Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Dấu tam thức, BPT bậc hai (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=f(x)=-x^2-2x+3=-(x+3)(x-1)$ có hai nghiệm $x=-3$, $x=1$, đỉnh $I(-1;4)$, hệ số $a=-1<0$ nên parabol hướng xuống: $f(x)>0$ trên $(-3;1)$ và $f(x)<0$ trên $(-\infty ;-3)\cup (1;+\infty )$.
a) Trên $(-3;1)$ thì $f(x)>0$, không phải $f(x)<0$ → SAI.
b) Trên $(-\infty ;-3)\cup (1;+\infty )$ thì $f(x)<0$, không phải $f(x)>0$ → SAI.
c) Trên $[-3;1]$ thì $f(x)\ge 0$ (bằng 0 tại hai đầu mút) → ĐÚNG.
d) Đỉnh parabol $I(-1;4)$, giao điểm với trục hoành $(-3;0)$ và $(1;0)$, đáy $=4$, chiều cao $=4$, diện tích $=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4=8$ (đvdt) → ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Trên $(-3;1)$ parabol nằm trên trục hoành nên $f(x)>0$, không phải $f(x)<0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Trên $(-\infty ;-3)\cup (1;+\infty )$ parabol nằm dưới trục hoành nên $f(x)<0$, không phải $f(x)>0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Vì $a=-1<0$ và hai nghiệm $-3,1$, ta có $f(x)\ge 0$ trên $[-3;1]$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Đỉnh $I(-1;4)$, chân $(-3;0)$ và $(1;0)$: $S=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4=8$ (đvdt).

(AI giải đề cho tôi)
Bảng xét dấu cho thấy $f(x)$ âm trên $(1;5)$ và dương ngoài khoảng đó, với nghiệm $x=1$ và $x=5$. Vậy $f(x)=a(x-1)(x-5)$ với $a<0$. Xét đáp án A: $f(x)=-x^2+6x-5=-(x^2-6x+5)=-(x-1)(x-5)$, có nghiệm $1,5$ và $a=-1<0$, đúng bảng xét dấu. Đáp án B có $a=1>0$ (dương trong $(1;5)$), sai. Đáp án C có nghiệm $1$ và $-5$, sai. Đáp án D có nghiệm $-1$ và $6$, sai.

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức $f(x)=2x^2-7x-9$ có $a=2>0$. Giải $2x^2-7x-9=0$: $\Delta =49+72=121$, $\sqrt{\Delta }=11$, nên $x=\frac{7\pm 11}{4}$, tức $x_1=-1$, $x_2=\frac{9}{2}$. Vì $a>0$, tam thức nhận giá trị âm khi $x\in \left(-1;\frac{9}{2}\right)$. Các giá trị nguyên trong khoảng này là $0,1,2,3,4$, gồm 5 giá trị. Vậy có 5 số giá trị nguyên của $x$ để $f(x)<0$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu, $f(x)$ có hai nghiệm $x=-2$ và $x=4$, âm khi $x<-2$ hoặc $x>4$ và dương khi $-2<x<4$, nên tam thức có $a<0$ và dạng $f(x)=a(x+2)(x-4)$. Chọn $a=-1$ ta được $f(x)=-(x+2)(x-4)=-x^2+2x+8$. Kiểm tra: $f(0)=8>0$ (đúng, dương trên $(-2;4)$), $f(5)=-25+10+8=-7<0$ (đúng). Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x+1}{x^2-2x-3-m}$ xác định trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi mẫu số $x^2-2x-3-m\ne 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, tức phương trình $x^2-2x-3-m=0$ vô nghiệm. Xét biệt thức $\Delta =(-2{)}^2-4(1)(-3-m)=4+12+4m=16+4m$. Yêu cầu $\Delta <0\iff 16+4m<0\iff m<-4$. Vậy đáp án là $m<-4$, trùng với đáp án A trong nguồn (Mã đề 1102, Câu 6: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x+1}{x^2-2x-3-m}$ xác định trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi mẫu số $x^2-2x-3-m\ne 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, tức là phương trình $x^2-2x-3-m=0$ vô nghiệm. Xét biệt thức: $\Delta =(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot (-3-m)=4+12+4m=16+4m$. Yêu cầu $\Delta <0\iff 16+4m<0\iff m<-4$. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (Mã 1101, Câu 9: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu: f(x) có hai nghiệm phân biệt x = -2 và x = 4, f(x) âm khi x < -2 hoặc x > 4 và dương khi -2 < x < 4. a) Hai nghiệm phân biệt nên Δ = b² - 4ac > 0, đúng. b) Vì f(x) âm khi x → ±∞ nên a < 0, khẳng định a > 0 sai. c) f(x) ≥ 0 khi và chỉ khi -2 ≤ x ≤ 4, tập nghiệm S = [-2; 4], đúng. d) Trục đối xứng đi qua trung điểm hai nghiệm: x = (-2 + 4)/2 = 1, đúng. Khớp với đáp án nguồn: a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tam thức có hai nghiệm phân biệt -2 và 4 nên Δ = b² - 4ac > 0.
b) (AI giải đề cho tôi)
f(x) âm khi x tiến tới ±∞ nên a < 0; do đó a > 0 là sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với a < 0, f(x) ≥ 0 giữa hai nghiệm: S = [-2; 4].
d) (AI giải đề cho tôi)
Trục đối xứng: x = (-2 + 4)/2 = 1.

