Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Định nghĩa/ý nghĩa đạo hàm (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa đạo hàm tại một điểm: $f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$. Do đó chỉ phương án B đúng. Các phương án A, C, D sai vì mẫu số không phải là $x-x_0$ (A dùng $x+x_0$, C và D dùng $f(x)+f(x_0)$ thay vì hiệu $f(x)-f(x_0)$). Kết quả này trùng với đáp án B trong bảng đáp án của đề (Mã đề 1001, Câu 4).

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc là đạo hàm của quãng đường: $v(t)=f^{\prime }(t)=-3t^2+18t+1$. Tại $t=2$: $v(2)=-3\cdot 4+18\cdot 2+1=-12+36+1=25$ (m/s). Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc là đạo hàm của quãng đường: $v(t)=f^{\prime }(t)=-3t^2+18t+1$. Tại $t=2$: $v(2)=-3(4)+18(2)+1=-12+36+1=25$ (m/s). Kết quả khớp với đáp án B trong bảng đáp án mã đề 1101.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai vì $y^{\prime }=-x^2+2x-3\ne -x^2+x-3$. b) Đúng: $M(0;2)$, $y^{\prime }(0)=-3$. c) Đúng: tiếp tuyến $y=-3(x-0)+2=-3x+2$. d) Đúng: hệ số góc $k=-x^2+2x-3=-(x-1{)}^2-2\le -2$, max bằng $-2$ tại $x=1$. Khớp đáp án nguồn: S Đ Đ Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=-x^2+2x-3$, khác $-x^2+x-3$ nên sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$M$ là giao với trục tung nên $M(0;2)$; $y^{\prime }(0)=-3$ là hệ số góc tại $M$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tiếp tuyến tại $M(0;2)$: $y=-3(x-0)+2=-3x+2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hệ số góc $k=y^{\prime }=-x^2+2x-3=-(x-1{)}^2-2\le -2$, giá trị lớn nhất $-2$ đạt tại $x=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc là đạo hàm của quãng đường: $v(t)=s^{\prime }(t)=3t^2-4t+1$. Tại $t=4$: $v(4)=3\cdot 16-4\cdot 4+1=48-16+1=33$ (m/s). Kết quả khớp với đáp án nguồn (33).

(AI giải đề cho tôi)
a) $y^{\prime }=x^2-2x+3$ đúng. b) $M$ là giao điểm với trục tung: $x=0\Rightarrow y=-2$, $M(0;-2)$; hệ số góc $k=y^{\prime }(0)=3$ đúng. c) Tiếp tuyến tại $M$: $y=3(x-0)-2=3x-2\ne 3x+2$ nên sai. d) Hệ số góc $k=x^2-2x+3=(x-1{)}^2+2\ge 2$, giá trị nhỏ nhất bằng $2$ (tại $x=1$), không phải $3$ nên sai. Kết quả khớp đáp án nguồn: Đ Đ S S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3\cdot \frac{1}{3}{x}^2-2x+3=x^2-2x+3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$M(0;-2)$, $y^{\prime }(0)=0^2-0+3=3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tiếp tuyến tại $M(0;-2)$: $y=3x-2$, không phải $y=3x+2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }(x)=(x-1{)}^2+2\ge 2$, min bằng $2$ tại $x=1$, không phải $3$.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc là đạo hàm của quãng đường: $v(t)=s^{\prime }(t)=3t^2-8t+5$. Tại $t=5$: $v(5)=3\cdot 25-8\cdot 5+5=75-40+5=40$ (m/s). Kết quả khớp với đáp án nguồn (40).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{-2}{x+1}$, nên $f^{\prime }(x)=\frac{2}{(x+1{)}^2}$ với $x\ne -1$.
a) Đúng: Theo định nghĩa đạo hàm tại $x_0=-2$: $f^{\prime }(-2)=\underset{x\to -2}{\lim }\frac{f(x)-f(-2)}{x-(-2)}=\underset{x\to -2}{\lim }\frac{f(x)-f(-2)}{x+2}$.
b) Đúng: $f^{\prime }(x)-2=0\iff \frac{2}{(x+1{)}^2}=2\iff (x+1{)}^2=1\iff x=0$ hoặc $x=-2$: hai nghiệm phân biệt.
c) Đúng: Hệ số góc của tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm có hoành độ $x_0=-2$ chính là $k=f^{\prime }(-2)$.
d) Sai: $f^{\prime }(x)=\frac{2}{(x+1{)}^2}>0$ chỉ với $x\ne -1$; tại $x=-1$ hàm số không xác định nên không có đạo hàm, do đó khẳng định '$f^{\prime }(x)>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$' là sai. Kết quả Đ-Đ-Đ-S khớp với bảng đáp án mã đề 0102, câu 14.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đúng theo định nghĩa đạo hàm: $f^{\prime }(-2)=\underset{x\to -2}{\lim }\frac{f(x)-f(-2)}{x+2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\frac{2}{(x+1{)}^2}=2\iff (x+1{)}^2=1\iff x=0$ hoặc $x=-2$: hai nghiệm phân biệt.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hệ số góc tiếp tuyến tại $M$ (hoành độ $x_0=-2$) bằng $f^{\prime }(-2)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\frac{2}{(x+1{)}^2}>0$ chỉ với $x\ne -1$; tại $x=-1$ hàm không xác định nên mệnh đề sai.

