Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Định nghĩa/ý nghĩa đạo hàm (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^3-2x^2-6$, có $y^{\prime }=3x^2-4x$. Tại $x_0=2$: $y^{\prime }(2)=3(4)-8=4$ nên hệ số góc tiếp tuyến là 4 → a) Đúng. $y_0=y(2)=8-8-6=-6$, tiếp tuyến: $y=4(x-2)-6=4x-14$, không phải $y=4x-5$ → b) Sai. Vì hệ số góc bằng 4 nên tiếp tuyến song song với $(d):y=4x-8$ → c) Đúng. Tại $x=5$, tiếp tuyến $y=4(5)-14=6\ne 12$, nên tiếp tuyến không cắt $(d^{\prime })$ tại $N(5;12)$ (thực tế $N(5;12)$: $2(5)-7=3\ne 12$ nên N còn không thuộc d') → d) Sai. Kết quả khớp đáp án nguồn: a Đúng, b Sai, c Đúng, d Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2-4x$; $y^{\prime }(2)=12-8=4$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y(2)=-6$ nên PTTT là $y=4x-14$, không phải $y=4x-5$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hệ số góc tiếp tuyến bằng 4 trùng hệ số góc của $(d):y=4x-8$ nên song song.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tại $x=5$, tiếp tuyến $y=4x-14$ có giá trị $6\ne 12$; hơn nữa $N(5;12)$ không thuộc $(d^{\prime })$ vì $2(5)-7=3\ne 12$.

(AI giải đề cho tôi)
Tốc độ thay đổi của lợi nhuận là đạo hàm $P^{\prime }(x)=-2x+120$. Tại $x=50$: $P^{\prime }(50)=-100+120=20$ (nghìn đồng/ly). Khớp với đáp án nguồn 20.

$x_0=-5$ ; $y^{\prime }=\frac{9}{(2x+1{)}^2}$ ; $y^{\prime }(-5)=\frac{1}{9}$.
PTTT: $y=\frac{1}{9}x+\frac{14}{9}$.

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2-12x$. Tại $x_0=2$: $y^{\prime }(2)=12-24=-12$, nên hệ số góc của tiếp tuyến là $-12$ → a) Đúng. $y_0=y(2)=8-24+12=-4$, phương trình tiếp tuyến: $y=-12(x-2)-4=-12x+20$, không phải $y=-12x+8$ → b) Sai. Vì hệ số góc $-12$ trùng với hệ số góc của $(d):y=-12x-15$ nên tiếp tuyến song song với $(d)$ → c) Đúng. Phương trình tiếp tuyến $y=-12x+20$ cắt $(d^{\prime }):y=2x-4$ khi $-12x+20=2x-4\iff x=\frac{12}{7}$, $y=\frac{4}{7}$, tức giao điểm là $\left(\frac{12}{7};\frac{4}{7}\right)$, không phải $M(-3;8)$ (thêm nữa $M(-3;8)$ không thuộc tiếp tuyến vì $-12(-3)+20=56\ne 8$) → d) Sai. Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2-12x$, $y^{\prime }(2)=12-24=-12$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y(2)=-4$, tiếp tuyến: $y=-12(x-2)-4=-12x+20\ne -12x+8$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hệ số góc $-12$ bằng hệ số góc của $(d):y=-12x-15$ nên hai đường song song.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giải $-12x+20=2x-4$ được $x=\frac{12}{7}$, giao điểm $\left(\frac{12}{7};\frac{4}{7}\right)\ne M(-3;8)$.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc tức thời là $v(t)=S^{\prime }(t)=-3t^2+6t+8$. Tại $t=2$: $v(2)=-3(4)+6(2)+8=-12+12+8=8$ (m/s). Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Gốc tọa độ đặt tại A nên A(0;0). Đoạn lên dốc T1 có hệ số góc 2 là tiếp tuyến tại A; đoạn xuống dốc T2 có hệ số góc −3 là tiếp tuyến tại B.
a) y' = 2ax + b nên y'(0) = b = 2 (không phải −2) → sai.
b) Parabol đi qua A(0;0) nên y(0) = c = 0 → đúng.
c) Với a = −1/20, b = 2: y' = −x/10 + 2. Tại B: −x_B/10 + 2 = −3 ⟹ x_B = 50, khoảng cách ngang giữa A và B là 50 m → đúng.
d) y_B = −(1/20)·50² + 2·50 = −125 + 100 = −25, chênh lệch độ cao giữa A và B là 25 m (không phải 20 m) → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Tiếp tuyến tại A là T1 có hệ số góc 2 nên y'(0)=b=2, không phải −2.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Parabol đi qua A(0;0) nên y(0)=c=0.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) y' = −x/10 + 2 = −3 tại B ⟹ x_B = 50, khoảng cách ngang giữa A và B là 50 m.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) y_B = −(1/20)·2500 + 100 = −25 nên chênh lệch độ cao giữa A và B là 25 m, không phải 20 m.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^3-3x^2-4x-4$ có đạo hàm $y^{\prime }=3x^2-6x-4$.