(AI giải đề cho tôi)
Bảng xét dấu cho $f(x)$ âm trên $(0;4)$ và dương ngoài khoảng, với nghiệm $x=0$ và $x=4$, hệ số $a>0$. Xét các phương án: $f(x)=x^2-4x=x(x-4)$ có nghiệm $0$ và $4$, $a=1>0$, nên $f(x)>0$ khi $x<0$ hoặc $x>4$, $f(x)<0$ khi $0<x<4$ — khớp bảng xét dấu. Các phương án B, D có nghiệm khác (0 và $-2$; 0 và 2), phương án C có $a<0$ cho dấu ngược lại. Đáp án A trùng với đáp án nguồn (trang 4).

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức $f(x)=x^2-x-6$ có hai nghiệm $x=-2$ và $x=3$ (vì $a+b+c=1-1-6$... kiểm tra: $(-2{)}^2-(-2)-6=0$, $3^2-3-6=0$), hệ số $a=1>0$ nên $f(x)>0$ khi $x<-2$ hoặc $x>3$, $f(x)<0$ khi $-2<x<3$. Do đó: B đúng ($x>3$ thì $f(x)>0$), C đúng ($x<-2$ thì $f(x)>0$), D đúng (tập nghiệm $S=\{-2;3\}$). A sai vì trên $(-\infty ;-2)$ ta có $f(x)>0$, không phải $f(x)<0$ với mọi $x\in (-\infty ;3)$. Vậy phát biểu sai là A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu, $f(x)=0$ tại $x=1$ và $x=4$; $f(x)<0$ trên $(-\infty ;1)\cup (4;+\infty )$ và $f(x)>0$ trên $(1;4)$. a) Sai: $f(x)$ âm khi $x\in (-\infty ;1)\cup (4;+\infty )$, không phải $(-\infty ;-1)$. b) Sai: $f(x)$ âm trên $(-\infty ;1)\cup (4;+\infty )$. c) Đúng: $f(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt $x=1$, $x=4$ nên $\Delta >0$. d) Sai: vì $f(x)$ âm khi $x\to \pm \infty$ nên parabol hướng xuống, $a<0$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Bảng xét dấu cho $f(x)<0$ trên $(-\infty ;1)\cup (4;+\infty )$, hai nghiệm là $1$ và $4$ chứ không phải $-1$ và $4$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)$ nhận giá trị âm trên $(-\infty ;1)\cup (4;+\infty )$, ví dụ $f(0)<0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Bảng xét dấu có hai vị trí $f(x)=0$ tại $x=1$ và $x=4$, nên phương trình $f(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt ($\Delta >0$).
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $f(x)<0$ khi $x\to \pm \infty$ nên đồ thị parabol nhánh hướng xuống, suy ra $a<0$.

