Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Dấu tam thức, BPT bậc hai (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Để không bị lỗ: doanh thu $170x\ge P=x^2+30x+3300$, tức $x^2-140x+3300\le 0$. Biệt thức $\Delta =140^2-4\cdot 3300=19600-13200=6400$, $\sqrt{\Delta }=80$. Nghiệm: $x=\frac{140\pm 80}{2}$, tức $x=30$ hoặc $x=110$. Vậy $30\le x\le 110$, do đó $a=30$, $b=110$ và $S=a+b=140$.

(AI giải đề cho tôi)
Không bị lỗ khi doanh thu ≥ chi phí: $1200Q\ge Q^2+300Q+200000$, tức $Q^2-900Q+200000\le 0$. Biệt thức $\Delta =900^2-4\cdot 200000=810000-800000=10000$, $\sqrt{\Delta }=100$. Nghiệm: $Q=\frac{900\pm 100}{2}$, tức $Q=400$ hoặc $Q=500$. Vậy $a=400$, $b=500$ và $S=a+b=900$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_{2025}(x^2-2x+m-2024)$ có tập xác định là $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $x^2-2x+m-2024>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Tam thức bậc hai có hệ số $a=1>0$ nên điều kiện là $\Delta <0$: $\Delta =4-4(m-2024)<0\iff 1-m+2024<0\iff m>2025$. Giá trị nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn là $m=2026$. Kiểm tra: với $m=2026$, biểu thức $x^2-2x+2=(x-1{)}^2+1>0$ với mọi $x$, thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sqrt{(m+10)x^2-2(m-2)x+1}$ có tập xác định $D=\mathbb{R}$ khi và chỉ khi biểu thức dưới dấu căn không âm với mọi $x$: $(m+10)x^2-2(m-2)x+1\ge 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.

TH1: $m+10=0$, tức $m=-10$: biểu thức trở thành $24x+1$, âm khi $x<-\frac{1}{24}$, không thỏa mãn.

TH2: $m+10>0$ và $\Delta \le 0$:
$$\Delta =4(m-2{)}^2-4(m+10)\le 0\iff (m-2{)}^2\le m+10\iff m^2-5m-6\le 0\iff (m-6)(m+1)\le 0\iff -1\le m\le 6.$$

Kết hợp $m+10>0$ (luôn đúng với $m\in [-1;6]$), các giá trị nguyên của $m$ là $m\in \{-1,0,1,2,3,4,5,6\}$, gồm 8 giá trị.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $m{x}^2+2(m-3)x+4\ge 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.
- Nếu $m=0$: bất phương trình trở thành $-6x+4\ge 0$, không đúng với mọi $x$, loại.
- Với $m>0$: cần $\Delta \le 0$: $\Delta =4(m-3{)}^2-16m\le 0\iff (m-3{)}^2\le 4m\iff m^2-10m+9\le 0\iff 1\le m\le 9$.
Vậy $m\in [1;9]$, tức $a=1,b=9$, nên $a^2-b^2=1-81=-80$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 6: Tìm m để bất phương trình có tập nghiệm là R.

a) Xét $f(x)=2x^2-(m-9)x+m^2+3m+4\ge 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.
Vì hệ số $a=2>0$ nên parabol hướng lên. Bất phương trình $f(x)\ge 0$ đúng với mọi $x$ khi và chỉ khi $\Delta \le 0$.
$$\Delta =(m-9{)}^2-8(m^2+3m+4)=m^2-18m+81-8m^2-24m-32=-7m^2-42m+49=-7(m^2+6m-7).$$
$\Delta \le 0\iff m^2+6m-7\ge 0\iff (m+7)(m-1)\ge 0\iff m\le -7$ hoặc $m\ge 1$.
Vậy $m\in (-\infty ;-7]\cup [1;+\infty )$.

b) Xét $g(x)=(m-4)x^2-(m-6)x+m-5\le 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.
- Nếu $m=4$: $g(x)=2x-1\le 0$ chỉ đúng khi $x\le \frac{1}{2}$, không thỏa mãn.
- Với $m\ne 4$, cần $a=m-4<0\iff m<4$ và $\Delta \le 0$:
$$\Delta =(m-6{)}^2-4(m-4)(m-5)=m^2-12m+36-4m^2+36m-80=-3m^2+24m-44.$$
$\Delta \le 0\iff 3m^2-24m+44\ge 0$. Phương trình $3m^2-24m+44=0$ có nghiệm $m=\frac{24\pm \sqrt{576-528}}{6}=4\pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$.
Suy ra $\Delta \le 0\iff m\le 4-\frac{2\sqrt{3}}{3}$ hoặc $m\ge 4+\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
Kết hợp với $m<4$: $m\le 4-\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
Vậy $m\in \left(-\infty ;4-\frac{2\sqrt{3}}{3}\right]$.

