\frac{v^2}{2|a|}=\frac{20^2}{2\times 4}=50\text{ m}$. Tổng quãng đường đi được là $20+50=70\text{ m}$. Khoảng cách đến chướng ngại vật khi dừng lại là $75-70=5\text{ m}$.
d) Sai: Vận tốc trung bình từ lúc hãm phanh đến khi dừng lại là $v_{tb}=\frac{s_2}{t_2}=\frac{50}{5}=10\text{ m/s}\ne 11,7\text{ m/s}$.
(Theo bảng đáp án chính thức trang 5, mã đề 1101: a-S, b-Đ, c-Đ, d-S).

Ta có $v(t)=h^{\prime }(t)=-0,03t^2+2,2t-30$, $v^{\prime }(t)=-0,06t+2,2<0\iff t>\frac{110}{3}$. Trên $[0;70]$, vận tốc giảm dần trên $\left(\frac{110}{3};70\right)$, nên giá trị lớn nhất của $t_2-t_1$ là $70-\frac{110}{3}=\frac{100}{3}\approx 33,3$. Đáp số: 33,3.