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức đối dấu trên $\mathbb{R}$ là tam thức bậc hai có $\Delta <0$ (không có nghiệm, không đổi dấu). Với $f(x)=3x^2-3x+5$: $\Delta =(-3{)}^2-4\cdot 3\cdot 5=9-60=-51<0$ và $a=3>0$ nên $f(x)>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ → đối dấu. Với $g(x)=-2x^2+3x-5$: $\Delta =3^2-4\cdot (-2)\cdot (-5)=9-40=-31<0$ và $a=-2<0$ nên $g(x)<0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ → đối dấu. Với $h(x)=8-9x^2$: $\Delta =0^2-4\cdot (-9)\cdot 8=288>0$ nên $h$ có hai nghiệm phân biệt, đổi dấu trên $\mathbb{R}$ → không đối dấu. Vậy có 2 tam thức đối dấu, chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình $x^2-11x+10\ge 0$ có nghiệm $x=1$, $x=10$, nên tập nghiệm là $S=(-\infty ;1]\cup [10;+\infty )$. Xét các tập: A. $[8;+\infty )$ chứa $x=8$ mà $8^2-88+10=-14<0$, không phải nghiệm. B. $(-\infty ;1]$ nằm hoàn toàn trong $S$. C. $[10;+\infty )$ nằm hoàn toàn trong $S$. D. $(-\infty ;0]\cup (10;+\infty )$ nằm hoàn toàn trong $S$. Vậy tập chứa phần tử không phải nghiệm là $[8;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét A: $-x^2+5x-8$ có $a=-1<0$ và $\Delta =25-4(-1)(-8)=25-32=-7<0$, nên tam thức luôn âm với mọi $x$. B: $\Delta =25-8=17>0$ nên đổi dấu. C: $a=1>0$, $\Delta =9-32<0$ nên luôn dương. D: $-4x^2+4x-1=-(2x-1{)}^2\le 0$ và bằng 0 tại $x=\frac{1}{2}$, không luôn âm. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 104, câu 1: A).

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức $f(x)=3x^2-4x-7$ có $a=3,b=-4,c=-7$, $\Delta =16+84=100$, $\sqrt{\Delta }=10$. Nghiệm: $x_1=\frac{4-10}{6}=-1$, $x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{7}{3}$.
a) Đúng: hai nghiệm là $-1$ và $\frac{7}{3}$.
b) Đúng: $a=3>0$ nên $f(x)>0$ ngoài khoảng nghiệm, $f(x)<0$ trong khoảng $(-1;\frac{7}{3})$, bằng 0 tại hai nghiệm — đúng như bảng xét dấu.
c) Đúng: $f(x)\le 0$ khi và chỉ khi $x\in \left[-1;\frac{7}{3}\right]$.
d) Sai: $g(x)=f(x)+2x-5=3x^2-2x-12$ có ${\Delta }^{\prime }=(-1{)}^2-3\cdot (-12)=1+36=37>0$ nên $g(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt $x=\frac{1\pm \sqrt{37}}{3}$, do đó $g(x)$ không luôn dương (ví dụ $g(0)=-12<0$).
a) (AI giải đề cho tôi)
$\Delta =100$, nghiệm $x=-1$ và $x=\frac{7}{3}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$a=3>0$: $f(x)$ dương ngoài khoảng hai nghiệm, âm trong khoảng $\left(-1;\frac{7}{3}\right)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)\le 0\iff x\in \left[-1;\frac{7}{3}\right]$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$g(x)=3x^2-2x-12$ có ${\Delta }^{\prime }=37>0$ nên có hai nghiệm, ví dụ $g(0)=-12<0$, không luôn dương.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $3x^2+x-14<0$. Tam thức có hai nghiệm $x=\frac{-1\pm \sqrt{1+168}}{6}=\frac{-1\pm 13}{6}$, tức $x=2$ và $x=-\frac{7}{3}$. Vì hệ số $a=3>0$, tam thức âm khi $-\frac{7}{3}<x<2$. Các số nguyên thỏa mãn: $x\in \{-2,-1,0,1\}$, gồm 4 nghiệm nguyên. Khớp với đáp án D của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng tam thức:
- A: $-x^2+5x-8$ có $a=-1<0$, biệt thức $\Delta =25-4\cdot 8=-7<0$ nên tam thức luôn âm với mọi $x$. Đúng.
- B: $x^2+3x+8$ có $a=1>0$, $\Delta =9-32=-23<0$ nên luôn dương, không âm.
- C: $-x^2+5x-2$ có $\Delta =25-8=17>0$ nên có nghiệm, đổi dấu qua nghiệm, không luôn âm.
- D: $-4x^2+4x-1=-(2x-1{)}^2\le 0$ nhưng bằng $0$ tại $x=\frac{1}{2}$, không luôn âm.
Vậy chỉ biểu thức A luôn nhận giá trị âm, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 103, câu 1: A).

