Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Định nghĩa/ý nghĩa đạo hàm (Toán học Lớp 11)

Vận tốc tức thời tại thời điểm $t$ là đạo hàm của quãng đường theo thời gian: $$v(t)=s^{\prime }(t)=-t+20.$$ Với $t=8$ ta được $v(8)=-8+20=12$. Đáp số: Vận tốc tức thời bằng 12 m/s.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm liên tục tại 0: ${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)=-b-1=f(0)=1\Rightarrow b=-2$. Đạo hàm phải tại 0: $f_{+}^{\prime }(0)=2a\cdot 0+b=b=-2$. Đạo hàm trái tại 0: $f_{-}^{\prime }(0)=a$. Để có đạo hàm tại 0 cần $a=b=-2$. Vậy $T=a+2b=-2+2(-2)=-6$. Khớp với đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc tức thời là đạo hàm $v(t)=s^{\prime }(t)=3t^2-4t+5$. Tại $t=2$: $v(2)=3\cdot 4-8+5=9$ (m/s). Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc ca nô là $v(t)=s^{\prime }(t)=18-3t$ (m/s). Ca nô dừng lại hẳn khi $v(t)=0$, tức $18-3t=0\Rightarrow t=6$ giây. Vậy chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
$v(t)=s^{\prime }(t)=-3t^2+18t+21$. a) $v(2)=-12+36+21=45$ m/s, đúng. b) Đúng theo đạo hàm. c) Dừng hẳn: $v(t)=0⟹t^2-6t-7=0⟹t=7$ ($t>0$). $s(7)=-343+441+147+9=254$ m $\ne 255$ m, sai. d) $v^{\prime }(t)=-6t+18=0⟹t=3$; $v(3)=48$ lớn nhất trên $[0;7]$, đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$v(t)=s^{\prime }(t)=-3t^2+18t+21$; $v(2)=-12+36+21=45$ m/s.
b) (AI giải đề cho tôi)
$v(t)=s^{\prime }(t)=-3t^2+18t+21$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Dừng hẳn khi $v(t)=0⟹t=7$; $s(7)=-343+441+147+9=254$ m, không phải 255 m.
d) (AI giải đề cho tôi)
$v^{\prime }(t)=-6t+18=0⟹t=3$, $v(3)=48$ là giá trị lớn nhất của vận tốc.

(AI giải đề cho tôi)
Với $s(t)=t^2-7t+1$ ta có $v(t)=s^{\prime }(t)=2t-7$, $a(t)=v^{\prime }(t)=2$.

a) $v(t)=0\iff t=3,5$. Trên $[0;3,5]$ vật đi lùi: quãng đường $=|s(3,5)-s(0)|=|(-11,25)-1|=12,25$ m. Trên $[3,5;12]$ vật đi tới: quãng đường $=|s(12)-s(3,5)|=|61-(-11,25)|=72,25$ m. Tổng quãng đường $=12,25+72,25=84,5$ m. Đúng.

b) $a(t)=v^{\prime }(t)=2$ nên tại $t=10$, gia tốc bằng $2$ m/s${}^2$. Đúng.

c) $v(9)=2\cdot 9-7=11$ m/s. Đúng.

d) Trên $[2;5]$, $v(t)=2t-7$ tăng từ $v(2)=-3$ đến $v(5)=3$, qua $0$ tại $t=3,5$. Nếu hiểu vận tốc là độ lớn (tốc độ) thì giá trị nhỏ nhất là $0$ m/s (tại $t=3,5$), không phải $3$ m/s; nếu hiểu là vận tốc có hướng thì giá trị nhỏ nhất là $-3$ m/s. Cả hai cách hiểu đều không cho $3$ m/s. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Quãng đường $=|s(3,5)-s(0)|+|s(12)-s(3,5)|=12,25+72,25=84,5$ m.
b) (AI giải đề cho tôi)
$a(t)=v^{\prime }(t)=2$ nên tại $t=10$ gia tốc là $2$ m/s${}^2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$v(9)=2\cdot 9-7=11$ m/s.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[2;5]$, tốc độ (độ lớn vận tốc) nhỏ nhất bằng $0$ m/s tại $t=3,5$ (vận tốc có hướng nhỏ nhất là $-3$ m/s tại $t=2$), không phải $3$ m/s.

Do hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm tại điểm $x_0=2$ suy ra $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=f^{\prime }(2)$.

Ta có $I=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{2f(x)-xf(2)}{x-2}\iff I=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{2f(x)-2f(2)+2f(2)-xf(2)}{x-2}$

$\iff I=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{2\left(f(x)-f(2)\right)}{x-2}-\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f(2)(x-2)}{x-2}\iff I=2f^{\prime }(2)-f(2)$.