(AI giải đề cho tôi)
Cường độ dòng điện là đạo hàm của điện lượng: $I(t)=Q^{\prime }(t)=t-1$ (A). Tại $t=7$: $I(7)=7-1=6$ (A). Kết quả trùng với đáp án nguồn (6).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=\frac{-2}{x+1}$ có $f^{\prime }(x)=\frac{2}{(x+1{)}^2}$ với $x\ne -1$. a) Hệ số góc của tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm $M$ có hoành độ $x_0=-2$ chính là $f^{\prime }(-2)$, nên ý a) Đúng. b) $f^{\prime }(x)-2=0\iff \frac{2}{(x+1{)}^2}=2\iff (x+1{)}^2=1\iff x=0$ hoặc $x=-2$: hai nghiệm phân biệt, ý b) Đúng. c) Theo định nghĩa đạo hàm, $f^{\prime }(-2)=\underset{x\to -2}{\lim }\frac{f(x)-f(-2)}{x-(-2)}=\underset{x\to -2}{\lim }\frac{f(x)-f(-2)}{x+2}$, ý c) Đúng. d) $f^{\prime }(x)=\frac{2}{(x+1{)}^2}>0$ chỉ với $x\ne -1$; tại $x=-1$ hàm không xác định nên không có $f^{\prime }(-1)$, do đó khẳng định $f^{\prime }(x)>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ là Sai. Kết quả Đúng–Đúng–Đúng–Sai khớp với đáp án mã đề 0101 (ĐĐĐS).
a) (AI giải đề cho tôi)
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm hoành độ $x_0=-2$ bằng $f^{\prime }(-2)=\frac{2}{(-2+1{)}^2}=2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=2\iff \frac{2}{(x+1{)}^2}=2\iff (x+1{)}^2=1\iff x=0$ hoặc $x=-2$, hai nghiệm phân biệt.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đây chính là định nghĩa đạo hàm tại $x_0=-2$ vì $x-(-2)=x+2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\frac{2}{(x+1{)}^2}>0$ chỉ với $x\ne -1$; tại $x=-1$ hàm số không xác định nên không thể có $f^{\prime }(x)>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.

Vận tốc tức thời của vật là đạo hàm của phương trình chuyển động theo thời gian:
$$v(t)=s^{\prime }(t)=t^2-4t+4$$
Vật đứng yên khi vận tốc bằng 0: $t^2-4t+4=0\iff (t-2{)}^2=0\iff t=2$ (giây).

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc tức thời là đạo hàm của quãng đường: $v(t)=s^{\prime }(t)=3t^2-6t+10$. Tại $t=2$: $v(2)=3\cdot 4-6\cdot 2+10=12-12+10=10$ (cm/s).

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc tức thời là đạo hàm của quãng đường: $v(t)=s^{\prime }(t)=t^2+4t+5$. Tại $t=3$: $v(3)=3^2+4\cdot 3+5=9+12+5=26$ (cm/s).

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc tức thời là đạo hàm của quãng đường: $v(t)=s^{\prime }(t)=-3t^2+12t+2$. Tại $t=2$: $v(2)=-3\cdot 4+12\cdot 2+2=-12+24+2=14$ (cm/s).

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc tức thời là đạo hàm của quãng đường: $v(t)=s^{\prime }(t)=2t^2-2t+8$. Tại $t=4$: $v(4)=2\cdot 16-2\cdot 4+8=32-8+8=32$ (cm/s).