(AI giải đề cho tôi)
Xét bất phương trình $3x^2+x-14<0$. Phương trình $3x^2+x-14=0$ có $\Delta =1+168=169$, nên $x=\frac{-1\pm 13}{6}$, tức $x=2$ và $x=-\frac{7}{3}$. Vì $a=3>0$ nên bất phương trình nghiệm trên khoảng $\left(-\frac{7}{3};2\right)$. Các số nguyên thuộc khoảng này là $-2,-1,0,1$, gồm 4 số. Vậy có 4 nghiệm nguyên, khớp đáp án C (đáp án trang 9, Mã đề 103, câu 10: C).

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức $f(x)=3x^2-4x-7$ có $a=3>0$, $\Delta =(-4{)}^2-4\cdot 3\cdot (-7)=16+84=100>0$, nghiệm $x=\frac{4\pm 10}{6}$ tức $x_1=-1$, $x_2=\frac{7}{3}$. a) Đúng: vì $a>0$, tam thức dương ngoài hai nghiệm, âm giữa hai nghiệm, bảng xét dấu như đề. b) Đúng: hai nghiệm là $-1$ và $\frac{7}{3}$ (kiểm tra: $3(-1{)}^2-4(-1)-7=0$; $3\cdot \frac{49}{9}-4\cdot \frac{7}{3}-7=\frac{49}{3}-\frac{28}{3}-7=0$). c) Đúng: $f(x)\le 0$ khi $x\in \left[-1;\frac{7}{3}\right]$. d) Sai: $g(x)=f(x)+2x-5=3x^2-2x-12$ có ${\Delta }^{\prime }=(-1{)}^2-3\cdot (-12)=1+36=37>0$ nên $g(x)$ có hai nghiệm phân biệt và nhận giá trị âm, không luôn dương (ví dụ $g(0)=-12<0$). Khớp đáp án nguồn Đ–Đ–Đ–S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $a=3>0$ và hai nghiệm $-1,\frac{7}{3}$, tam thức dương ngoài khoảng, âm trong khoảng, bảng xét dấu đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\Delta =100$, nghiệm $x=\frac{4\pm 10}{6}$, tức $-1$ và $\frac{7}{3}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tam thức $\le 0$ trên đoạn giữa hai nghiệm: $S=\left[-1;\frac{7}{3}\right]$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$g(x)=3x^2-2x-12$ có ${\Delta }^{\prime }=37>0$ nên có nghiệm và nhận giá trị âm, ví dụ $g(0)=-12<0$.