Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đạo hàm cấp hai (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
v(t)=S'(t)=-3t^2+30t+60, gia tốc a(t)=-6t+30. Vận tốc đạt max khi a=0, tức t=5 (s), v_max=v(5)=135 m/s; từ đó tàu chuyển động đều.
a) S(0,5)=-0,125+3,75+30=33,625 m → Đúng.
b) v(1)=-3+30+60=87 m/s ≠ 86,9 → Sai.
c) v=108: -3t^2+30t+60=108 ⇔ t^2-10t+16=0 ⇔ t=2 (lần đầu). a(2)=-12+30=18 m/s^2 ≠ 17 → Sai.
d) Giai đoạn 1 (0→5s): S(5)=-125+375+300=550 m. Giai đoạn 2 (55s tiếp theo): 135·55=7425 m. Tổng: 550+7425=7975 m → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
S(0,5)=-0,125+3,75+30=33,625 m, đúng bằng 33,625 m.
b) (AI giải đề cho tôi)
v(1)=-3(1)^2+30(1)+60=87 m/s, không phải 86,9 m/s.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giải -3t^2+30t+60=108 cho t=2 (lần đầu). Khi đó a(2)=-6(2)+30=18 m/s^2, không phải 17 m/s^2.
d) (AI giải đề cho tôi)
Quãng đường 0→5s: S(5)=550 m; sau đó chuyển động đều 135 m/s trong 55s: 7425 m. Tổng 7975 m.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=e^{-2x+5}$, nên $f^{\prime }(x)=-2e^{-2x+5}$ và $f^{\prime \prime }(x)=4e^{-2x+5}$. Tại $x=1$: $f^{\prime \prime }(1)=4e^3$, suy ra $a=4$, $b=3$. Vậy $a-15b=4-45=-41$, khớp với đáp số nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc $v(t)=s^{\prime }(t)=-6t^2+75$. Gia tốc $a(t)=v^{\prime }(t)=s^{\prime \prime }(t)=-12t$. Tại $t=3$: $a(3)=-12\cdot 3=-36$ (m/s${}^2$). Kết quả trùng với đáp số nguồn $-36$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $y=\frac{1}{2}{x}^2{e}^x$, ta có $y^{\prime }=\frac{1}{2}(2x+x^2)e^x=\frac{1}{2}(x^2+2x)e^x$ và $y^{\prime \prime }=\frac{1}{2}(2x+2)e^x+\frac{1}{2}(x^2+2x)e^x=\frac{1}{2}(x^2+4x+2)e^x$. Khi đó $y^{\prime \prime }-y^{\prime }=\frac{1}{2}(x^2+4x+2-x^2-2x)e^x=(x+1)e^x$. Vậy $y^{\prime \prime }-y^{\prime }=e^x(x+1)$, đáp án C. (Kiểm tra thêm: $y^{\prime \prime }+y^{\prime }=(x^2+3x+1)e^x$, không khớp A, B.)

Chọn C. Ta có $s^{\prime }(t)=v(t)=\frac{2}{(1-2t{)}^2}$; $a(t)=s^{\prime \prime }(t)=\frac{8}{(1-2t{)}^3}$. Tại thời điểm vận tốc bằng $2cm/s$ thì $\frac{2}{(1-2t{)}^2}=2\iff (1-2t{)}^2=1\iff \left[\begin{array}{c}t=0\\ t=1\end{array}\right]$. Với $t=0$ thì $s^{\prime \prime }(0)=8\left(cm/s^2\right)$. Với $t=1$ thì $s^{\prime \prime }(1)=-8\left(cm/s^2\right)$.

Chọn A. Ta có $s^{\prime }(t)=2t-4;s^{\prime \prime }(t)=2$. Gia tốc của chuyển động tại thời điểm $t=2$ là $s^{\prime \prime }(2)=2\left(m/s^2\right)$.

Ta có: Vận tốc tức thời tại thời điểm $t$ là $v(t)=x^{\prime }(t)=-4\pi \sin \left(\frac{2\pi }{5}t+\frac{\pi }{3}\right)$. Gia tốc $a(t)=x^{\prime \prime }(t)=-\frac{8{\pi }^2}{5}\cos \left(\frac{2\pi }{5}t+\frac{\pi }{3}\right)$. Gia tốc bằng 0 tức là $-\frac{8{\pi }^2}{5}\cos \left(\frac{2\pi }{5}t+\frac{\pi }{3}\right)=0\iff t=\frac{5}{12}+\frac{5}{2}k,k\in \mathbb{Z}$. Do $t\ge 0$ nên thời điểm đầu tiên vật có gia tốc bằng 0 tương ứng với $k=1$, tức là tại thời điểm $t=\frac{5}{12}+\frac{5}{2}=\frac{35}{12}$ (giây).