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc $v(t)=s^{\prime }(t)=3t^2-6t+7$, gia tốc $a(t)=v^{\prime }(t)=6t-6$.
a) $v(2)=3\cdot 4-12+7=7$ (m/s) → đúng.
b) $a(2)=12-6=6$ (m/s²) → đúng.
c) $v(t)=16\Rightarrow 3t^2-6t+7=16\Rightarrow t^2-2t-3=0\Rightarrow t=3$ (vì $t>0$). Khi đó $a(3)=18-6=12\ne 10$ (m/s²) → sai.
d) $v(t)=3(t-1{)}^2+4\ge 4$, giá trị nhỏ nhất bằng 4 đạt tại $t=1$ giây → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$v(t)=3t^2-6t+7$, nên $v(2)=12-12+7=7$ (m/s).
b) (AI giải đề cho tôi)
$a(t)=6t-6$, nên $a(2)=6$ (m/s²).
c) (AI giải đề cho tôi)
$v(t)=16\Rightarrow t=3$, khi đó $a(3)=12$ (m/s²) ≠ 10.
d) (AI giải đề cho tôi)
$v(t)=3(t-1{)}^2+4\ge 4$ với min tại $t=1$ giây.

Lời giải (Đáp án mã 0103-0107):
Ta có $y=3-\frac{7}{x},(x>0)\Rightarrow y^{\prime }=\frac{7}{x^2}$
Gọi $M(x_0;y_0),x_0>0$ là điểm mà viên đạn được bắn ra từ máy bay, theo giả thiết $M\in (C)\Rightarrow M\left(x_0;3-\frac{7}{x_0}\right)$ và $y^{\prime }(x_0)=\frac{7}{x_0^2}$
Vì quỹ đạo bay của viên đạn theo phương tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M do đó ta có phương trình quỹ đạo bay của viên đạn là: $(\Delta ):y=\frac{7}{x_0^2}(x-x_0)+3-\frac{7}{x_0}$
Viên đạn bắn trúng mục tiêu (8;3) nên ta có:
$3=\frac{7}{x_0^2}(8-x_0)+3-\frac{7}{x_0}\iff \frac{56}{x_0^2}=\frac{14}{x_0}\Rightarrow x_0=4\Rightarrow y_0=\frac{5}{4}\Rightarrow M\left(4;\frac{5}{4}\right)$
Vậy khoảng cách từ viên đạn đến mục tiêu là: $\sqrt{(4-8{)}^2+{\left(\frac{5}{4}-3\right)}^2}=\frac{\sqrt{305}}{4}$
(Điểm: 0,75 cho phần lập luận tìm M; 0,25 cho phần tính khoảng cách)

(AI giải đề cho tôi)
Hệ số góc của tiếp tuyến tại $x_0=-2$ là $k=f^{\prime }(x_0)$. Với $f(x)=x^2$ ta có $f^{\prime }(x)=2x$, nên $k=f^{\prime }(-2)=2\cdot (-2)=-4$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 0103, câu 8: A).

Lời giải (Đáp án mã 0101-0105):
Ta có $y=5-\frac{7}{x},(x>0)\Rightarrow y^{\prime }=\frac{7}{x^2}$
Gọi $M(x_0;y_0),x_0>0$ là điểm mà viên đạn được bắn ra từ máy bay, theo giả thiết $M\in (C)\Rightarrow M\left(x_0;5-\frac{7}{x_0}\right)$ và $y^{\prime }(x_0)=\frac{7}{x_0^2}$
Vì quỹ đạo bay của viên đạn theo phương tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M do đó ta có phương trình quỹ đạo bay của viên đạn là: $(\Delta ):y=\frac{7}{x_0^2}(x-x_0)+5-\frac{7}{x_0}$ — 0,75
Viên đạn bắn trúng mục tiêu (6;5) nên ta có:
$5=\frac{7}{x_0^2}(6-x_0)+5-\frac{7}{x_0}\iff \frac{42}{x_0^2}=\frac{14}{x_0}\Rightarrow x_0=3\Rightarrow y_0=\frac{8}{3}\Rightarrow M\left(3;\frac{8}{3}\right)$
Vậy khoảng cách từ viên đạn đến mục tiêu là: $\sqrt{(3-6{)}^2+{\left(\frac{8}{3}-5\right)}^2}=\frac{\sqrt{130}}{3}$ — 0,25

(AI giải đề cho tôi)
Hệ số góc của tiếp tuyến tại $x_0$ là $f^{\prime }(x_0)$. Với $f(x)=x^2$, ta có $f^{\prime }(x)=2x$, nên $f^{\prime }(-2)=2\cdot (-2)=-4$. Vậy hệ số góc là $-4$, khớp với đáp án nguồn (C).