Kiểm tra lại: với $m=1$ ở câu a), $\Delta =-7(1+6-7)=0$, $f(x)=2x^2+8x+8=2(x+2{)}^2\ge 0$ đúng với mọi $x$. Với $m=4-\frac{2\sqrt{3}}{3}\approx 2,845$ ở câu b), $a<0$ và $\Delta =0$, $g(x)\le 0$ đúng với mọi $x$. Kết quả thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_{0,5}(m{x}^2-mx+1)$ xác định trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $m{x}^2-mx+1>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.

- Nếu $m=0$: biểu thức bằng $1>0$ với mọi $x$, thỏa mãn.
- Nếu $m\ne 0$: cần parabol hướng lên ($m>0$) và phương trình $m{x}^2-mx+1=0$ vô nghiệm, tức $\Delta =m^2-4m<0\iff 0<m<4$.

Vậy $0\le m<4$, các giá trị nguyên là $m\in \{0;1;2;3\}$. Kiểm tra: với $m=1,2,3$ đều có $\Delta <0$ và $m>0$, thỏa mãn.

Tổng cần tính: $0+1+2+3=6$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 10: Tìm m để tam thức bậc hai có dấu đúng với mọi x.
a) $x^2+2(m-2)x+2m-1\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$: hệ số $a=1>0$, cần $\Delta \le 0$: $\Delta =4(m-2{)}^2-4(2m-1)=4(m^2-6m+3)\le 0\iff m^2-6m+3\le 0$. Nghiệm: $m=3\pm \sqrt{6}$. Vậy $3-\sqrt{6}\le m\le 3+\sqrt{6}$.
b) $-x^2+(m+1)x-2m+1\le 0,\forall x\in \mathbb{R}$: nhân $-1$, tương đương $x^2-(m+1)x+2m-1\ge 0$ với $a=1>0$, cần $\Delta \le 0$: $\Delta =(m+1{)}^2-4(2m-1)=m^2-6m+5\le 0\iff (m-1)(m-5)\le 0$. Vậy $1\le m\le 5$.
c) $x^2-2(2m+1)x+m+2>0,\forall x\in \mathbb{R}$: $a=1>0$, cần $\Delta <0$: $\Delta =4(2m+1{)}^2-4(m+2)<0\iff 4m^2+4m+1-m-2<0\iff 4m^2+3m-1<0\iff (4m-1)(m+1)<0$. Vậy $-1<m<\frac{1}{4}$.
d) $m{x}^2+2mx-3<0,\forall x\in \mathbb{R}$: nếu $m=0$ thì $-3<0$ luôn đúng. Nếu $m\ne 0$, cần $m<0$ và $\Delta <0$: $\Delta =4m^2+12m<0\iff 4m(m+3)<0\iff -3<m<0$. Kết hợp: $-3<m\le 0$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét tam thức $f(x)=x^2-(m+2)x+8m+1$ với hệ số $a=1>0$. Bất phương trình $f(x)\le 0$ vô nghiệm khi và chỉ khi $f(x)>0$ với mọi $x$, tức tam thức luôn dương, tương đương $\Delta <0$.

Tính biệt thức:
$$\Delta =(m+2{)}^2-4(8m+1)=m^2+4m+4-32m-4=m^2-28m=m(m-28).$$

Yêu cầu $\Delta <0$:
$$m(m-28)<0⟺0<m<28.$$

Vậy $m\in (0;28)$. Kiểm tra: với $m=1$, $f(x)=x^2-3x+9$ có $\Delta =9-36=-27<0$, luôn dương, thỏa mãn. Với $m=0$, $\Delta =0$, phương trình có nghiệm kép nên bất phương trình có nghiệm, loại. Kết quả phù hợp.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 11:

a) Hàm số $y=\frac{1}{\sqrt{m{x}^2-2mx+5}}$ có tập xác định $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $m{x}^2-2mx+5>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.
- Nếu $m=0$: biểu thức bằng $5>0$, thỏa mãn.
- Nếu $m\ne 0$: cần $a=m>0$ và $\Delta <0$: $\Delta =4m^2-20m<0\iff 0<m<4$.
Kết hợp: $0\le m<4$.