Tại $x_0=5$:
- Hoành độ tiếp điểm: $x_0=5$.
- Tung độ tiếp điểm: $y_0=5^3-3\cdot 5^2-4\cdot 5-4=125-75-20-4=26$. Vậy tiếp điểm là $A(5;26)$.
- Hệ số góc của tiếp tuyến: $k=y^{\prime }(5)=3\cdot 25-6\cdot 5-4=75-30-4=41$.

Phương trình tiếp tuyến: $y=y_0+k(x-x_0)=26+41(x-5)=41x-179$.

Vậy phương trình tiếp tuyến là $y=41x-179$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa đạo hàm, $f^{\prime }(3)={\lim }_{x\to 3}\frac{f(x)-f(3)}{x-3}=2$. Vậy $f^{\prime }(3)=2$, đáp án B. Không thể kết luận $f^{\prime }(x)=2$ với mọi $x$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2+1$. Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x=1$ là $f^{\prime }(1)=3\cdot 1^2+1=4$. Vậy chọn đáp án D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 3: D).

(AI giải đề cho tôi)
a) Ta có $y^{\prime }=-4x+1$. Giải $y^{\prime }=0\iff -4x+1=0\iff x=\frac{1}{4}$.

b) Kiểm tra: $M(2;-6)$ thuộc (C) vì $-2\cdot 2^2+2=-8+2=-6$. Hệ số góc của tiếp tuyến tại $M$ là $k=y^{\prime }(2)=-4\cdot 2+1=-7$. Phương trình tiếp tuyến: $y=-7(x-2)-6=-7x+8$. Vậy tiếp tuyến là $y=-7x+8$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Ta có $y^{\prime }=-4x+1$. Giải $y^{\prime }=0⟺-4x+1=0⟺x=\frac{1}{4}$. Vậy nghiệm là $x=\frac{1}{4}$.

b) Kiểm tra $M(2;-6)$ thuộc $(C)$: $y(2)=-2\cdot 4+2=-6$ ✓. Hệ số góc của tiếp tuyến tại $M$: $y^{\prime }(2)=-4\cdot 2+1=-7$. Phương trình tiếp tuyến: $y=y^{\prime }(2)(x-2)+y(2)=-7(x-2)-6=-7x+8$. Vậy tiếp tuyến là $y=-7x+8$.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc là đạo hàm của quãng đường: $v(t)=s^{\prime }(t)=2t+6$ (m/s). Tại $t_0=2$: $v(2)=2\cdot 2+6=10$ (m/s). Kết quả khớp với đáp án nguồn (10).

+ Gọi $\Delta$ là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $M(x_0;y_0)$ thoả đề.

+ Ta có: $x_0=1$ nên $\{\begin{array}{l}{y}_0=y(1)=6\\ y^{\prime }(1)=9\end{array}$

+ Khi đó, phương trình tiếp tuyến $\Delta$ của đồ thị hàm số tại điểm $M(1;6)$ là: $y-6=9.(x-1)\iff y=9x-3$.

(Điểm: 0,25 + 0,25 + 0,25)

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại điểm $M(x_0;f(x_0))$ (khi hàm số có đạo hàm tại $x_0$) bằng đạo hàm của hàm số tại điểm đó: $k=f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$. Vậy đáp án là A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 3: A).