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc $v(t)=s^{\prime }(t)=\frac{3}{2}{t}^2-6t$. Xét $v^{\prime }(t)=3t-6=0\iff t=2$. Vì $v^{\prime }(t)<0$ khi $t<2$ và $v^{\prime }(t)>0$ khi $t>2$ nên $v(t)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $t=2$ (khi đó $v(2)=-6$ m/s). Gia tốc tức thời $a(t)=v^{\prime }(t)=3t-6$, suy ra $a(2)=3\cdot 2-6=0$ m/s${}^2$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Phần III, câu 4: 0).

(AI giải đề cho tôi)
Với $f(x)=2x^3$, ta có $f^{\prime }(x)=6x^2$ và $f^{\prime \prime }(x)=12x$. Do đó $f^{\prime \prime }(1)=12\cdot 1=12$. Kết quả khớp với đáp án D và bảng đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 6 = D).

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc: $v(t)=s^{\prime }(t)=-\frac{3}{2}{t}^2+6t$. Đây là parabol bậc hai với đỉnh tại $t=\frac{-6}{2\cdot (-3/2)}=2$, nên vận tốc đạt giá trị lớn nhất tại $t=2$ (giây). Gia tốc tức thời: $a(t)=v^{\prime }(t)=-3t+6$. Tại $t=2$: $a(2)=-3\cdot 2+6=0$ (m/s${}^2$). Kết quả trùng với đáp án nguồn (0).

(AI giải đề cho tôi)
Với $f(x)=2x^3$ ta có $f^{\prime }(x)=6x^2$ và $f^{\prime \prime }(x)=12x$. Suy ra $f^{\prime \prime }(1)=12$. Đáp án khớp với nguồn (mã đề 1101, câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Với $y=\sin x$, ta có $y^{\prime }=\cos x$ và $y^{\prime \prime }=(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1012, câu 2: D).

(AI giải đề cho tôi)
Với $y=\cos x$, ta có $y^{\prime }=-\sin x$ và $y^{\prime \prime }=(-\sin x{)}^{\prime }=-\cos x$. Vậy đáp án B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1011, câu 8: B).

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc $v(t)=s^{\prime }(t)=3t^2-4t+3$; gia tốc $a(t)=s^{\prime \prime }(t)=6t-4$. Cho $a(t)=2$ suy ra $6t-4=2\Rightarrow t=1$ (thỏa $t>0$). Khi đó $v(1)=3(1{)}^2-4(1)+3=2$ m/s. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1004, Câu 2 = 2).

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc $v(t)=s^{\prime }(t)=3t^2-6t+3$, gia tốc $a(t)=v^{\prime }(t)=6t-6$. Cho $a(t)=6\Rightarrow 6t-6=6\Rightarrow t=2$ (thỏa $t>0$). Khi đó $v(2)=3\cdot 4-6\cdot 2+3=12-12+3=3m/s$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1003, Câu 1 = 3).

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc $v(t)=s^{\prime }(t)=3t^2-4t+3$; gia tốc $a(t)=s^{\prime \prime }(t)=6t-4$. Cho $a(t)=8\Rightarrow 6t-4=8\Rightarrow t=2$ (thỏa $t>0$). Khi đó $v(2)=3\cdot 4-8+3=7$ m/s. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, Câu 2 = 7).

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc $v(t)=s^{\prime }(t)=3t^2+6t+2$, gia tốc $a(t)=v^{\prime }(t)=6t+6$. Khi $a(t)=12$ thì $6t+6=12\Rightarrow t=1$ (thỏa $t>0$). Vận tốc tại $t=1$: $v(1)=3+6+2=11m/s$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (11).

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc tức thời: $v(t)=s^{\prime }(t)=t^2-4t+2$. Cho $v(t)=7$: $t^2-4t+2=7\iff t^2-4t-5=0\iff (t-5)(t+1)=0$. Vì $t>0$ nên $t=5$ (giây). Gia tốc tức thời: $a(t)=v^{\prime }(t)=2t-4$, do đó $a(5)=2\cdot 5-4=6$ (m/s${}^2$). Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 2204, câu 20: 6).

(AI giải đề cho tôi)
Gia tốc tức thời là đạo hàm của vận tốc: $a(t)=v^{\prime }(t)=(t^2-t+2{)}^{\prime }=2t-1$ (m/s²). Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 2204, câu 8: D).

(AI giải đề cho tôi)
Gia tốc tức thời là đạo hàm của vận tốc: $a(t)=v^{\prime }(t)=(t^2-t+2{)}^{\prime }=2t-1$ (m/s²). Vậy đáp án B, khớp với đáp án nguồn (mã đề 2102, câu 1: B).