b) Tam thức $y=-x^2+mx-1$ có $a=-1<0$ nên luôn âm với mọi $x$ khi $\Delta \le 0$: $\Delta =m^2-4\le 0\iff -2\le m\le 2$. Khi đó dấu của tam thức không phụ thuộc vào $x$ (luôn âm). Vậy $-2\le m\le 2$.

c) Tập xác định của $y=\sqrt{-2x^2+mx-m-6}$ là tập nghiệm của $-2x^2+mx-m-6\ge 0$. Để tập này chỉ gồm một phần tử, phương trình $-2x^2+mx-m-6=0$ phải có nghiệm kép: $\Delta =m^2-4(-2)(-m-6)=m^2-8m-48=0\iff m=12$ hoặc $m=-4$.
- Với $m=12$: $-2x^2+12x-18=-2(x-3{)}^2\ge 0$ chỉ tại $x=3$.
- Với $m=-4$: $-2x^2-4x-2=-2(x+1{)}^2\ge 0$ chỉ tại $x=-1$.
Vậy $m\in \{-4;12\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=m{x}^2-(2m-1)x+m+1$. Bất phương trình $f(x)<0$ vô nghiệm khi và chỉ khi $f(x)\ge 0$ với mọi $x$.
- Nếu $m=0$: bất phương trình trở thành $-x+1<0$, có nghiệm $x>1$, loại.
- Với $m\ne 0$: cần $m>0$ và $\Delta \le 0$ với $\Delta =(2m-1{)}^2-4m(m+1)=4m^2-4m+1-4m^2-4m=1-8m$.
$\Delta \le 0\iff 1-8m\le 0\iff m\ge \frac{1}{8}$ (thỏa mãn $m>0$).
Vậy bất phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi $m\ge \frac{1}{8}$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 10: Tìm số nguyên $x$ sao cho $(x+3)⋮(x^2+1)$.

Vì $x^2+1>0$ với mọi $x$, nếu $(x+3)⋮(x^2+1)$ thì $|x+3|\ge x^2+1$ (trừ trường hợp $x+3=0$).

Xét $x+3=0$, tức $x=-3$: khi đó $x+3=0$ chia hết cho mọi số khác 0, nên $x=-3$ thỏa mãn.

Với $x\ne -3$, cần $|x+3|\ge x^2+1$.
- Nếu $x\ge -3$: cần $x+3\ge x^2+1$, tức $x^2-x-2\le 0$, suy ra $-1\le x\le 2$. Kiểm tra: $x=-1$: $2⋮2$ ✓; $x=0$: $3⋮1$ ✓; $x=1$: $4⋮2$ ✓; $x=2$: $5⋮5$ ✓.
- Nếu $x<-3$: cần $-(x+3)\ge x^2+1$, tức $x^2+x+4\ge 0$ luôn đúng, nhưng phải kiểm tra chia hết trực tiếp. Với $x\le -4$ thì $x^2+1\ge 17>|x+3|=-(x+3)$, mà $x+3\ne 0$ nên không thể chia hết. Không có nghiệm nào.

Vậy tập nghiệm là $x\in \{-3;-1;0;1;2\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình $-x^2+(m+1)x-2m+1\le 0\forall x\in \mathbb{R}$ đúng khi và chỉ khi parabol (hệ số $a=-1<0$) nằm dưới hoặc tiếp xúc trục hoành, tức phương trình $-x^2+(m+1)x-2m+1=0$ vô nghiệm hoặc nghiệm kép, nghĩa là $\Delta \le 0$.

Tính biệt thức: $\Delta =(m+1{)}^2-4(-1)(-2m+1)=m^2+2m+1-8m+4=m^2-6m+5$.

Yêu cầu $m^2-6m+5\le 0\iff (m-1)(m-5)\le 0\iff 1\le m\le 5$.