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc tức thời là đạo hàm của quãng đường theo thời gian: $v(t)=S^{\prime }(t)=-3t^2+6t+9$ (m/s). Tại $t=2$: $v(2)=-3(2{)}^2+6(2)+9=-12+12+9=9$ (m/s). Vậy vận tốc của chuyển động tại thời điểm $t=2$ là $9$ m/s.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $f(x)=x^3+1$. a) Theo định nghĩa, đạo hàm tại $x_0=2$ là $f^{\prime }(2)={\lim }_{x\to 2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}$, đúng. b) $f^{\prime }(x)=3x^2$, không phải $3x^2+1$, sai. c) Hệ số góc của tiếp tuyến tại $x_0=2$ là $k=f^{\prime }(2)=12$, không phải $y_0=f(2)=9$, sai. d) $f(2)=9$, $f^{\prime }(2)=12$, tiếp tuyến: $y=12(x-2)+9=12x-15$, đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn: a Đúng, b Sai, c Sai, d Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa đạo hàm tại một điểm: $f^{\prime }(2)={\lim }_{x\to 2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}$, nên khẳng định đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=3x^2$, không phải $3x^2+1$ (số 1 là hằng số, đạo hàm bằng 0), nên khẳng định sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hệ số góc của tiếp tuyến tại $x_0=2$ là $k=f^{\prime }(2)=3\cdot 2^2=12$, còn $f(2)=9$ là tung độ tiếp điểm, nên khẳng định sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tiếp điểm $(2;9)$, hệ số góc $f^{\prime }(2)=12$, phương trình tiếp tuyến: $y=12(x-2)+9=12x-15$, đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(t)=-3t^2+90t+600$. Tốc độ truyền bệnh lớn hơn 1200 nghĩa là $f^{\prime }(t)>1200$, tức $-3t^2+90t+600>1200\iff -3t^2+90t-600>0\iff t^2-30t+200<0\iff (t-10)(t-20)<0\iff 10<t<20$. Vì $t\in \mathbb{N}$, $t\le 30$ nên $t\in \{11,12,13,14,15,16,17,18,19\}$, gồm 9 giá trị. Vậy trong 30 ngày đầu tiên có 9 ngày mà tốc độ truyền bệnh lớn hơn 1200.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc là đạo hàm của độ cao: $h^{\prime }(t)=32,5-9,8t$. Tại $t=3$: $h^{\prime }(3)=32,5-9,8imes3=32,5-29,4=3,1$ (m/s). Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ là khoảng cách ngang từ máy bay đến điểm trên trục thẳng đứng qua ra đa, $s$ là khoảng cách từ máy bay đến ra đa. Theo hình vẽ: $s^2=x^2+10^2$. Khi $s=16$ thì $x=\sqrt{16^2-100}=\sqrt{156}$. Đạo hàm hai vế theo $t$: $2s{s}^{\prime }=2x{x}^{\prime }$, nên $x^{\prime }=\frac{s{s}^{\prime }}{x}=\frac{16\cdot 546}{\sqrt{156}}\approx \frac{8736}{12.4900}\approx 699.6$ km/h. Làm tròn đến hàng đơn vị: $700$ km/h.

(AI giải đề cho tôi)
v(t)=s'(t)=3t^2-6t+8=3(t-1)^2+5. a) v(3)=27-18+8=17≠8 → sai. b) s(t)=13 ⇔ t^3-3t^2+8t-12=0, thử t=2: 8-12+16-12=0, nên t=2; v(2)=12-12+8=8 m/s → đúng. c) v(t)=3(t-1)^2+5 ≥ 5, min tại t=1 bằng 5 m/s → đúng. d) a(t)=v'(t)=6t-6; tại t=1 (v nhỏ nhất) a(1)=0≠2 m/s² → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
v(t)=3t^2-6t+8, v(3)=17 m/s ≠ 8 m/s.
b) (AI giải đề cho tôi)
s(t)=13 ⇔ t^3-3t^2+8t-12=0 có nghiệm t=2; v(2)=8 m/s.
c) (AI giải đề cho tôi)
v(t)=3(t-1)^2+5 ≥ 5, vận tốc nhỏ nhất 5 m/s tại t=1.
d) (AI giải đề cho tôi)
a(t)=6t-6, tại t=1 thì a(1)=0 m/s² ≠ 2 m/s².