Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Định nghĩa/ý nghĩa đạo hàm (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc tức thời là đạo hàm $v(t)=s^{\prime }(t)=3t^2-6t+8$. Tại $t=3$: $v(3)=3\cdot 9-6\cdot 3+8=27-18+8=17$ (m/s). Khớp với đáp án A trong đề.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc tức thời là $v(t)=s^{\prime }(t)=3t^2-8t+6$. Tại $t=4$: $v(4)=3\cdot 16-8\cdot 4+6=48-32+6=22(m/s)$. Khớp với đáp án nguồn (đề 101, câu 9: C).

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc tức thời là đạo hàm của quãng đường theo thời gian: $v(t)=S^{\prime }(t)=2t+4$ (m/s). Tại $t=8$: $v(8)=2\cdot 8+4=20$ m/s. Kết quả khớp với đáp án nguồn (20).

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc tức thời là đạo hàm của quãng đường: $v(t)=S^{\prime }(t)=2t+2$ (m/s). Tại $t=8$: $v(8)=2\cdot 8+2=18$ m/s. Kết quả khớp với đáp án nguồn (18).

$v(t)=-6\sin \left(2t-\frac{\pi }{3}\right)$ (0,5 điểm)
$v\left(\frac{\pi }{3}\right)=-3\sqrt{3}$ (0,5 điểm).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa đạo hàm, $f^{\prime }(2)=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=-5$. Vậy $f^{\prime }(2)=-5$, khớp với đáp án A (mã đề 102).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa đạo hàm, $f^{\prime }(3)=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{f(x)-f(3)}{x-3}=7$. Vậy $f^{\prime }(3)=7$, đáp án D. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 1: D).

$v(t)=6\cos \left(2t-\frac{\pi }{3}\right)$ (0,5 điểm)
$\Rightarrow v\left(\frac{\pi }{6}\right)=6$ (0,5 điểm).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $s(t)$ là quãng đường xe đi được sau $t$ giờ, với $t\in [0;3]$. Vì xe chuyển động liên tục nên $s(t)$ liên tục trên $[0;3]$ và khả vi trên $(0;3)$, với $s(0)=0$, $s(3)=180$. Theo định lý giá trị trung bình (định lý Lagrange), tồn tại ít nhất một điểm $c\in (0;3)$ sao cho $$s^{\prime }(c)=\frac{s(3)-s(0)}{3-0}=\frac{180}{3}=60.$$ Mà $s^{\prime }(c)$ chính là vận tốc tức thời của xe tại thời điểm $c$ (đơn vị $km/h$). Vậy có ít nhất một thời điểm trên hành trình mà xe chạy với vận tốc $60km/h$. Đpcm.

(AI giải đề cho tôi)
Xác minh trên ảnh đáp án trang 9: Mã đề 0102, Phần II Câu 1 là SDSD. a) $y^{\prime }=\frac{4}{(x+2{)}^2}>0$ chỉ với $x\ne -2$, hàm số không xác định tại $x=-2$, nên khẳng định $y^{\prime }>0,\forall x\in \mathbb{R}$ SAI. b) $f(-1)=-3$, $y^{\prime }(-1)=4$, tiếp tuyến $y=4(x+1)-3=4x+1$ ĐÚNG. c) Về mặt tính toán, $\frac{4}{(x+2{)}^2}=\frac{1}{4}\iff (x+2{)}^2=16\iff x=2$ hoặc $x=-6$, cho hai tiếp tuyến song song với $\Delta$; tuy nhiên đáp án chính thức (trang 9) ghi ý c) là SAI — giữ phán định của nguồn, xung đột được ghi nhận. d) $f(0)=-1$, $y^{\prime }(0)=1$, tiếp tuyến $y=x-1$ cắt hai trục tại $(1;0)$ và $(0;-1)$, diện tích tam giác $=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1=\frac{1}{2}$ ĐÚNG.
a) Ta có $y^{\prime }=\frac{(x+2)-(x-2)}{(x+2{)}^2}=\frac{4}{(x+2{)}^2}$. Hàm số không xác định tại $x=-2$, do đó $y^{\prime }>0$ không đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$ (chỉ đúng với $x\ne -2$). Khớp đáp án chính thức SDSD (trang 9). Vậy ý a) SAI.
b) Với $x_0=-1$: $f(-1)=\frac{-1-2}{-1+2}=-3$ và $y^{\prime }(-1)=\frac{4}{(-1+2{)}^2}=4$. Phương trình tiếp tuyến: $y=4(x+1)-3=4x+1$. Khớp đáp án chính thức SDSD (trang 9). Vậy ý b) ĐÚNG.
c) Đáp án chính thức (Mã đề 0102, Phần II Câu 1: SDSD, trang 9) cho ý c) là SAI; giữ nguyên phán định của nguồn. Lưu ý mâu thuẫn về mặt tính toán: $y^{\prime }=\frac{4}{(x+2{)}^2}=\frac{1}{4}\iff (x+2{)}^2=16\iff x=2$ hoặc $x=-6$, tức có hai tiếp tuyến song song với $\Delta$, nên ý c) đúng về mặt tính toán. Xung đột giữa tính toán và đáp án chính thức đã được ghi nhận, không tự thay đổi đáp án của nguồn.
d) Tại $x_0=0$: $f(0)=\frac{-2}{2}=-1$ (điểm $M_0(0;-1)$ thuộc đồ thị) và $y^{\prime }(0)=\frac{4}{2^2}=1$. Tiếp tuyến: $y=1\cdot (x-0)-1=x-1$. Đường thẳng $y=x-1$ cắt các trục tại $(1;0)$ và $(0;-1)$, tạo với các trục tọa độ tam giác vuông cân có diện tích $\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1=\frac{1}{2}$. Khớp đáp án chính thức SDSD (trang 9). Vậy ý d) ĐÚNG.