Các giá trị nguyên của $m$: $1,2,3,4,5$ — có 5 giá trị.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=m{x}^2+(2m-1)x+m+1<0$. Với $m=0$: $-x+1<0\iff x>1$, có nghiệm. Với $m\ne 0$: bất phương trình bậc hai có nghiệm khi $\Delta >0$: $\Delta =(2m-1{)}^2-4m(m+1)=4m^2-4m+1-4m^2-4m=1-8m>0\iff m<\frac{1}{8}$. Vậy $S=(-\infty ;\frac{1}{8})$. Trong các khoảng đã cho, chỉ có $(-1;0)\subset (-\infty ;\frac{1}{8})$ (các khoảng $(0;1)$, $(1;2)$, $(-2;3)$ đều chứa điểm $>\frac{1}{8}$). Vậy đáp án C, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu, $f(x)$ có hai nghiệm $x=1$ và $x=3$, đổi dấu $+$ sang $-$ nên $f(x)=(x-1)(x-3)=x^2-4x+3$, suy ra $a=4$, $b=3$.
a) $f(x)<0$ trên khoảng giữa hai nghiệm: $1<x<3$. Đúng.
b) $f(4)=(4-1)(4-3)=3\cdot 1=3$. Đúng.
c) $(x^2-3x+2)f(x)\le 0\iff (x-1)(x-2)(x-3)\le 0$. Xét dấu: nghiệm $x=1,2,3$; biểu thức $\le 0$ khi $x\in [2;3]\cup \{1\}$ (tại $x=1$ biểu thức bằng 0). Do đó khẳng định nghiệm chỉ là $[2;3]$ là sai vì thiếu $x=1$. Sai.
d) $a+b=4+3=7$. Đúng.
Kết quả khớp đáp án chính thức mã đề 1102, Câu 4: a Đ, b Đ, c S, d Đ.
a) Theo bảng xét dấu, $f(x)<0$ trên khoảng giữa hai nghiệm, tức $1<x<3$. Đúng. (Đáp án chính thức mã đề 1102, Câu 4a: Đ)
b) Từ bảng xét dấu, $f(x)=(x-1)(x-3)=x^2-4x+3$, nên $f(4)=3\cdot 1=3$. Đúng. (Đáp án chính thức mã đề 1102, Câu 4b: Đ)
c) Với $f(x)=(x-1)(x-3)$, bất phương trình $(x-1)(x-2)(x-3)\le 0$ có nghiệm $x\in [2;3]\cup \{1\}$, không chỉ $[2;3]$ (tại $x=1$ biểu thức bằng 0 nên cũng thỏa). Sai. (Đáp án chính thức mã đề 1102, Câu 4c: S)
d) Vì $f(x)=(x-1)(x-3)=x^2-4x+3$ nên $a=4$, $b=3$, do đó $a+b=7$. Đúng. (Đáp án chính thức mã đề 1102, Câu 4d: Đ)

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=m{x}^2+(2m-1)x+m+1<0$. Với $m=0$: $-x+1<0\iff x>1$, có nghiệm nên $m=0\in S$. Với $m\ne 0$: bất phương trình bậc hai có nghiệm $\iff \Delta =(2m-1{)}^2-4m(m+1)=4m^2-4m+1-4m^2-4m=1-8m>0\iff m<\frac{1}{8}$. Vậy $S=(-\infty ;\frac{1}{8}]$. Kiểm tra các khoảng: $(0;1)$ không chứa trong $S$ vì $m=\frac{1}{2}>\frac{1}{8}$; $(1;2)$ và $(-2;3)$ cũng chứa các giá trị $m>\frac{1}{8}$. Khoảng $(-1;0)\subset S$. Đáp án D, trùng với đáp án nguồn (Mã 1102, Câu 5: D).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=m{x}^2+(2m-1)x+m+1<0$.
- Với $m=0$: $-x+1<0\iff x>1$, có nghiệm nên $0\in S$.
- Với $m\ne 0$: bất phương trình bậc hai có nghiệm khi $\Delta >0$: $\Delta =(2m-1{)}^2-4m(m+1)=4m^2-4m+1-4m^2-4m=1-8m>0\iff m<\frac{1}{8}$.
Vậy $S=(-\infty ;\frac{1}{8})\cup \{0\}$.
Kiểm tra các khoảng: $(0;1)$ chứa $m=\frac{1}{2}\notin S$; $(-1;0)\subset (-\infty ;\frac{1}{8})\subset S$; $(-2;3)$ chứa $m=1\notin S$; $(1;2)\cap S=\varnothing$.
Vậy $S$ chứa khoảng $(-1;0)$, đáp án B (khớp đáp án nguồn).