Tại $x_0=-1⟹y_0=\frac{-2-3}{-2+1}=5$.
Ta có: $y^{\prime }=\frac{2(2x+1)-2(2x-3)}{(2x+1{)}^2}=\frac{8}{(2x+1{)}^2}$.
Hệ số góc tiếp tuyến tại $x_0=-1$: $k=y^{\prime }(-1)=\frac{8}{(-1{)}^2}=8$.
Phương trình tiếp tuyến tại $(-1;5)$ là:
$y=8(x+1)+5=8x+13$.
- Giao điểm với trục hoành $Ox$ ($y=0$): $8x+13=0⟹x_A=-\frac{13}{8}⟹OA=\frac{13}{8}$.
- Giao điểm với trục tung $Oy$ ($x=0$): $y_B=13⟹OB=13$.
Diện tích tam giác $OAB$ vuông tại $O$ là:
$S=\frac{1}{2}OA\cdot OB=\frac{1}{2}\cdot \frac{13}{8}\cdot 13=\frac{169}{16}$.

Theo định nghĩa đạo hàm của hàm số tại điểm $x_0$: $f^{\prime }(x_0)={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}={\lim }_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}={\lim }_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$. Công thức ở phương án D sai vì ở tử số phải là $f(x)-f(x_0)$ chứ không phải $f(x+x_0)-f(x_0)$.

Theo ý nghĩa hình học của đạo hàm, phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại điểm $M_0(x_0;f(x_0))$ có hệ số góc $k=f^{\prime }(x_0)$ và có phương trình là:
$y=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$

Ta có $y^{\prime }=x^2+6x$.

Hệ số góc của tiếp tuyến tại tiếp điểm $M_0(x_0;y_0)$ là:
$k=y^{\prime }(x_0)=-9\iff x_0^2+6x_0+9=0\iff (x_0+3{)}^2=0\iff x_0=-3$

Với $x_0=-3$, ta có:
$y_0=\frac{(-3{)}^3}{3}+3(-3{)}^2-2=-9+27-2=16$

Phương trình tiếp tuyến tại điểm $M_0(-3;16)$ với hệ số góc $k=-9$ là:
$y-16=-9(x+3)$

Ta có $y^{\prime }=3x^2-6x⟹y^{\prime }(3)=3\cdot 3^2-6\cdot 3=9$.
Phương trình tiếp tuyến tại điểm $A(3;1)$ là:
$y=y^{\prime }(3)(x-3)+1⟺y=9(x-3)+1⟺y=9x-26$. Chọn D.

Đường thẳng $x-3y+1=0\iff y=\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}$ có hệ số góc $k_1=\frac{1}{3}$. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng đã cho có hệ số góc $k=-3$. Ta có $y^{\prime }=3x^2-6x=-3\iff 3(x-1{)}^2=0\iff x_0=1\Rightarrow y_0=0$. Phương trình tiếp tuyến là $y=-3(x-1)\iff 3x+y-3=0$. Chọn đáp án C.

Ta có $y^{\prime }=\frac{2(-1)-1(1)}{(x-1{)}^2}=\frac{-3}{(x-1{)}^2}$.
Hệ số góc tiếp tuyến tại $x_0=2$: $k=y^{\prime }(2)=\frac{-3}{1^2}=-3$.
Phương trình tiếp tuyến tại $M(2;5)$: $y-5=-3(x-2)\iff y=-3x+11$.

Ta có $M\left(0;\frac{1}{\ln 3}\right)$ và $y^{\prime }=\frac{(\sqrt{3}{)}^x\ln \sqrt{3}}{\ln 3}=\frac{1}{2}(\sqrt{3}{)}^x⟹y^{\prime }(0)=\frac{1}{2}$. Phương trình tiếp tuyến tại $M$ là $y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{\ln 3}$, cắt $Ox$ tại $N\left(-\frac{2}{\ln 3};0\right)$.

Chọn C.
Ta có $y^{\prime }=3x^2+2$.
Hệ số góc của tiếp tuyến $d$ tại điểm $A(1;0)$ là $k=y^{\prime }(1)=3(1{)}^2+2=5$.
Đường thẳng vuông góc với $d$ có hệ số góc $k^{\prime }=-\frac{1}{k}=-\frac{1}{5}$.
Phương trình đường thẳng ở phương án C: $x+5y+3=0\iff y=-\frac{1}{5}x-\frac{3}{5}$, có hệ số góc bằng $-\frac{1}{5}$ nên vuông góc với $d$.

Vận tốc tức thời của chất điểm là $v(t)=s^{\prime }(t)=2t$. Tại $t=2$ giây, $v(2)=2\cdot 2=4\text{ m/s}$. Chọn đáp án C.

Chọn C.
Ta có $y^{\prime }=\ln x+1$.
Tại điểm có hoành độ $x_0=e$, ta có $y(e)=e\ln e=e$ và hệ số góc $y^{\prime }(e)=\ln e+1=2$.
Phương trình tiếp tuyến là:
$y=y^{\prime }(e)(x-e)+y(e)\iff y=2(x-e)+e\iff y=2x-e$.

Phương trình hoành độ giao điểm: $x^3-3x^2+1=x-2⟺x^3-3x^2-x+3=0⟺x\in \{-1;1;3\}$. Ta có $y^{\prime }=3x^2-6x$, nên tổng hệ số góc là $y^{\prime }(-1)+y^{\prime }(1)+y^{\prime }(3)=9+(-3)+9=15$. Chọn D.

Vận tốc $v(t)=S^{\prime }(t)=-3t^2+18t+21=-3(t-3{)}^2+48\le 48$, đạt giá trị lớn nhất tại $t=3(s)$. Chọn C.