Đáp án nguồn (trang 9, mã đề 0102, Phần II Câu 4): ĐSĐS. a) Đúng: $v(t)=s^{\prime }(t)=3t^2-12t$. b) Sai: $a(5)=6\cdot 5-12=18(m/s^2)$. c) Đúng: với $t>4$, $v(t)>0$ và $a(t)>0$ cùng dấu nên vật tăng tốc. d) Sai: tổng quãng đường trong 6 giây đầu là $|s(4)-s(0)|+|s(6)-s(4)|=32+32=64(m)$. (Lý giải chi tiết do AI cung cấp, khớp đáp án nguồn.)
a) Đúng. $v(t)=s^{\prime }(t)=3t^2-12t(m/s)$. (Lý giải do AI, khớp đáp án nguồn ĐSĐS, mã đề 0102.)
b) Sai. $a(t)=v^{\prime }(t)=6t-12$, tại $t=5$ thì $a(5)=18(m/s^2)\ne 8(m/s^2)$. (Lý giải do AI, khớp đáp án nguồn ĐSĐS, mã đề 0102.)
c) Đúng. Với $t>4$: $v(t)=3t(t-4)>0$ và $a(t)=6t-12>0$ cùng dấu nên vật tăng tốc. (Lý giải do AI, khớp đáp án nguồn ĐSĐS, mã đề 0102.)
d) Sai. $v(t)=0\iff t=0$ hoặc $t=4$; $s(0)=0$, $s(4)=64-96=-32$, $s(6)=216-216=0$. Tổng quãng đường $=|-32-0|+|0-(-32)|=64(m)\ne 32(m)$. (Lý giải do AI, khớp đáp án nguồn ĐSĐS, mã đề 0102.)

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc tức thời là đạo hàm của quãng đường: $v(t)=s^{\prime }(t)=6\cdot 5\cos \left(5t-\frac{\pi }{3}\right)=30\cos \left(5t-\frac{\pi }{3}\right)$ (cm/s). Tại $t=\frac{2\pi }{5}$: $5t-\frac{\pi }{3}=2\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{3}$, nên $v=30\cos \frac{5\pi }{3}=30\cdot \frac{1}{2}=15$ (cm/s). Kết quả khớp với đáp án nguồn (15).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=f(x)=\frac{x-2}{x+2}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-2\}$, $y^{\prime }=\frac{4}{(x+2{)}^2}$.
a) Sai: $y^{\prime }>0$ chỉ với $x\ne -2$; hàm không xác định tại $x=-2$ nên không thể có $y^{\prime }>0,\forall x\in \mathbb{R}$.
b) Đúng: $f(-1)=\frac{-3}{1}=-3$, $y^{\prime }(-1)=\frac{4}{1}=4$, tiếp tuyến $y=4(x+1)-3=4x+1$.
c) Sai: Giải $y^{\prime }=\frac{1}{4}\iff (x+2{)}^2=16\iff x=2$ hoặc $x=-6$. Tại $x=2$: $f(2)=0$, tiếp tuyến $y=\frac{1}{4}x-\frac{1}{2}$ (song song với $\Delta$). Tại $x=-6$: $f(-6)=\frac{-8}{-4}=2$, tiếp tuyến $y=\frac{1}{4}(x+6)+2=\frac{1}{4}x+\frac{7}{2}$ — chính là đường thẳng $\Delta$ (trùng với $\Delta$, không song song theo nghĩa riêng). Vậy chỉ có MỘT tiếp tuyến song song với $\Delta$, phát biểu 'có hai tiếp tuyến' là sai. Điều này khớp đáp án chính thức SĐSD.
d) Đúng: $f(0)=-1$ nên $M_0(0;-1)$ thuộc $(C)$, $y^{\prime }(0)=\frac{4}{4}=1$, tiếp tuyến $y=x-1$ cắt các trục tại $(1;0)$ và $(0;-1)$, diện tích tam giác $=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1=\frac{1}{2}$.
Kết luận: SĐSD, khớp đáp án chính thức (mã đề 0101, Phần II Câu 4).
a) Sai. $y^{\prime }=\frac{4}{(x+2{)}^2}>0$ chỉ với $x\ne -2$; hàm số không xác định tại $x=-2$, nên khẳng định $y^{\prime }>0,\forall x\in \mathbb{R}$ là sai.
b) Đúng. $f(-1)=\frac{-3}{1}=-3$, $y^{\prime }(-1)=\frac{4}{(-1+2{)}^2}=4$. Tiếp tuyến: $y=4(x+1)-3=4x+1$.
c) Theo đáp án chính thức (mã đề 0101, Phần II Câu 4: SĐSD), phát biểu này được chấm là Sai. Lưu ý: về mặt tính toán, $y^{\prime }=\frac{4}{(x+2{)}^2}=\frac{1}{4}\iff (x+2{)}^2=16\iff x=2$ hoặc $x=-6$ (đều thuộc tập xác định), dẫn tới có hai tiếp tuyến song song với $\Delta$; tuy nhiên đáp án chính thức của đề vẫn xếp phát biểu này là Sai nên giữ nguyên theo nguồn.
d) Đúng. $f(0)=-1=-y_{M_0}$ (điểm thuộc đồ thị), $y^{\prime }(0)=\frac{4}{2^2}=1$. Tiếp tuyến: $y=x-1$, cắt các trục tại $(1;0)$ và $(0;-1)$, diện tích tam giác $=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1=\frac{1}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc tức thời là $v(t)=s^{\prime }(t)=6\cdot 5\cos \left(5t-\frac{\pi }{3}\right)=30\cos \left(5t-\frac{\pi }{3}\right)$ (cm/s). Tại $t=\frac{2\pi }{5}$: $5t-\frac{\pi }{3}=2\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{3}$, nên $v=30\cos \frac{5\pi }{3}=30\cdot \frac{1}{2}=15$ (cm/s). Kết quả trùng với đáp án nguồn (15).

Theo bảng đáp án nguồn (HƯỚNG DẪN CHẮM, Mã đề 0102, Câu 11) đáp án là B. Theo định nghĩa đạo hàm, $f^{\prime }(3)=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{f(x)-f(3)}{x-3}=5$. Vậy khẳng định đúng là $f^{\prime }(3)=5$, tương ứng phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa đạo hàm tại một điểm, $f^{\prime }(5)=\underset{x\to 5}{\lim }\frac{f(x)-f(5)}{x-5}$. Đề bài cho giới hạn này bằng $3$, suy ra $f^{\prime }(5)=3$. Các khẳng định về $f^{\prime }(3)$ không thể suy ra từ dữ kiện. Vậy đáp án đúng là A, khớp với bảng hướng dẫn chấm (Mã đề 0101, Câu 5 = A).

Hàm vận tốc $v(t)=s^{\prime }(t)=-3t^2+18t+2$.
$v(t)$ là một parabol quay bề lõm xuống dưới, đạt max tại đỉnh $t=-\frac{b}{2a}=-\frac{18}{2(-3)}=3$ (giây).
Quãng đường đi được sau 3 giây: $s(3)=-(3^3)+9(3^2)+2(3)=-27+81+6=60$.
Kết quả: 60.

Đạo hàm: $y^{\prime }=3x^2-12x+9$.
Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng $y=9x-31$ nên hệ số góc của tiếp tuyến là $k=9$.
Xét phương trình hoành độ tiếp điểm: $y^{\prime }=9\iff 3x^2-12x+9=9\iff 3x^2-12x=0\iff \{\begin{array}{l}x=0\\ x=4\end{array}$.
Tại $x=0\Rightarrow y(0)=1$. Phương trình tiếp tuyến: $y=9(x-0)+1\Rightarrow y=9x+1$ (thỏa mãn điều kiện không trùng).
Tại $x=4\Rightarrow y(4)=4^3-6(4^2)+9(4)+1=5$.
Phương trình tiếp tuyến: $y=9(x-4)+5\Rightarrow y=9x-31$ (loại vì trùng với đường thẳng đề cho).
Kết luận: Phương trình tiếp tuyến cần tìm là $y=9x+1$.

Đường thẳng $(d):x=\frac{3}{2}$ là đường thẳng đứng, song song với trục $Oy$.
Tiếp tuyến vuông góc với $(d)$ bắt buộc phải là đường thẳng nằm ngang (song song hoặc trùng trục $Ox$), do đó hệ số góc của tiếp tuyến phải bằng $0$.
Đạo hàm: $y^{\prime }=(2x-4)e^{x^2-4x+3}$.
Giải phương trình hệ số góc: $y^{\prime }=0\iff 2x-4=0\iff x=2$.
Thay $x=2$ vào hàm số để tìm tung độ điểm $M$: $y=e^{2^2-4(2)+3}=e^{-1}=\frac{1}{e}$.
Kết luận: Tọa độ điểm cần tìm là $M\left(2;\frac{1}{e}\right)$.

$x_0=5$ ; $y^{\prime }=\frac{-6}{(2x-4{)}^2}$ ; $y^{\prime }(5)=\frac{-1}{6}$.
PTTT: $y=\frac{-1}{6}x+\frac{17}{6}$.